2009年江蘇卷第19題的“深度解析”

2009年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷中第19題為一道函數(shù)與不等式型應(yīng)用題，本文就以此題作為基本素材，對(duì)其進(jìn)行全方位、多角度分析.

問(wèn)題:按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為a元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為m元，則他的滿意度為mm+a;如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為n元，則他的滿意度為an+a，如果一個(gè)人對(duì)兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為h1和h2，則他對(duì)這兩種交易的綜合滿意度為h1h2.

現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為mA元和mB元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為h甲，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為h乙

(1)求h甲和h乙關(guān)于mA、mB的表達(dá)式;當(dāng)mA=35mB時(shí)，求證:h甲=h乙;

(2)設(shè)mA=35mB，當(dāng)mA、mB分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大?最大的綜合滿意度為多少?

(3)記(2)中最大的綜合滿意度為h0，試問(wèn)能否適當(dāng)選取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立?試說(shuō)明理由.

1.解法探究及背景知識(shí)分析

1.1 第(1)題的二種解法:

思路一:設(shè)mA=x，mB=y.;

甲買進(jìn)產(chǎn)品A的滿意度:h1=12x+12;甲賣出產(chǎn)品B的滿意度:h2=yy+5;

甲買進(jìn)產(chǎn)品A和賣出產(chǎn)品B的綜合滿意度:h甲=12x+12#8226;yy+5;

同理，乙賣出產(chǎn)品A和買進(jìn)產(chǎn)品B的綜合滿意度:h乙=xx+3#8226;20y+20.

當(dāng)x=35y時(shí)，h甲=12x+12#8226;yy+5=1235y+12#8226;yy+5=20y(y+20)(y+5)，

h乙=xx+3#8226;20y+20=35y35y+3#8226;20y+20=20y(y+20)(y+5).

故h甲=h乙.

思路二:

h2甲-h2乙=12mB(mA+12)(mB+5)-20mA(mA+3)(mB+20)

=12mB(35mB+12)(mB+5)-20#8226;35mB(35mB+3)(mB+20)

=20mB(mB+20)(mB+5)-20mB(mB+20)(mB+5)

=0

故h甲=h乙.

點(diǎn)評(píng):本題中基本的數(shù)學(xué)模型已給出，只需要代入恰當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)建立模型，在證h甲=h乙時(shí)，正確的代入和化簡(jiǎn)是解題的核心.

1.2第(2)題的多種解法:

解法一:設(shè)mA=x，mB=y.;

由(1)可知:h甲=h乙=20y(y+20)(y+5)=20y+100y+25≤202y#8226;100y+25=23.

當(dāng)且僅當(dāng)y=10時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，x=6

因此，當(dāng)mA=6，mB=10時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大，且最大的綜合滿意度為23.

解法二:令t=20y(y+20)(y+5)

則t′=20#8226;(y+20)(y+5)-y(2y+25)(y+20)2(y+5)2=20#8226;100-y2(y+20)2(y+5)2

令t′=0得:y=10

當(dāng)y∈(0，10)時(shí)，函數(shù)t單調(diào)遞增，y∈(10，+∞)時(shí)，函數(shù)t單調(diào)遞減.

∴當(dāng)y=10時(shí)，h甲和h乙的最大值均為23，此時(shí)，x=6.

因此，當(dāng)mA=6，mB=10時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大，且最大的綜合滿意度為23.

點(diǎn)評(píng):本題的關(guān)鍵是求綜合滿意度的最大值，其本質(zhì)是函數(shù)的最值問(wèn)題.

1.3第(3)題的多種解法:

解法一:由(2)可知:h0=23，

∵h(yuǎn)甲#8226;h乙=12x+12#8226;yy+5#8226;xx+3#8226;20y+20=12x+36x+15#8226;20y+100y+25≤49.

∴當(dāng)h甲≥23，h乙≥23時(shí)，有h甲=h乙=23.

因此，不能取得mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立.

點(diǎn)評(píng):解法一有一定的技巧，當(dāng)然這種技巧在許多資料上都能找到它的影子，我舉兩個(gè)例子，同學(xué)們可以回想一下，在復(fù)習(xí)中我們看到的:

(Ⅰ)已知:a、b、c∈(0，1)，求證:a(1-b)、b(1-c)、c(1-a)不可能都大于14.

簡(jiǎn)證:(反證法)假設(shè)a(1-b)、b(1-c)、c(1-a)都大于14

則a(1-b)#8226;b(1-c)#8226;c(1-a)>164

而a(1-b)#8226;b(1-c)#8226;c(1-a)=a(1-a)#8226;b(1-b)#8226;c(1-c)

≤(a+1-a2)2#8226;(b+1-b2)2#8226;(c+1-c2)2

≤164(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=12時(shí)取等號(hào))

矛盾!

(Ⅱ)設(shè)g(x)=13x3+12ax2+bx圖象上任一點(diǎn)P(x，y)處切線的斜率為f(x)，且方程f(x)=0的兩根為α、β(a、b∈R).

①若α=β+1，且β∈Z，求證:f(-a)=14(a2-1);

②若α、β∈(2，3)，試證明存在整數(shù)k，使得|f(k)|≤14.

簡(jiǎn)證②:∵α、β∈(2，3)，，而f(x)=x2+ax+b=(x-α)(x-β)

∴|f(2)||f(3)|=|(2-α)(2-β)||(3-α)(3-β)|

=|(α-2)(3-α)||(β-2)(3-β)|

≤[(α-2)+(3-α)]24#8226;[(β-2)+(3-β)]24=(14)2，

即|f(2)||f(3)|≤(14)2，故必有|f(2)|≤14或|f(3)|≤14，

∴存在常數(shù)k=2或k=3使|f(k)|≤14.

解法二:由(2)可知:h0=23，

若能適當(dāng)選取mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立.

則12mB(mA+12)(mB+5)≥4920mA(mA+3)(mB+20)≥49

即:mA≤15mB-60mB+5mA≥3mB+6025-mB

從而，3mB+6025-mB≤15mB-60mB+5化簡(jiǎn)得:(mB-10)2≤0

∴mB=10此時(shí)代入上式得:6≤mA≤6

∴mA=6

由(2)知:h甲和h乙均取到最大值23，且等號(hào)同時(shí)成立.

從而，當(dāng)h甲≥23，h乙≥23時(shí)，有h甲=h乙=23.

因此，不能取得mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立.

點(diǎn)評(píng):解法二實(shí)際上可以從平面區(qū)域的角度給出幾何解釋:不妨設(shè)mA=x，mB=y.則

x≤15y-60y+5=15-135y+5

x≥3y+6025-y=-3-135y-25

把y軸作為橫軸，x軸作為縱軸，作出平面區(qū)域可知，兩雙曲線弧相切于一點(diǎn)(10，6)，且不等式組表示的區(qū)域就只有這一點(diǎn)滿足.

2.學(xué)習(xí)啟示:

2.1 新課程理念倡導(dǎo)要大力發(fā)展同學(xué)們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，開展數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)，開展\"數(shù)學(xué)建模\"的學(xué)習(xí)活動(dòng)，力求使同學(xué)們體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，有利于激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，擴(kuò)展視野，提高實(shí)踐能力.高考應(yīng)用題要求能應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決在相關(guān)科學(xué)、生產(chǎn)和生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確地表達(dá)和說(shuō)明.函數(shù)、方程、不等式、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等高中數(shù)學(xué)中最基本、最重要的內(nèi)容，其中尤以函數(shù)應(yīng)用題最多.這類問(wèn)題題源豐富，內(nèi)容深刻，解法靈活多樣，且較易與不等式、數(shù)列、幾何等內(nèi)容相聯(lián)系，是歷年高考應(yīng)用題命題的一個(gè)熱點(diǎn).我們學(xué)習(xí)時(shí)要關(guān)注媒體，了解新的信息，熟悉一些常識(shí)性的概念如“復(fù)利”、“百分點(diǎn)”、“本利和”、“利潤(rùn)率”等.此外，對(duì)環(huán)境、能源、人口、營(yíng)養(yǎng)保健、知識(shí)經(jīng)濟(jì)和科技生活等方面的問(wèn)題我們也要予以關(guān)注.

2.2 解決應(yīng)用題的關(guān)鍵有兩個(gè)方面:一是從看似復(fù)雜的現(xiàn)象中精選變量并找出變量之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型;二是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來(lái)處理數(shù)學(xué)模型，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)估和解釋，其中前者是解決應(yīng)用問(wèn)題的核心.

2.3 將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題是大家的薄弱環(huán)節(jié)，是高考失分較多的一種題型.究其原因主要有兩個(gè)方面:一是背景新穎，應(yīng)用題常常是以當(dāng)前熱點(diǎn)問(wèn)題或?qū)W科前沿知識(shí)為背景，感到陌生;二是文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)、數(shù)學(xué)關(guān)系復(fù)雜，同學(xué)們難以從中提煉出數(shù)學(xué)模型，再加上高考這種特定場(chǎng)合，有些同學(xué)往往在應(yīng)用題面前敗下陣來(lái).因此，我覺得，應(yīng)該在教學(xué)中重視以下幾個(gè)問(wèn)題的解決:

(Ⅰ)消除心理和語(yǔ)言障礙:

首先應(yīng)明確應(yīng)用題是在所學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)能夠解決的問(wèn)題，以此來(lái)樹立解決應(yīng)用題的信心，提高心理承受能力.解題保持冷靜，認(rèn)真對(duì)待，不隨意放棄.

其次，要排除語(yǔ)言障礙，必須做好讀題和翻譯工作.讀題是翻譯的基礎(chǔ)，讀題時(shí)要抓住題目中的關(guān)鍵字、詞、句，弄清題目中的已知條件，初步了解題目的大意和要解決的問(wèn)題.在此基礎(chǔ)上，能復(fù)述題中的要點(diǎn)以吃透題意，在很多情況下，可將應(yīng)用題翻譯成圖表形式，直觀地表達(dá)出題中各數(shù)量之間的關(guān)系.

(Ⅱ)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模:

建模的過(guò)程就是將文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程.一道題目可能有多種建模思路，一般來(lái)說(shuō)，可有下列策略幫助同學(xué)們建立數(shù)學(xué)模型:

(1)雙向推理列式，利用已知條件順向推理，運(yùn)用所求結(jié)果進(jìn)行逆向探索;

(2)借助常用模型直接列式，平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題可建立指數(shù)、對(duì)數(shù)或方程模型;行程、工程、濃度問(wèn)題可建立方程或方程組、不等式、數(shù)列模型;拱橋，炮彈發(fā)射問(wèn)題可建立函數(shù)、解析幾何模型;測(cè)量問(wèn)題可建立解三角形模型;計(jì)數(shù)問(wèn)題可建立排列組合模型;機(jī)會(huì)大小問(wèn)題可建立概率模型;優(yōu)化問(wèn)題可建立函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃模型等.

(Ⅲ)要充分挖掘教材中應(yīng)用問(wèn)題的價(jià)值:

現(xiàn)行高中教材中突出了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，每個(gè)章節(jié)都有一定數(shù)量的應(yīng)用題，如:水池、寄信郵資、細(xì)胞分裂、利息、鋼板下料、鋼管堆放、升價(jià)降價(jià)、增長(zhǎng)率、濃度、側(cè)面展開、拱橋、天體運(yùn)行軌道、平拋運(yùn)動(dòng)、探照燈反射面等等.這些問(wèn)題為“數(shù)學(xué)化”提供了豐富的素材和最基本的實(shí)例，復(fù)習(xí)中同學(xué)們應(yīng)回歸教材，充分挖掘這些實(shí)際問(wèn)題的價(jià)值，從中感悟處理這些問(wèn)題的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想.

2.結(jié)束語(yǔ)

本文的探究過(guò)程表明:數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立離散的單點(diǎn)，數(shù)學(xué)方法不是各自無(wú)關(guān)的一招一式，它們血肉相連組成一條一條的知識(shí)鏈和方法鏈.解題的敏捷性、發(fā)散性就在于當(dāng)知識(shí)鏈中的某一個(gè)環(huán)節(jié)受到刺激時(shí)，整條知識(shí)鏈條全部活躍起來(lái)，有意識(shí)地積累知識(shí)鏈?zhǔn)莾?yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要途徑，也是廣開解題思路的重要源泉.

(作者:陳志華，江蘇省泰興市第二高級(jí)中學(xué))