剖析函數(shù)命題思路 增強(qiáng)高考有效復(fù)習(xí)

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的一部分，因?yàn)樗秦灤┱麄€(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的一根主線.許多內(nèi)容都與它有聯(lián)系，都能用其思想方法解決問(wèn)題，是歷年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容;從近幾年的高考試題看，函數(shù)的概念和性質(zhì)在函數(shù)中處于核心地位，必須深刻理解和熟練掌握;同時(shí)也加強(qiáng)了利用函數(shù)有關(guān)的理論和方法解決問(wèn)題能力的考查，因此要了解函數(shù)命題思路，做到有的放失，增強(qiáng)高考復(fù)習(xí)有效性.

一、函數(shù)三要素考查是體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念抽象性

函數(shù)概念包括三個(gè)要素，定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域是處理自變量與因變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，又通過(guò)集合工具加以定義，使得對(duì)概念的理解比較抽象，其中對(duì)應(yīng)法則是核心，定義域是關(guān)鍵，而值域是定義域與對(duì)應(yīng)法則共同決定的.

例1 (2008四川卷22，第2問(wèn))求f(x)=16ln(1+x)+x2-10x的單調(diào)區(qū)間.

解析:f(x)=16ln(1+x)+x2-10x，x∈(-1，+∞)，f′(x)=2(x2-4x+3)1+x

當(dāng)x∈(-1，1)∪(3，+∞)時(shí)，f′(x)>0;當(dāng)x∈(1，3)時(shí)，f′(x)<0

所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-1，1)，(3，+∞)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(1，3).

注:函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是比較抽象的概念，應(yīng)用時(shí)要能挖掘出所有的隱含條件.本題常見(jiàn)錯(cuò)誤是導(dǎo)函數(shù)f′(x)<0解得x∈(-∞，-1)∪(1，3)，而沒(méi)有考慮原函數(shù)定義域?yàn)?-1，+∞)，在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)必須強(qiáng)化定義域優(yōu)先考慮.

例2 設(shè)f(x)定義域?yàn)镈，若滿足:(1)f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù);(2)存在[a，b]D使f(x)在x∈[a，b]時(shí)值域?yàn)閇a，b]，則稱f(x)為D上的閉函數(shù).當(dāng)f(x)=2k+x+4為閉函數(shù)時(shí)，k的范圍是(-178，-2].

解析:已知條件的抽象性，解題目標(biāo)的不明確性，這就是數(shù)學(xué)概念抽象性在函數(shù)三要素中的體現(xiàn)，必須耐心的提煉出變量的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為具體、可操作的問(wèn)題或題型.

由(1)可知，f(x)=2k+x+4是單調(diào)增函數(shù)，且定義域?yàn)镈=[-4，+∞)，

由(2)可知，對(duì)于函數(shù)f(x)=2k+x+4，存在[a，b]D使f(x)在x∈[a，b]，值域?yàn)閇a，b]，

利用單調(diào)性求值域，則a=2k+a+4b=2k+b+4，可轉(zhuǎn)化為x=2k+x+4在x∈[-4，+∞)上有兩個(gè)不等實(shí)根.

例3 (2009安徽卷理)已知函數(shù)在R上滿足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是.

解析:由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8，

即2f(x)-f(2-x)=x2+4x-4，∴f(x)=x2∴f′(x)=2x，∴切線方程為

y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0.

注:本題關(guān)鍵是求f(x)的解析式，對(duì)應(yīng)關(guān)系很不明顯，但式中x是變化的，可用特值代入，反映特殊與一般的思想;再解方程可得，完全體現(xiàn)出函數(shù)概念抽象性.

【復(fù)習(xí)建議】:1.復(fù)習(xí)函數(shù)時(shí)必須注意定義域優(yōu)先，許多錯(cuò)誤都是忽略函數(shù)定義域所致;確定函數(shù)定義域求法如分式的分母≠0;偶次方根的被開(kāi)方數(shù)≥0;對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)>0;對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)>0且≠1;正切函數(shù):x≠kπ+π2，k∈Z;一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽;另外利用函數(shù)的圖象(或數(shù)軸)法;復(fù)合函數(shù)定義域的求法:推理、取交集及分類討論.

2.弄清自變量與因變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握值域的相關(guān)求法:配方法;零點(diǎn)討論法;函數(shù)圖象法;換元法;利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性法;分離變量法.掌握解析式的求解方法:換元法;待定系數(shù)法;方程組法.

3.重視函數(shù)圖像的作用，做到“看見(jiàn)函數(shù)就想圖像，結(jié)合圖像論性質(zhì)，利用圖象解問(wèn)題”提高數(shù)形結(jié)合的能力，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言理解和相互轉(zhuǎn)換.

二、函數(shù)性質(zhì)考查是數(shù)學(xué)語(yǔ)言精煉性的重要體現(xiàn)

數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精煉性、嚴(yán)謹(jǐn)性是優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的重要體現(xiàn)，而函數(shù)性質(zhì)主要考查奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性及周期性，要求從“數(shù)”和“形”角度理解各性質(zhì)的等價(jià)轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言精煉性，在函數(shù)中又處于核心地位，所以在高考題的命制過(guò)程中，對(duì)有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題倍受命題者的青睞.

例4 (2009遼寧卷文)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間\\13)的x取值范圍是 .

解析:由于f(x)是偶函數(shù)，故f(x)=f(|x|)

∴得f(|2x-1|)

注:本題常見(jiàn)的解題方法是對(duì)不等式中2x-1與0進(jìn)行分類討論，這種解題路徑不僅耗時(shí)而且易錯(cuò)，應(yīng)該用f(x)為偶函數(shù)的等價(jià)形式f(2x-1)=f(|2x-1|)，再利用f(x)的單調(diào)性.

【復(fù)習(xí)建議】1.掌握基礎(chǔ)知識(shí)即對(duì)每個(gè)性質(zhì)含義、概念要用精煉數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，如函數(shù)單調(diào)性采用定義法f(x)為增函數(shù)x1，x2∈D，若x2>x1，則f(x1)<f(x2)f(x2)-f(x1)x2-x1>0;

2.函數(shù)單調(diào)性:定義法;根據(jù)函數(shù)圖象判定;利用導(dǎo)函數(shù);復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定:f(x)，g(x)同增、同減，f(g(x))為增函數(shù)，f(x)，g(x)一增、一減，f(g(x))為減函數(shù).

函數(shù)奇偶性:作和差f(-x)±f(x)=0定義法判定;作商f(x)f(-x)=±1，f(x)≠0判定;函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱奇函數(shù);函數(shù)的圖象關(guān)y軸對(duì)稱偶函數(shù);函數(shù)既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)f(x)=0，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;復(fù)合函數(shù)的奇偶性:奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.

3.對(duì)于函數(shù)中的重要結(jié)論，如果在解題時(shí)能充分運(yùn)用，則能起到事半功倍的作用.

周期性:f(x+T)=f(x)(T≠0)周期為T(mén);f(x+T)=-f(x)(T≠0)周期為2T

對(duì)稱性:f(x+a)=f(b-x)f(x)的對(duì)稱軸為x=a+b2;f(x+a)=-f(b-x)f(x)的對(duì)稱中心為(a+b2，0).

三、函數(shù)、方程、不等式三者聯(lián)系考查是體現(xiàn)函數(shù)思想的精髓

函數(shù)與方程的思想是指在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)與方程，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)與輔助方程性質(zhì)的思想.解決不等式有關(guān)問(wèn)題時(shí)通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程進(jìn)行處理，應(yīng)用化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，體現(xiàn)函數(shù)思想的精髓，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力.

例5 (2009山東卷理)若函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

解析:由題意可知方程ax-x-a=0有兩解，即函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)和函數(shù)y=x+a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知當(dāng)01時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y=ax(a>1)的圖象過(guò)點(diǎn)(0，1)，而直線y=x+a所過(guò)的點(diǎn)一定在點(diǎn)(0，1)的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

注:本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系，隱含著對(duì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查，根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫(huà)出函數(shù)的圖象解答.

例6 (2005山東卷)設(shè)不等式2x-1>m(x2-1)對(duì)滿足|m|≤2的一切實(shí)數(shù)m恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

析:此問(wèn)題由于常見(jiàn)的思維定勢(shì)，易把它看成關(guān)于x的不等式進(jìn)行分類討論.然而，若變換一個(gè)角度以m為主元，記f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)(或常數(shù)函數(shù))的值在區(qū)間m∈[-2，2]內(nèi)恒負(fù)時(shí)參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件.

要使f(m)<0，只要使f(2)<0f(-2)<0，從而解得x∈(7-12，3+12)

注:本例采用變更主元法，化繁為簡(jiǎn)，再巧用函數(shù)圖象的特征(一條線段)，解法易懂易做.如何從一個(gè)含有多個(gè)變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題里，選定合適的主變?cè)?，從而揭示其中主要的函?shù)關(guān)系，有時(shí)便成了數(shù)學(xué)問(wèn)題能否“明朗化”的關(guān)鍵所在.

【復(fù)習(xí)建議】1.要重視和學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)與方程的思想方法分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題，強(qiáng)化函數(shù)與方程的思想方法的應(yīng)用意識(shí)和基本訓(xùn)練，以適應(yīng)高考新的變化和要求.

2.平時(shí)在解決函數(shù)綜合問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)真分析、處理好各種關(guān)系，把握問(wèn)題的主線，運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)和方法逐步化歸為基本問(wèn)題來(lái)解決，尤其是注意等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用.綜合問(wèn)題的求解往往需要應(yīng)用多種知識(shí)和技能.因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識(shí)，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件.

3.二次函數(shù)和抽象函數(shù)問(wèn)題的處理在函數(shù)、方程、不等式三者聯(lián)系這方面體現(xiàn)比較充分.另外掌握利用函數(shù)的觀點(diǎn)可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數(shù)列和曲線等問(wèn)題.

(作者:洪兵，江蘇省如東高級(jí)中學(xué))