建構(gòu)縱上知識(shí)結(jié)構(gòu) 優(yōu)化橫向知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

考試說(shuō)明、大綱中概率、統(tǒng)計(jì)部分知識(shí)點(diǎn)大多都是A級(jí)要求，只有總體特征數(shù)的估計(jì)和古典概型屬于B級(jí)要求。縱觀近幾年江蘇高考考題，題型明確，統(tǒng)計(jì)、概率各一道填空題，試題多以實(shí)際問(wèn)題為背景，題目平和，無(wú)偏題、怪題，多數(shù)試題源于教材。因此，必須利用好課本，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，抓好課本上的主干知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)化和橫向聯(lián)系，重視基本概念、基本公式、基本技能。

統(tǒng)計(jì)問(wèn)題。

一、明晰概念，關(guān)注基本知識(shí)和方法的運(yùn)用

1.甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃采用分層抽樣法，抽取一個(gè)容量為90人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生 ， ， 。

【分析】主要考察分層抽樣的知識(shí)，搞清比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵。

解析:三校抽取比例為2∶3∶1，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生30人，45人，15人。

2.某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位:分鐘)分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x-y|的值為 。

【分析】本題考查統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)，樣本平均數(shù)與樣本方差的概念以及求解方程組的方法

解析:由題意可得:x+y=20，(x-10)2+(y-10)2=8，解這個(gè)方程組需要用一些技巧，不要直接求出x、y，只要求出|x-y|，設(shè)x=10+t， y=10-t，|x-y|=2|t|=4。

二、構(gòu)建載體，關(guān)注統(tǒng)計(jì)與傳統(tǒng)知識(shí)的交匯。

3.為了研究某高校大學(xué)新生學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名進(jìn)校學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如圖.已知前4組的頻數(shù)從左到右依次是等比數(shù)列{an}的前四項(xiàng)，后6組的頻數(shù)從左到右依次是等差數(shù)列{bn}的前六項(xiàng).

(Ⅰ)求等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)求等差數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

(Ⅲ)若規(guī)定視力低于5.0的學(xué)生屬于近視學(xué)生，試估計(jì)該校新生的近視率μ的大小.

【分析】這是一道綜合題，把頻率分布直方圖與數(shù)列融合在一起，明確頻率分布直方圖的有關(guān)知識(shí)，等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)，同時(shí)用頻率來(lái)估計(jì)概率。

解:(Ⅰ)由題意知:a1=0.1×0.1×100=1，a2=0.3×0.1×100=3.

∵數(shù)列an是等比數(shù)列，∴公比q=a2a1=3，

∴an=a1qn-1=3n-1 .

(Ⅱ) ∵a1+a2+a3=13，

∴b1+b2+…+b6=100-(a1+a2+a3)=87，

∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，

∴設(shè)數(shù)列{bn}公差為d，則得b1+b2+…+b6=6b1+15d∴6b1+15d=87，

∵b1=a4=27，∴d=-5，∴bn=32-5n

(Ⅲ)μ=a1+a2+a3+b1+b2+b3+b4100=0.91，(或μ=1-b5+b6100=0.91)

答:估計(jì)該校新生近視率為91%.

概率問(wèn)題

一、夯實(shí)基礎(chǔ)，以不變應(yīng)萬(wàn)變

1.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體(側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等的正三棱錐)骰子四個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字，拋擲這顆正四面體骰子，觀察拋擲后能看到的數(shù)字.

(1) 若拋擲一次，求能看到的三個(gè)面上數(shù)字之和大于6的概率;

(2) 若拋擲兩次，求兩次朝下面上的數(shù)字之積大于7的概率;

(3) 若拋擲兩次，以第一次朝下面上的數(shù)字為橫坐標(biāo)a，第二次朝下面上的數(shù)字為縱坐標(biāo)b，求點(diǎn)(a，b)落在直線x-y=1下方的概率.

【分析】這是一道古典概型問(wèn)題，與傳統(tǒng)的骰子問(wèn)題有區(qū)別，通過(guò)計(jì)數(shù)或列舉的辦法，求出基本事件的總數(shù)，再分別求出具體事件的數(shù)目，用古典概型公式計(jì)算，與線性規(guī)劃相結(jié)合，注意對(duì)立事件的運(yùn)用。

解:(1)記事件“拋擲后能看到的數(shù)字之和大于6”為A，拋擲這顆正四面體骰子，拋擲后能看到的數(shù)字構(gòu)成的集合有{2，3，4}，{1，3，4}， {1，2，4}，{1，2，3}，共有4種情形，其中，能看到的三面數(shù)字之和大于6的有3種，則P(A)=34;

用對(duì)立事件，因?yàn)樗忻娴煤蜑?0，所以只考慮向下的一面小于等于3即可，因此共有1、2、3、4四種情形，滿足條件的有三種，則P(A)=34。

(2)記事件“拋擲兩次，兩次朝下面上的數(shù)字之積大于7”為B，兩次朝下面上的數(shù)字構(gòu)成的數(shù)對(duì)有共有16種情況，其中能夠使得數(shù)字之積大于7的為(2，4)，(4，2)(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)共6種，則P(B)=616=38.

(3)記事件“拋擲后點(diǎn)(a，b)在直線x-y=1的下方”為C，要使點(diǎn)(a，b)在直線`x-y=1的下方，則須b

2.設(shè)點(diǎn)A為單位圓上一定點(diǎn)，求下列事件發(fā)生的概率:(1)在該圓上任取一點(diǎn)B，使AB間劣弧長(zhǎng)不超過(guò)π4;(2)在該圓上任取一點(diǎn)B，使弦AB的長(zhǎng)度不超過(guò)3。

【分析】這是一道與角度有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，考察學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，學(xué)生容易混淆、遺漏。

解:(1)記“在該圓上任取一點(diǎn)B”為事件C，由于是隨機(jī)取點(diǎn)所以可認(rèn)為每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)是均等的。于是事件C的概率應(yīng)等于弧AB的長(zhǎng)度與周長(zhǎng)的比即P(C)=π4#8226;22π=14

(2)記該事件為事件D，由于是隨機(jī)取點(diǎn)所以圓周上每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)是均等的，于是事件D的概率應(yīng)等于弧的長(zhǎng)度與圓周的長(zhǎng)度之比。即P(C)=2π3#8226;22π=23

二、準(zhǔn)確判斷，以數(shù)量定概型

3.設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，(1)若a是從0，1，2，3中任取的一個(gè)數(shù)，b從0，1，2中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率;

(2)若a是從[0，3]四個(gè)數(shù)字中任取的一個(gè)數(shù)，b從[0，2]三個(gè)數(shù)字中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率。

【分析】從等可能事件的個(gè)數(shù)是可數(shù)還是不可數(shù)的來(lái)判斷是古典概型還是幾何概型，古典概型涉及到兩個(gè)變量的處理一般用列舉法，而幾何概型中涉及到兩個(gè)變量的一般通過(guò)平面直角坐標(biāo)系，往往與線性規(guī)劃建立聯(lián)系。

解:設(shè)事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根”，當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程有實(shí)根的充要條件是a≥b。

(1)古典概型，基本事件共有12個(gè)，滿足條件的有9個(gè)，所以P(A)=912=34

(2)幾何概型，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?

{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，由線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)可知D的測(cè)度為2×3=6，d的測(cè)度為(1+3)2×2=4，P(A)=46=23，也可以使用對(duì)立事件來(lái)處理。

三、編號(hào)列表，以防混淆

4.從3名男生2名女生中任選2人參加演講比賽，求(1)所選2人都是男生的概率，(2)所選2人恰有1名女生的概率，(3)所選2人至少有1名女生的概率。

(1)事件A“所選2人都是男生” ，p(A)=310

(2)事件B“所選2人恰有1名女生”， p(B)=610=35

(3)事件C“所選2人至少有1名女生”， p(C)=710，或者由事件C是事件A的對(duì)立事件知

p(C)=1-p(A)=1-310=710

當(dāng)然，概率問(wèn)題還要注意“非等可能”與“等可能”的混淆，區(qū)分抽樣的“有序性”與“無(wú)序性”、“可辨認(rèn)”與“不可辨認(rèn)”、“有放回”與“無(wú)放回”等問(wèn)題，這里就不再舉例詳述。

練習(xí)題

統(tǒng)計(jì)問(wèn)題

1.某公司生產(chǎn)三種型號(hào)的轎車，產(chǎn)量分別為1200輛，6000輛和2000輛。為檢驗(yàn)該公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進(jìn)行檢驗(yàn)，這三種型號(hào)的轎車依次應(yīng)抽取 6 ， 30 ， 10 輛。

3.為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲-18歲的男生體重(kg) ，得到頻率分布直方圖如下:

根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在 40 .

解析:根據(jù)該圖可知，組距為2，得這100名學(xué)生中體重在[56.5，64.5)的學(xué)生人數(shù)所占的頻率為(0.03+0.05+0.05+0.07)×2=0.4，所以該段學(xué)生的人數(shù)是40，

概率問(wèn)題

1.將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為 112 .

2.從A，B，C，D四人中選2人

(1)A，B兩人被選中的概率是多少? 16 ;(2)A，B兩人擔(dān)任正、副主任的概率是多少? 16 .