概率與統(tǒng)計(jì)易錯(cuò)題剖解

概率與統(tǒng)計(jì)是高中新教材新增添的內(nèi)容，它與實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系非常緊密.是大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，起承上啟下的作用，因而是近年來(lái)高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，也是每年高考必考內(nèi)容之一，多以“一小一大”題形式出現(xiàn)，這類題貼近學(xué)生生活實(shí)際，立意高、情境新、設(shè)問(wèn)巧、并賦予時(shí)代氣息.其難度為中檔題、容易題為主.其中小題主要考查統(tǒng)計(jì)初步(包括抽樣方法、總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)方差估計(jì)、總體分布的估計(jì)等)，試題多為課本例題，習(xí)題拓展加工，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、變式和拓展，體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)試卷新的設(shè)計(jì)理念，尊重不同考生個(gè)體思維的差異;而對(duì)概率(包括古典概型、幾何概型、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率等)的考查則以解答題形式出現(xiàn).

本文就以概率與統(tǒng)計(jì)解題中幾個(gè)常見(jiàn)的極易混淆的問(wèn)題為例進(jìn)行剖析，以期對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)有所幫助.

一 、錯(cuò)題剖析

類型一、古典概型中基本事件的個(gè)數(shù)計(jì)算問(wèn)題，“等可能”與“非等可能”相混淆

例1 一個(gè)袋子中有紅、白、藍(lán)三種顏色的球共24個(gè)，除顏色外完全相同，已知藍(lán)色球3個(gè)，若從袋子中隨機(jī)取出1個(gè)球，取到紅色球的概率是 16.(1)求紅球個(gè)數(shù);(2)將這三種顏色的球分別進(jìn)行編號(hào)，并將1號(hào)紅色球，1號(hào)白色球，2號(hào)藍(lán)色球和3號(hào)藍(lán)色球這四個(gè)球裝入另一袋中，甲乙兩人先后從這個(gè)袋中各取一個(gè)球(甲先取，取出不放回)，求甲取出球的編號(hào)比乙的大的概率.

錯(cuò)解:(1)略.(2)基本事件總數(shù)為:甲先取球有4種，乙再取球有3種，故共有4×3=12種，事件“甲取出的球的編號(hào)比乙的大”為甲取2號(hào)和3號(hào)籃色球有兩種方法，乙取1號(hào)紅色或白色球有兩種方法，故共有2×2=4種方法，所以所求概率為412=13.

正解:(1)設(shè)紅色球有x個(gè)，依題意得x24=16，解得x=4，∴ 紅色球有4個(gè). (2)記“甲取出的球的編號(hào)比乙的大”為事件A，所有基本事件有:(紅1，白1)，(紅1，藍(lán)2)，(紅1，藍(lán)3)，(白1，紅1)，(白1，藍(lán)2)，(白1，藍(lán)3)，(藍(lán)2，紅1)，(藍(lán)2，白1)，(藍(lán)2，藍(lán)3)，(藍(lán)3，紅1)，(藍(lán)3，白1)，(藍(lán)3，藍(lán)2)，共12個(gè);而事件A包含的基本事件有(藍(lán)2，紅1)，(藍(lán)2，白1)，(藍(lán)3，藍(lán)2)，共5個(gè);所以， P(A)=512.答:略.

小結(jié):古典概型是比較重要的一種概率，難點(diǎn)是基本事件的個(gè)數(shù)n的求法，常常導(dǎo)致錯(cuò)誤，若數(shù)目較少，可采用枚舉法或二維數(shù)表、框圖、樹(shù)形圖等幫助分析.

類型二、“互斥”、 “獨(dú)立”與“對(duì)立”相混淆

例2 把紅、黑、白、藍(lán)4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每個(gè)人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是什么事件?

錯(cuò)解:對(duì)立事件或相互獨(dú)立事件;

正解:事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件可能恰有一個(gè)發(fā)生，一個(gè)不發(fā)生，可能兩個(gè)都不發(fā)生，所以應(yīng)是互斥但不對(duì)立事件.

小結(jié):本題錯(cuò)誤的原因在于把“互斥”與“對(duì)立”及“獨(dú)立”混同，概念不清楚.三者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在:(1)兩事件對(duì)立，必定互斥，但互斥未必對(duì)立;(2)互斥概念適用于多個(gè)事件，但對(duì)立概念只適用于兩個(gè)事件;(3)兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個(gè)，但可以都不發(fā)生;而兩事件對(duì)立則表示它們有且僅有一個(gè)發(fā)生;(4)兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生與否沒(méi)有影響，三者有本質(zhì)的區(qū)別.

類型三、復(fù)雜事件進(jìn)行分拆時(shí)發(fā)生錯(cuò)誤

例3 甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是p1，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是p2，那么恰好有1人解決了這個(gè)問(wèn)題的概率是 .

錯(cuò)解:因?yàn)榍『靡粋€(gè)人解決這個(gè)問(wèn)題，可能是甲，也可能為乙，二者互斥，所以選概率為P1+P2.

正解:恰好一人解決了問(wèn)題，除了考慮一人解出問(wèn)題同時(shí)另一人必須沒(méi)有解決問(wèn)題，二者要同時(shí)發(fā)生.本題需將此事件進(jìn)行分拆為“甲解決乙沒(méi)有”和“乙解決而甲沒(méi)有”這兩個(gè)互斥事件，而事件“甲解決乙沒(méi)有”和“乙解決而甲沒(méi)有”都是獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生，因此正確答案是P1(1-P2)+P2(1-P1).

小結(jié):(1)正確理解各種概率的內(nèi)涵，求解的關(guān)鍵是識(shí)別其類型;

(2)要善于將較復(fù)雜的事件分解為互斥事件的和及獨(dú)立事件的積，或其對(duì)立事件.善于將具體問(wèn)題化為某事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生k次的概率.

類型四、“條件概率”與“相互獨(dú)立事件的概率”混淆

例4 袋中有6個(gè)黃色、4個(gè)白色小球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黃色球的概率.

錯(cuò)解:記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，”第二次才取到黃球”為事件C，所以P(C)=P(B|A)=69=23.

正解:P(C)= P(A#8226;B)=P(A)P(B|A)=410×69=415.答:略.

小結(jié):本題錯(cuò)誤在于(1)審題不清，題目要求:第二次才取到黃色球的概率.(2)概念混淆，P(A#8226;B)與P(B|A)的含義沒(méi)有弄清， P(A#8226;B)表示A與B同時(shí)發(fā)生的概率;而P(B|A)為作為條件的A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率.(3)正確認(rèn)識(shí)概率的類型是解決概率問(wèn)題的關(guān)鍵.

類型五、求解抽樣過(guò)程中個(gè)體被抽到的概率出錯(cuò)

例5 從2008個(gè)學(xué)生中選取100人志愿者，若采用下面的方法選取，先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法從2008人中剔除8人，剩下的2000人按年級(jí)分層抽樣取出100人，則每人入選的概率為 .

錯(cuò)解:認(rèn)為剔除8人，剩下的人被選的機(jī)會(huì)大，因此認(rèn)為概率為120.

正解:事實(shí)上簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣都是等可能事件的概率，每個(gè)個(gè)體在整個(gè)抽樣過(guò)程中被抽到的概率是均等的，都是P(A)= mn，其中n為在一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果個(gè)數(shù)，m為事件A包含的結(jié)果個(gè)數(shù).即概率為501004.

二、牛刀小試

1.有兩顆正四面體的玩具，其四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗(yàn):用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).試寫出:(1)試驗(yàn)的基本事件;(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”.

2.射手甲射擊一次，命中9環(huán)(含9環(huán))以上的概率為0.56，命中8環(huán)的概率為0.22，命中7環(huán)的概率為0.12.(1)求甲射擊一次，命中不足8環(huán)的概率;(2)求甲射擊一次，至少命中7環(huán)概率.

解答:1.解:(1)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件為:(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4).(2)事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于3”包含以下13個(gè)基本事件:(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4).

2.解:記“甲射擊一次，命中7環(huán)以下”為事件A，“甲射擊一次，命中7環(huán)”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時(shí)發(fā)生，故A與B是互斥事件，(1)“甲射擊一次，命中不足8環(huán)”為事件A+B，則P(A+B)=P(A)+P(B)=0.12+0.1=0.22.(2)∵“甲射擊一次，至少命中7環(huán)”為事件A，∴P(A)=1-P(A)=1-0.1=0.9.答:略.

三、結(jié)束語(yǔ)

恩格斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò):“無(wú)論從哪方面學(xué)習(xí)，不如從自己所犯的錯(cuò)誤的后果中學(xué)習(xí)來(lái)的快.”確實(shí)，錯(cuò)誤是人生中最好的老師.希望同學(xué)們?cè)诟呷膹?fù)習(xí)時(shí)能從題海中跳出，在錯(cuò)題中“淘金”.同學(xué)們，最重要的是找出產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，及時(shí)進(jìn)行歸納和總結(jié)，查漏補(bǔ)缺，提高解題能力.