探究高考中的熱點問題―概率

由于概率貼近生活，應(yīng)用廣泛，與其它知識的交匯密切，因此成了高考中的熱點問題.對概率的學(xué)習(xí)，首先要理解概率的有關(guān)概念，熟悉常見的概率類型，熟練掌握概率的相關(guān)計算公式和基本方法;其次要根據(jù)題目背景準(zhǔn)確判定概率類型、事件之間的相互關(guān)系、隨機(jī)變量服從哪種分布，從而正確選擇相應(yīng)概率公式進(jìn)行計算;另外解答概率應(yīng)用題要嚴(yán)格按照應(yīng)用題的解題要求規(guī)范答題.下面談?wù)勅绾吻蠼飧怕蕬?yīng)用題.

一、古典概型應(yīng)用題

【例1】如果下了課以后，教室里最后還剩下2位男同學(xué)，3位女同學(xué).一會兒又走了一位女同學(xué)，如果沒有兩位同學(xué)一塊兒走，則第二位是男同學(xué)走的概率是多少?

【解】已知走了一位女同學(xué)，還有兩位女同學(xué)和兩位男同學(xué)，所有走的可能順序構(gòu)成基本事件空間{(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)}，所以共有6個基本事件，而第二位走的是男同學(xué)為事件A，事件A共有基本事件3個，所以第二位是男同學(xué)走的概率為P(A)=36=12.

【點評】利用古典概型的計算公式時應(yīng)注意兩點:(1)所有的基本事件必須是互斥的;(2)求事件所包含的基本事件數(shù)時，要做到不重不漏.

【例2】現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品:(1)如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率;(2)如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率.

【分析】(1)為返回抽樣;(2)為不返回抽樣.

【解】(1)有放回地抽取3次，按抽取順序(x，y，z)記錄結(jié)果，則x，y，z都有10種可能，所以試驗結(jié)果有10×10×10=103種;設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品”，則包含的基本事件共有8×8×8=83種，因此，P(A)= 83103=0.512.

(2)解法1:可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄(x，y，z)，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗的所有結(jié)果為10×9×8=720種.設(shè)事件B為“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數(shù)為8×7×6=336， 所以P(B)=336720≈0.467.

解法2:可以看作不放回3次無順序抽樣，先按抽取順序(x，y，z)記錄結(jié)果，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，但(x，y，z)，(x，z，y)，(y，x，z)，(y，z，x)，(z，x，y)，(z，y，x)，是相同的，所以試驗的所有結(jié)果有10×9×86=120，按同樣的方法，事件B包含的基本事件個數(shù)為8×7×66=56，因此P(B)=56120≈0.467.

【點評】關(guān)于不放回抽樣，計算基本事件個數(shù)時，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結(jié)果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會導(dǎo)致錯誤.

反思小結(jié):解古典概率型題，要分清什么是基本事件空間，基本事件的個數(shù)，某事件所含基本事件的個數(shù).

二、幾何概型應(yīng)用題

由于幾何概型具有無限性和等可能性這兩個特點，因此幾何概型的求解與古典概型的求解思路是一樣的，都屬于比例解法。幾何概型常見的題型有“長度型”、“面積型”、“體積型”三種類型.

【例4】已知米粒等可能地落入如圖所示的四邊形內(nèi)，如果通過大量的實驗發(fā)現(xiàn)米粒落入△BCD內(nèi)的頻率穩(wěn)定在49附近，那么點A和點C到直線BD的距離之比約為 .

答案:54.

【點評】通過面積型幾何概型求得.

反思小結(jié):解決幾何概型的問題一般有以下四步:

(1)構(gòu)設(shè)變量. 從問題情景中，發(fā)現(xiàn)哪兩個量是隨機(jī)的;(2)集合表示.可用相應(yīng)的集合分別表示出試驗全部結(jié)果D和事件d所包含試驗結(jié)果;(3)作出區(qū)域. 長度、面積、體積;(4)計算求解. 根據(jù)幾何概型的公式，易從比值求得.

三、概率與其它知識的交匯

1.與線性規(guī)劃交匯

【例5】將長為l的棒隨機(jī)折成3段，求3段構(gòu)成三角形的概率.

【解】 設(shè)A=“3段構(gòu)成三角形”，x，y分別表示其中兩段的長度，則第3段的長度為l-x-y.則試驗的全部結(jié)果可構(gòu)成集合Ω={(x，y)|0

要使3段構(gòu)成三角形，當(dāng)且僅當(dāng)任意兩段之和大于第3段，即x+y>l-x-yx+y>l2，x+l-x-y>yyxx

故所求結(jié)果構(gòu)成集合A={(x，y)|x+y>l2，y

由圖可知，所求概率為P(A)=12#8226;(l2)2l22=14.

2.與二次方程的交匯

【例6】設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機(jī)變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數(shù)(重根按一個計).

(Ⅰ)求方程x2+bx+c=0有實根的概率;

(Ⅱ)求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(Ⅲ)求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x2+bx+c=0有實根的概率.

【解】(Ⅰ)基本事件總數(shù)為6×6=36，若使方程有實根，則Δ=b2-4c≥0，即b≥2c.

當(dāng)c=1時，b=2，3，4，5，6;當(dāng)c=2時，b=3，4，5，6;當(dāng)c=3時，b=4，5，6;當(dāng)c=4時，b=4，5，6;當(dāng)c=5時，b=5，6;當(dāng)c=6時，b=5，6.目標(biāo)事件個數(shù)為5+4+3+3+2+2=19，因此方程x2+bx+c=0 有實根的概率為1936.

(Ⅱ)由題意知，ξ=0，1，2，則P(ξ=0)=1736，P(ξ=1)=236=118，P(ξ=2)=1736，故ξ的分布列為:

ξ012

P17361181736

ξ的數(shù)學(xué)期望:

Eξ=0×1736+1×118+2×1736=1.

(Ⅲ)記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M，“方程ax2+bx+c=0 有實根” 為事件N，則P(M)=1136，P(MN)=736，P(NM)=P(MN)P(M)=711.

【點評】條件概率中注意公式的應(yīng)用.

3. 與統(tǒng)計的交匯

【例7】甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試，至少答對2題才算合格.(Ⅰ)求甲答對試題數(shù)ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.

【解】(Ⅰ)依題意，甲答對試題數(shù)ξ的概率分布如下:

ξ0123

P1303101216

甲答對試題數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望:Eξ=0×130+1×310+2×12+3×16=95.

(Ⅱ)設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則P(A)=C26C14+C36C310=60+20120=23，

P(B)=C28C12+C38C310=56+56120=1415.因為事件A、B相互獨立，

方法一:∵甲、乙兩人考試均不合格的概率為:P(A#8226;B)=P(A)P(B)=(1-23)(1-1415)=145.∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為:P=1-P(A#8226;B)=1-145=4445.

答:甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為4445.

方法二:∴甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為:

P=P(A#8226;B)+P(A#8226;B)+P(A#8226;B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

=23×115+13×1415+23×1415=4445.

答:甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為4445.

4.與向量的交匯

【例8】連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n，記向量a=(m，n)與向量b=(1，-1)的夾角為θ，則θ∈0，π2的概率是 .

【解】由向量夾角的定義，圖形直觀可得，當(dāng)點A(m，n)位于直線y=x上及其下方時，滿足θ∈0，π2，點A(m，n)的總個數(shù)為6×6個，而位于直線y=x上及其下方的點A(m，n)有6+1+C12+C13+C14+C15=21個，故所求概率=2136=712，答案:712.

5.與平面圖形的交匯

【例9】如圖，面積為S的正方形ABCD中有一個不規(guī)則的圖形M，可按下面方法估計M的面積:在正方形ABCD中隨機(jī)投擲n個點，若n個點中有m個點落入M中，則M的面積的估計值為mnS. 假設(shè)正方形ABCD的邊長為2，M的面積為1，并向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10000個點，以X表示落入M中的點的數(shù)目.

(Ⅰ)求X的均值EX;

(Ⅱ)求用以上方法估計M的面積時，M的面積的估計值與實際值之差在區(qū)間(-0.03，0.03)內(nèi)的概率.

附表:P(k)=∑kt=0Ct10000×0.25t×0.7510000-t

k2424242525742575

P(k)0.04030.04230.95700.9590

【解】每個點落入M中的概率均為p=14.依題意知X~B(10000，14).

(Ⅰ)EX=10000×14=2500.

(Ⅱ)依題意所求概率為P-0.03

P-0.03

=∑2574t=2426Ct10000×0.25t×0.7510000-t-∑2425t=0Ct10000×0.25t×0.7510000-1

=0.9570-0.0423=0.9147.

反思小結(jié):在知識交匯處命制高考題已成為熱點和方向，要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識和方法，迅速確定解題的方向，以提高解題的速度.

總之，古典概型問題，特別強(qiáng)調(diào)試驗結(jié)果的有限性和等可能性，在計算基本事件總m和可能事件中的基本事件數(shù)n時，應(yīng)注意前后標(biāo)準(zhǔn)的一致性;幾何概型問題，復(fù)習(xí)時要特別注意如下幾個問題:第一點，哪些概率問題是幾何概型問題?第二點，D和d的測度是會么樣的幾何量?第三點，概率知識與近似計算、函數(shù)與方程、解幾等知識的聯(lián)系.