訓(xùn)練(7)

一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)

1.計(jì)算:cos10π3= .

2.若復(fù)數(shù)m+2i1-i(m∈R，i是虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則m= .

3.已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=3，a、b之間的夾角為600，則a#8226;(a+b)= .

4.已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，若a1=3，前三項(xiàng)的和為21，則a4+a5+a6= .

5.設(shè)P和Q是兩個(gè)集合，定義集合P-Q={x|x∈P，且xQ} ，若P={1，2，3，4}，

Q=x|x+12 <2，x∈R}，則P-Q= .

6.已知變量x，y滿足y≤xx+y≥2y≥3x-6 ，則z=2x+y的最大值是 .

7.已知扇形的周長為8 cm，則該扇形面積的最大值為 cm2.

8.過橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M，與y軸的交點(diǎn)為B.若AM=MB，則該橢圓的離心率為 .

9.若方程lg|x|=-|x|+5在區(qū)間(k，k+1)(k∈z)上有解，則所有滿足條件的k的值的和為 .

10.如圖，海岸線上有相距5海里的兩座燈塔A、B，燈塔B位于燈塔A的正南方向，海上停泊著兩艘輪船，甲船位于燈塔A的北偏西75°方向，與A相距32海里的D處;乙船位于燈塔B的北偏西60°方向，與B相距5海里的C處，則兩艘船之間的距離為 海里.

11.如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)，若截面△BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為 .

12.設(shè)p:函數(shù)f(x)=2|x-a|在區(qū)間(4，+∞)上單調(diào)遞增;q:loga2<1，如果“┐p”是真命題，“P或q”也是真命題，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

13.如圖，在正方形ABCD中，已知AB=2，M為BC的中點(diǎn)，若N為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn)，則AM#8226;AN的最大值是 .

14.已知函數(shù)f(x)=ax-x4，x∈[12，1]，A，B是其圖象上不同的兩點(diǎn).若直線AB的斜率k總滿足12≤k≤4，則實(shí)數(shù)a的值是 .

二、解答題

15.(本題滿分14分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點(diǎn).

(1)若PA=PD，求證:平面PQB⊥平面PAD;

(2)點(diǎn)M在線段PC上，PM=tPC，試確定實(shí)數(shù)t的值，使得PA∥平面MQB.

16.(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=2cos2x+23sinxcosx.

(1)求函數(shù)f(x)在[-π6，π3]上的值域;

(2)在△ABC中，若f(C)=2，2sinB=cos(A-C)-cos(A+C)，求tanA的值.

17.(本題滿分14分)

已知曲線E:ax2+by2=1(a>0，b>0)，經(jīng)過點(diǎn)M(33，0)的直線l與曲線E交與點(diǎn)A、B，且MB=-2MA.

(1)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，求曲線E的方程.

(2)若a=b=1，求直線AB的方程.

18.有一座大橋既是交通擁擠地段，又是事故多發(fā)地段，為了保證安全，交通部門規(guī)定.大橋上的車距d(m)與車速v(km/h)和車長l(m)的關(guān)系滿足:(k為正的常數(shù))，假定車身長為4m，當(dāng)車速為60(km/h)時(shí)，車距為2.66個(gè)車身長.

(1)寫出車距d關(guān)于車速v的函數(shù)關(guān)系式;

(2)應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，才能使大橋上每小時(shí)通過的車輛最多?

19.(本題滿分16分)設(shè)a>0，函數(shù)f(x)=x2+a|lnx-1|.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;

(2)當(dāng)x∈[1，+∞)時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值.

20.(本題滿分16分)在數(shù)列{an}中，已知a1=p>0，且an+1an=n2+3n+2，n∈N

(1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，求p的值.

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

訓(xùn) 練(7)參考答案

一、填空題

1.-12

2.2

3.52

4.168

5.{4}

6.9

7.4

8.63

9.-1

10.13

11.83

12.(4，+∞)

13.6

14.92.

二、解答題

15.(本題滿分14分)

解:(1)連BD，四邊形ABCD菱形 ∵AD=AB，∠BAD=60°

∴△ABD為正三角形Q為AD中點(diǎn)

∴AD⊥BQ

∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)， AD⊥PQ

又BQ∩PQ=Q

∴AD⊥平面PQB，AD平面PAD

∴平面PQB⊥平面PAD

(2)當(dāng)t=13時(shí)，使得PA∥平面MQB，連AC交BQ于N，交BD于O，則O為BD 的中點(diǎn)，又∵BQ為△ABD邊AD上中線，∴N為正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的邊長為a，則AN=33a，AC=3a.

∵PA∥平面MQB PA平面PAC平面PAC∩平面MQB=MN

∴PA∥MN

PMPC=ANAC=33a3a=13 即:PM=13PC t=13.

16.解:

(1)f(x)=2cos2x+23sinxcosx=1+cos2x+3sin2x=2sin(2x+π6)+1

∵-π6≤x≤π3∴-π6≤2x+π6≤56π，-12≤sin(2x+π6)≤1

∴0≤sin(2x+π6)+1≤3

f(x)在區(qū)間[-π6，π3]上的值域?yàn)閇0，3]

(2)f(c)=2sin(2c+π6)+1=2，sin(2c+π6)=12，

∵0

∴2c+π6=5π6，c=π3

∵2sinB=cos(A-c)-cos(A+C)=2sinAsinC

∴sin(A+C)=sinAsinC

sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC

tanA=sinCsinC-cosC=sinπ3sinπ3-cosπ3=3+32

17.(本題滿分14分)

解:(1)設(shè)A(x0，y0)，因?yàn)锽(0，2)，M(33，0)，

故MB=(-33，2)，MA=(x0-33，y0).

因?yàn)楠㎝B=-2MA，所以(-33，2)=-2(x0-33，y0).

所以x0=33，y0=-1.即A(32，-1)

因?yàn)锳、B都在曲線E上，所以a#8226;02+b#8226;22=1，a#8226;(32)2+b#8226;(-1)2=1.

解得a=1，b=14.

所以曲線E的方程為x2+y24=1.

(2)當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(32，-12)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，1)，

此時(shí)直線AB的斜率k=-3，所求直線AB的方程為y=-3x+1;

當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(32，12)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，-1)，

此時(shí)直線AB的斜率k=3，所求直線AB的方程為y=3x-1.

18.(1)因?yàn)楫?dāng)時(shí)v=60時(shí)，d=2.66l，所以k=2.66l-12l602l=2.16602=0.0006，

∴d=0.0024v2+2

(2)設(shè)每小時(shí)通過的車輛為Q，則Q=1000vd+4.即Q=1000v0.0024v2+6=10000.0024v+6v

∵0.0024v+6v≥20.0024v×6v=0.24，

∴Q≤10000.24=125003，當(dāng)且僅當(dāng)0.0024v=6v，即v=50時(shí)，Q取最大值125003.

答:當(dāng)v=50(km/h)時(shí)，大橋每小時(shí)通過的車輛最多.

19.解(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x2+|lnx-1|

令x=1得 f(1)=2，f′(1)=1，所以切點(diǎn)為(1，2)，切線的斜率為1，

所以曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為:x-y+1=0.

(2)①當(dāng)x≥e時(shí)，f(x)=x2+alnx-a，f′(x)=2x+ax (x≥e)

∵a>0，∴f(x)>0恒成立. ∴f(x)在[e，+∞)上增函數(shù).

故當(dāng)x=e時(shí)，ymin=f(e)=e2

②當(dāng)1≤x

f′(x)=2x-ax=2x(x+a2)(x-a2)(1≤x<e)

(Ⅰ)當(dāng)a2≤1，即0

(Ⅱ)當(dāng)1

故當(dāng)x=a2時(shí)，ymin=3a2-a2lna2，且此時(shí)f(a2)

(Ⅲ)當(dāng)a2≥e;即 a≥2e2時(shí)，f′(x)在x∈(1，e)時(shí)為負(fù)數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[1，e]上為減函數(shù)，故當(dāng)x=e時(shí)，ymin=f(e)=e2.

綜上所述，當(dāng)a≥2e2時(shí)，f(x)在x≥e時(shí)和1≤x≤e時(shí)的最小值都是e2.

所以此時(shí)f(x)的最小值為f(e)=e2;當(dāng)2

f(a2)=3a2-a2lna2，而f(a2)

所以此時(shí)f(x)的最小值為f(a2)=3a2-a2lna2.

當(dāng)0

而f(1)

所以函數(shù)y=f(x)的最小值為ymin=1+a，02e2

20.解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則an=a1+(n-1)d，an+1=a1+nd，

依題得:[a1+(n-1)d](a1+nd)=n2+3n+2，對(duì)n∈N恒成立.

即:d2n2+(2a1d-d2)n+(a21-a1d)=n2+3n+2，對(duì)n∈N恒成立.

所以d2=12a1d-d2=3a21-a1d=2，即:d=1a1=2 或d=-1a1=-2

∵a1=p>0，故p的值為2.

(2)∵an+1#8226;an=n2+3n+2=(n+2)(n+3)

∴an+2#8226;an+1=(n+2)(n+3)

所以，an+2an=n+3n+1

①當(dāng)n為奇數(shù)，且n≥3時(shí)，a3a1=42，a5a3=64，……，anan-2=n+1n-1.

相乘得ana1=n+12，所以 an=n+12p.當(dāng)n=1也符合.

②當(dāng)n為偶數(shù)，且n≥4時(shí)，a6a4=75……anan-2=n+1n-1

相乘得ana2=n+13，所以 an=n+13a2

∵a1#8226;a2=6，所以 a2=6p.因此 an=2(n+1)p，當(dāng)n=2時(shí)也符合.

所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n+12p，n為奇數(shù)2(n+1)p，n為偶數(shù) .

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

Sn=p+6p+2p+10p+……+n2p+2(n+1)p=p#8226;n2(1+n2)2+2p#8226;n2(3+n+1)2

=n(n+2)8p+n(n+4)2p

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n-1為偶數(shù)，

Sn=Sn-1+an=(n-1)(n-1+2)8p+(n-1)(n-1+4)2p+n+12p

=(n+1)(n+3)8p+(n-1)(n+3)2p

所以Sn=(n+1)(n+3)8p+(n-1)(n+3)2p，n為奇數(shù)n(n+2)8p+n(n+4)2p，n為偶數(shù) 

參考答案

1.解:(1)設(shè)圓M的半徑為r.

因?yàn)閳AM與圓F1，所以MF2=r

所以MF1=4-MF2，即:MF1+MF2=4

所以點(diǎn)M的軌跡C是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓且設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)其中 2a=4，c=1，所以a=2，b=3

所以曲線C的方程x24+y23=1

(2)因?yàn)橹本€l過橢圓的中心，由橢圓的對(duì)稱性可知，S△ABF1=2S△aoF1

因?yàn)镾△ABF1=32，所以S△AOF1=34.

不妨設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)在x軸上方，則S△AOF1=12#8226;OF1#8226;y1=34.

所以y1=32，x1=±3，即:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，32)或(-3，32)

所以直線l的斜率為±12，故所求直線方和程為x±2y=0

2.解:(1)A(1，0，0)，E(12，0，1)，B(1，1，0)，F(xiàn)(1，12，1)

AE=(-12，0，1)，BF=(0，-12，1)

cos(AE，BF)=15454=45

(2)平面BDD1的一個(gè)法向量為MA=(12，-12，0)

設(shè)平面BFC1的法向量為n=(x，y，z)

n#8226;BF=-12y+z=0n#8226;BC=(x，y，z)#8226;(-1，0，1)=-x+z=0 ∴x=zy=2z

取z=1得平面BFC1的一個(gè)法向量n=(1，2，1)

cos<MA，n>=MA#8226;n|MA||n|=12-1226=-36

∴所求的余弦值為36

(3)設(shè)P(x，y，0)(0≤x≤1，0≤y≤1)

EP=(x-12，y，-1)，由EP#8226;n=0得(x-12)+2y-1=0

即x=-2y+32，∵0≤x≤1，∴0≤-2y+32≤1∴14≤y≤34

∴|EP|=(x-12)2+y2+1=(2y-1)2+y2+1=5y2-4y+2=5(y-25)2+65

∵14≤y≤34

∴當(dāng)y=25時(shí)，∴|EP|min=305

當(dāng)y=34時(shí)，∴EPmax=294