概率與統(tǒng)計(jì)\\計(jì)數(shù)原理的解題方法

概率與統(tǒng)計(jì)以其獨(dú)特的研究對(duì)象和研究方法，在中學(xué)數(shù)學(xué)中是相對(duì)獨(dú)立的，但是，概率與統(tǒng)計(jì)試題的背景與日常生活最貼近，聯(lián)系最為緊密，不管是從內(nèi)容上，還是從思想方法上，都體現(xiàn)著應(yīng)用的觀念與意識(shí)，在展現(xiàn)分類(lèi)討論、化歸思想的同時(shí)，培養(yǎng)同學(xué)們解決問(wèn)題的能力.

在高考解答題中，理科重點(diǎn)考查隨機(jī)變量的分布列與期望，互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，獨(dú)立重復(fù)事件的概率等，穿插考查計(jì)數(shù)原理知識(shí)、合情推理能力和有關(guān)優(yōu)化決策能力.

【例1】(2009全國(guó)卷Ⅱ文)某車(chē)間甲組有10名工人，其中有4名女工人;乙組有10名工人，其中有6名女工人?，F(xiàn)采用分層抽樣(層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣)從甲、乙兩組中共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核。

(Ⅰ)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù);

(Ⅱ)求從甲組抽取的工人中恰有1名女工人的概率;

(Ⅲ)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率.

【分析】第一問(wèn)直接利用分層統(tǒng)計(jì)原理即可得人數(shù)，第二問(wèn)注意要用組合公式得出概率，第三問(wèn)關(guān)鍵是理解清楚題意以及恰有2名男工人的具體含義，從而正確分類(lèi)求概率。

【解】(Ⅰ)由于甲、乙兩組各有10名工人，根據(jù)分層抽樣原理，要從甲、乙兩組中共抽取4名工人進(jìn)行技術(shù)考核，則從每組各抽取2名工人。

(Ⅱ)記表示事件:從甲組抽取的工人中恰有1名女工人，則

P(A)=C14C16C210=815

(Ⅲ)Ai表示事件:從甲組抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2

Bj表示事件:從乙組抽取的2名工人中恰有j名男工人，j=0，1，2

B表示事件:抽取的4名工人中恰有2名男工人。

Ai與Bj獨(dú)立，i，j=0，1，2，且B=A0#8226;B2+A1#8226;B1+A2#8226;B0

故P(B)=P(A0#8226;B2+A1#8226;B1+A2#8226;B0)

=P(A0)#8226;P(B2)+P(A1)#8226;P(B1)+P(A2)#8226;P(B0)

=C24C210#8226;C24C210+C14C16C210#8226;C16C14C210+C26C210#8226;C26C210=3175

所以抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率為3175.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，要求有正確理解分層抽樣的方法及利用分類(lèi)原理處理事件概率的能力，注意正確選擇恰當(dāng)?shù)挠?jì)數(shù)原理.

【例2】(2009四川卷文)2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是 .

【分析】這是一道典型的排列組合題，在解題時(shí)要注意對(duì)特殊元的處理，遵循“特殊元優(yōu)先”的原則，從而找到解題的切入點(diǎn).

解:從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，(A共有C23A22=6種不同排法)，剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙;則男生甲必須在A、B之間(若甲在A、B兩端。則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時(shí)就不能滿(mǎn)足男生甲不在兩端的要求)此時(shí)共有6×2=12種排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙，所以，共有12×4=48種不同排法。

【點(diǎn)評(píng)】通過(guò)本題的解題過(guò)程，可發(fā)現(xiàn)在解題時(shí)，要熟練掌握“捆綁法”、“插空法”、“隔板法”等排列組合的常規(guī)方法.

【例3】(08#8226;重慶高考)在每道單項(xiàng)選擇題給出的4個(gè)備選答案中，只有一個(gè)是正確的.若對(duì)4道選擇題中的每一道都任意選定一個(gè)答案，求這4道題中:(Ⅰ)恰有兩道題答對(duì)的概率;(Ⅱ)至少答對(duì)一道題的概率.

【分析】第(Ⅰ)小題事件為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，因此可直接計(jì)算;第(Ⅱ)小題可以考慮利用正面解答，但若考慮其對(duì)立事件進(jìn)行解答，則更加簡(jiǎn)捷.

【解】“選擇每道題的答案”為一次試驗(yàn)，則這是4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，且每次試驗(yàn)中“選擇正確”這一事件發(fā)生的概率為14.由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式得:

(Ⅰ)恰有兩道題答對(duì)的概率為P4(2)=C24(14)2(34)2=27128.

(Ⅱ)解:至少有一道題答對(duì)的概率為1-P4(0)=1-C04(14)0(34)4=1-81256=175256.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及對(duì)立事件、互斥事件的綜合運(yùn)算.

【例4】(2009四川卷理)為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2000萬(wàn)張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡(jiǎn)稱(chēng)金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡(jiǎn)稱(chēng)銀卡)。某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝旅游，其中34是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有13持金卡，在省內(nèi)游客中有23持銀卡。

(Ⅰ)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率;

(Ⅱ)在該團(tuán)的省內(nèi)游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ。

【分析】本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概率計(jì)算，考察運(yùn)用概率解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

【解】(Ⅰ)由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡;省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡。設(shè)事件為“采訪該團(tuán)3人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”，

事件A1為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，0人持銀卡”，

事件A2為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，1人持銀卡”。

P(B)=P(A1)+P(A2)=C19C221C336+C19C16C121C336=934+27170=3685.

所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是3685。

(Ⅱ)ξ的可能取值為0，1，2，3

P(ξ=0)=C33C39=184，P(ξ=1)=C16C23C39=314

P(ξ=2)=C26C13C39=1528，P(ξ=3)=C36C39=521

所以ξ的分布列為

ξ0123

P1843141528521

所以Eξ=0×184+1×314+2×1528+3×521=2.

【點(diǎn)評(píng)】求離散型隨機(jī)變量的分布列有三個(gè)步驟:①明確隨機(jī)變量X取哪些值;②計(jì)算隨機(jī)變量X取每一個(gè)值時(shí)的概率;③將結(jié)果用二維表格形式給出.計(jì)算概率時(shí)注意結(jié)合排列與結(jié)合知識(shí).

【例5】(08全國(guó)Ⅱ高考)購(gòu)買(mǎi)某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)a元，若投保人在購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10000元的賠償金.假定在一年度內(nèi)有10000人購(gòu)買(mǎi)了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立.已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1-0.999104.(Ⅰ)求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p;(Ⅱ)設(shè)保險(xiǎn)公司開(kāi)辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(單位:元).

【分析】第(Ⅰ)小題利用對(duì)立事件，并通過(guò)比較系數(shù)即可求得投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p;第(Ⅱ)小題首先求投保的10000人中出險(xiǎn)的人數(shù)ξ的期望，再利用期望的線性關(guān)系的性質(zhì)求取盈利期望Eη的值.

【解】各投保人是否出險(xiǎn)互相獨(dú)立，且出險(xiǎn)的概率都是p，

記投保的10000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為ξ，則ξ～B(104，p).

(Ⅰ)記A表示事件:保險(xiǎn)公司為該險(xiǎn)種至少支付10000元賠償金，則A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)ξ=0，

P(A)=1-P(A)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)104

又P(A)=1-0.999104，故p=0.001.

(Ⅱ)該險(xiǎn)種總收入為10000a元，支出是賠償金總額與成本的和.

支出 10000ξ+50000，

盈利η=10000a-(10000ξ+50000)，

盈利的期望為 Eη=10000a-10000Eξ-50000，

由ξ～B(104，10-3)知，Eξ=104×10-3，

Eη=104a-104Eξ-5×104=104a-104×104×10-3-5×104.

Eη≥0104a-104×104×10-3-5×104≥0(a≥15(元).

故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望計(jì)算及性質(zhì)的應(yīng)用.二項(xiàng)分布的期望與方差的計(jì)算一般不利用求解離散型隨機(jī)變量X的期望與方差的方法求解，因計(jì)算較為繁瑣，而是根據(jù)其自身的期望與方差的計(jì)算公式，?？墒箚?wèn)題得到快速的解決.

【例5】(2008全國(guó)Ⅰ20)已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的動(dòng)物.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病動(dòng)物，呈陰性的即沒(méi)患病.下面是兩種化驗(yàn)方法:

方案甲:逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止.

方案乙:先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止;若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn).

(Ⅰ)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率;

(Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求ξ的期望.

【分析】(Ⅰ)中根據(jù)題意，確定兩種方案所需化驗(yàn)次數(shù)的所有可能取值，由排列組合知識(shí)求出相應(yīng)的概率;(Ⅱ)根據(jù)分布表，運(yùn)用公式求得期望.

【解】(Ⅰ)方案甲的分布表為:

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，以及根據(jù)分布列進(jìn)行比較方案優(yōu)劣，在求解分布列時(shí)根據(jù)題意明確可能的所有取值是解答此題的易錯(cuò)之處.由于本題涉及到的數(shù)據(jù)較多，交叉性也較強(qiáng)，因此容易把對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)搞錯(cuò).

從以上例題可以看出，概率統(tǒng)計(jì)及計(jì)數(shù)原理的試題與實(shí)際生活密切相關(guān)，往往以實(shí)際問(wèn)題為背景，結(jié)合排列、組合，甚至算法、函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)，試題難度均不大，但重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，而且試題通常是通過(guò)對(duì)常見(jiàn)題型進(jìn)行改編，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的整合、變式和拓展，從而加工為立意高、情境新、設(shè)問(wèn)巧的實(shí)際問(wèn)題.所以我們?cè)趶?fù)習(xí)過(guò)程中，要注意夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，強(qiáng)化雙基訓(xùn)練，把握基本題型，熟悉常規(guī)解法，才能進(jìn)一步增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高應(yīng)用和解題能力.