多元回歸分析的逐步回歸預(yù)測模型

摘 要： 回歸分析方法是多元統(tǒng)計(jì)分析的各方法中應(yīng)用最廣泛的一種，也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最成熟最常用的方法，主要是研究變量間的相互依賴關(guān)系。本文對(duì)多元線形回歸模型的逐步回歸，最優(yōu)模型的檢驗(yàn)、評(píng)價(jià)及預(yù)測作出了討論。

關(guān)鍵詞： 多元線形回歸模型 逐步回歸 最優(yōu)模型

回歸分析是一種古典又充滿生機(jī)的模型，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最成熟、最常用的方法。它可廣泛應(yīng)用于社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科技各個(gè)領(lǐng)域的數(shù)據(jù)分析，建立經(jīng)驗(yàn)公式，作定理預(yù)測預(yù)報(bào)等，如氣象預(yù)報(bào)、地震預(yù)報(bào)、病蟲預(yù)報(bào)、股市行情分析，等等。

建立逐步回歸多因子回歸方程是基于最小二乘法原理，通過逐步回歸剔除對(duì)因變量不起作用或作用極小的因子，挑選出顯著性因子，最終得出最優(yōu)回歸模型，但最優(yōu)模型是否適用于預(yù)測，還得根據(jù)實(shí)際情況和要求進(jìn)行模型的假設(shè)性檢驗(yàn)才能作出評(píng)價(jià)。另外，對(duì)模型的預(yù)測精度也應(yīng)有一個(gè)比較正確的認(rèn)識(shí)，不能要求過高。現(xiàn)就多元線形回歸模型的逐步回歸，最優(yōu)模型的檢驗(yàn)、評(píng)價(jià)及預(yù)測作些討論。

1.多元線形回歸的數(shù)學(xué)模型

設(shè)隨機(jī)變量y隨著m個(gè)自變量x，x，…，x變化，且有如下的線形關(guān)系式：

y=β+βx+…+βx+ε

此式稱為回歸方程。其中β，β，…，β稱為回歸系數(shù)，是m+1個(gè)待估計(jì)的參數(shù)，ε是隨機(jī)變量（剩余參數(shù)）。

回歸分析的主要問題是根據(jù)x，x，…，x，y的n組觀測數(shù)據(jù)（x，x…，x，y），k=1，2，…，n給出各回歸系數(shù)β的估計(jì)值β，同時(shí)對(duì)β（i=0，1，2，…，m）各作統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，以便說明估計(jì)值的可靠性。將觀測值代入回歸方程可得：

y=β+βx+…+βx+ε……y=β+βx+…+βx+ε

其中ε，…，ε是n個(gè)相互獨(dú)立且服從同一正態(tài)分布N（0，σ）的隨機(jī)變量。

假設(shè)Y=yy，X=1 x…x1 xx，β=ββ，ε=εε，

則可得對(duì)應(yīng)的矩陣方程：Y=Xβ+ε。

2.回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)

設(shè)β，β，…，β分別是參數(shù)β，β，…，β的最小二乘估計(jì)，則y的觀測值可表示為：y=β+βx+…+βx+e，其中k=1，2，…，n，e是誤差ε的估計(jì)值。又令y為y的估計(jì)值，有：y=β+βx+…+βx，e=y-y。根據(jù)最小二乘法，β，β，…，β應(yīng)使得全部觀測值y與回歸值y的誤差平方和達(dá)到最小，即：Q=［y-（β+βx+…+βx）］有最小值。

由于Q是β，β，…，β的非負(fù)二次式，最小值一定存在。根據(jù)數(shù)學(xué)分析的極值原理，β，β，…，β應(yīng)滿足下面的方程組：=-2（y-y）=0=-2（y-y）x=0=-2（y-y）x=0，稱為正規(guī)方程組。

通過整理可知正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣是對(duì)稱矩陣。將其寫為矩陣形式的方程為：（X′X）=X′Y，若系數(shù)矩陣X′X滿秩，求解上述矩陣方程得：=（X′X）X′Y。

3.逐步回歸建立最優(yōu)回歸模型

多元逐步回歸分析的基本步驟可歸納如下：

（1）對(duì)已知數(shù)據(jù)進(jìn)行中心化處理，得A陣：A=［（X-）（X-）］，=，=（i，j=1，2，…，m+1）。

（2）計(jì)算偏回歸平方和P并求出其中最大值。各自變量（未引入的）偏回歸平方和按①計(jì)算，其中偏回歸平方和最大值按②選出。①P=A×A/A，②P=max（P），i=1，2，…，m。

（3）檢驗(yàn)是否引入第h個(gè)自變量因子。采用F檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)：F=。根據(jù)給定的顯著性水平α，查F分布分位數(shù)表，可查出F（1，n-r-2）的值。r為已引入自變量的個(gè)數(shù)，初值為0，當(dāng)引入一個(gè)自變量因子時(shí)r加1，當(dāng)剔除一個(gè)自變量因子時(shí)r減1，n為記錄數(shù)。如果F≤F（1，n-r-2），說明所選的自變量因子均不合適，需另選自變量因子，重新分析該問題；反之，則引入該自變量因子，進(jìn)入下一步驟。

（4）對(duì)A陣按下面各式施行消元變換，得一新A陣。其中：A=（i=h，j=h）；A=（i≠h，j=h）；A=AA（i=h，j≠h）；A=A-（i≠h，j≠h）。

（5）從新的A陣出發(fā)，計(jì)算偏回歸平方和，并從中選出未引入的自變量因子中對(duì)應(yīng)的最大值。計(jì)算公式與前面相同只是值不同。

（6）檢驗(yàn)是否引入第h個(gè)自變量因子，同樣應(yīng)用F檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)。若F≤F（1，n-r-2），不引入該自變量因子，篩選完畢；若F＞F（1，n-r-2），則引入該自變量因子，進(jìn)入下一步驟。

（7）重復(fù)步驟（4）和（5），只是在計(jì)算出偏回歸平方和P時(shí)，從中選出已引入自變量因子中對(duì)應(yīng)的最小值：P=min（P）。

（8）檢驗(yàn)是否可剔除自變量因子。采用F檢驗(yàn)進(jìn)行檢驗(yàn)：

F=。

根據(jù)給定的顯著性水平α，查F分布分位數(shù)表，可查出F（1，n-r-1）的值。r為已引入自變量的個(gè)數(shù)，n為記錄數(shù)。若F≤F（1，n-r-1），剔除該自變量因子，然后返回步驟（7）；若F＞F（1，n-r-1），不剔除該自變量因子，然后返回步驟（5）。

重復(fù)循環(huán)步驟（5）—（8），直到篩選完畢，則最優(yōu)回歸模型建立。最終所確定的回歸系數(shù)可根據(jù)下式計(jì)算：β=Aβ=-（β#8226;）。應(yīng)當(dāng)注意的是，上式中的i均在1，2，…，m中取值，但并非所有值，只取引入的自變量的因子對(duì)應(yīng)的序號(hào)值。

4.預(yù)測模型的檢驗(yàn)

回歸模型建立后，當(dāng)前回歸系數(shù)反映了自變量和因變量的結(jié)構(gòu)關(guān)系，這種變動(dòng)關(guān)系是否可預(yù)測未來還需進(jìn)行檢驗(yàn)。對(duì)預(yù)測模型的檢驗(yàn)一般包括下面5個(gè)方面。

（1）t檢驗(yàn)：t檢驗(yàn)是對(duì)回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。

（2）F檢驗(yàn)：F檢驗(yàn)是對(duì)回歸方程的顯著性檢驗(yàn)。

（3）D.W檢驗(yàn)：D.W檢驗(yàn)是對(duì)回歸余項(xiàng)服從正態(tài)分布的假設(shè)檢驗(yàn)。

（4）回歸標(biāo)準(zhǔn)差的檢驗(yàn)：回歸標(biāo)準(zhǔn)差越接近于0，說明模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)的偏差越小，預(yù)測的可靠性越高。但實(shí)際上S往往較大，因此一般采用相對(duì)指標(biāo)來評(píng)價(jià)。

（5）擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)：擬合優(yōu)度R越接近1則說明擬合得越好。一般認(rèn)為當(dāng)R在0.8以上可認(rèn)為擬合優(yōu)度較高。

5.模型預(yù)測

模型的預(yù)測可分為點(diǎn)預(yù)測和區(qū)間預(yù)測。

（1）點(diǎn)預(yù)測：給定未來某時(shí)刻t的自變量X值（x，…，x），代入回歸方程，得到因變量Y的Y，稱為點(diǎn)預(yù)測。

（2）區(qū)間預(yù)測：以一定的概率1-α（或給定的顯著性水平α下）預(yù)測因變量在點(diǎn)預(yù)測值附近的變動(dòng)范圍，稱為區(qū)間預(yù)測。

以上各步，我們都可通過SAS軟件來實(shí)現(xiàn)，只要編制出適當(dāng)?shù)腟AS程序，把觀測數(shù)據(jù)輸入到程序中，就可以得出我們想要的結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

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（作者系山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2007級(jí)碩士）