例談數(shù)列中幾種常見數(shù)學(xué)思想的運用

吳燕梅

摘 要：數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容，已日益引起人們的注意，加強數(shù)學(xué)思想方法的研究與教學(xué)，能使學(xué)生從煩瑣的解題中找到“竅門”，真正做到觸類旁通，達(dá)到舉一反三的效果.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；數(shù)列；運用

數(shù)列知識的考查在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要部分，其問題中蘊涵豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，而數(shù)學(xué)思想是認(rèn)識、理解和掌握數(shù)學(xué)的意識. 在解決數(shù)列問題時如果能夠充分運用這些思想，可以使很多數(shù)列問題變得直觀、簡潔與巧妙，筆者選取幾例說明高中幾種數(shù)學(xué)思想在數(shù)列問題上的應(yīng)用.

[?] 函數(shù)與方程思想

問題1.1 已知數(shù)列{an}的通項公式an=n2+kn+2，若對n∈N*，都有an+1>an成立，則k的取值范圍是______.

分析：因為an+1=（n+1）2+k（n+1）+2，所以?n∈N*，an+1>an，即k>-（2n+1）恒成立，得k>-3.

點評：數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其自變量n∈N*，本題考查數(shù)列中的單調(diào)性和恒成立問題.類比函數(shù)中的方法，問題迎刃而解. 從數(shù)列的通項公式思考，容易發(fā)現(xiàn)，其可視為二次函數(shù)的單調(diào)性來研究，考慮到定義域的特殊性，應(yīng)該滿足-<，即k>-3.

問題1.2 已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，且9S3=S6，則數(shù)列

的前5項和為________.

分析：因為9S3=S6，所以q≠1，則9=，得q=2；

由{an}是首項為1的等比數(shù)列得

是以=1為首項、以=為公比的等比數(shù)列，所以

的前5項和為=.

點評：在求解等差（等比）數(shù)列的通項公式與前n項和問題中，一般都先根據(jù)已知條件列方程或方程組解出數(shù)列的基本量，方程思想在這里起了主導(dǎo)作用.

[?] 數(shù)形結(jié)合思想

在解決數(shù)列問題時，一方面要考慮數(shù)列其特殊的函數(shù)身份，可以幫助我們想到借助函數(shù)圖象處理復(fù)雜的問題；另一方面，數(shù)列也常與不等式、解析幾何等交叉出題，此類問題要思考：數(shù)的問題借助形去觀察，而形的問題借助數(shù)去思考.

問題2 如圖1，從點P1（0，0）作x軸的垂線交曲線y=ex于點Q1（0，1），曲線在點Q1處的切線與x軸交于點P2，再從點P2作x軸的垂線交曲線于點Q2，依次重復(fù)上述過程得到一系列點：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn. 記Pk點的坐標(biāo)為（xk，0）（k=1，2，…，n），試求xk與xk-1的關(guān)系（2≤k≤n）.

分析：設(shè)Pk-1（xk-1，0），由y′=ex得

Qk-1（xk-1，exk-1）處的切線方程為y-exk-1=exk-1（x-xk-1）.

點Pk（xk，0）在Qk-1處的切線上得xk-xk-1=-1（2≤k≤n）.

點評：本題即以圖形的問題出現(xiàn)，討論點的生成規(guī)律，利用形中的具體特征，從直線的斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系找到解題突破口——巧設(shè)點Pk-1，利用點斜式方程寫出切線方程，再探求xk與xk-1的關(guān)系.

[?] 分類與整合思想

問題3.1 數(shù)列{an}的通項an=n

cos2-sin2

，其前n項和為Sn，則S2012=________.

分析：因為an=ncosnπ=n，n=2k，k∈N*，

-n，n=2k-1，k∈N*，

所以S2012=a1+a2+…+a2012=（-1）+2+（-3）+4+…+（-2011）+2012=1+1+…+1=1006.

點評：數(shù)列{an}的通項公式反映an與n之間的關(guān)系，在求解時要注意對表達(dá)式關(guān)系進(jìn)行分類整理，涉及（-1）n，sinnπ，cosnπ等具體“+、-”符號與數(shù)列中奇偶項對應(yīng)的問題要分類討論；數(shù)列通項另一細(xì)節(jié)問題是注意對n=1，n≥2表達(dá)式是否是一種形式要檢驗再進(jìn)行合并整理.

問題3.2 當(dāng)p1，p2，…，pn均為正數(shù)時，稱為p1，p2，…，pn的“均倒數(shù)”，已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且其前n項的“均倒數(shù)”為.

（1）試求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）設(shè)cn=，試判斷說明cn+1-cn（n∈N*）的符號；

（3）已知bn=tan（t>0），記數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，試求的值.

分析：（1）（2）解析略；

（3）因為bn=tan=t4n-1（t>0），所以Sn=b1+b2+…+bn=t3+t7+…+t4n-1；

（ⅰ）當(dāng)t=1時，Sn=n，則=；

（ⅱ）當(dāng)t>0，t≠1時，Sn=，則=.

綜上可得=

，t=1，

，t>0，t≠1.

點評：等比數(shù)列求和公式中考慮公比q=1，q≠1兩種情況，是分類討論思想的直接體現(xiàn)與應(yīng)用. 當(dāng)q=1，Sn=na1；當(dāng)q≠1，Sn=（其中a1是數(shù)列的首項）.

[?] 轉(zhuǎn)化與化歸思想

問題4 已知數(shù)列{an}的首項a1=，an+1=（n=1，2，3，…），則數(shù)列{an}的通項公式為________.

分析：根據(jù)遞推式的特點，對等式兩邊取倒數(shù)后進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為先求等比數(shù)列通項，即=+·，設(shè)+λ=

+λ

?λ=-1，所以-1=

-1. 又-1=，所以

-1是以為首項、為公比的等比數(shù)列. 所以-1=

n，即an=.

點評：利用數(shù)列遞推公式求通項公式的主要思想是將其轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列（如等差、等比數(shù)列等）加以解決，是轉(zhuǎn)化思想在數(shù)列問題中的集中體現(xiàn)之一. 其特點是把生疏的問題化歸為熟悉的問題，將復(fù)雜的問題變成一般的問題來解決.

[?] 特殊與一般思想

其思想主要特點：（1）先由特殊情況得到一般規(guī)律，再對一般情況進(jìn)行分析；（2）對一般情況成立的結(jié)論對特殊情況也一定成立.

問題5 已知集合A={a1，a2，…，ak}（k≥2），其中ai∈Z（i=1，2，…，k）. 由A中元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：

S={（a，b）

a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）

a∈A，b∈A，a-b∈A}，其中（a，b）是有序數(shù)對，集合S，T中的元素個數(shù)分別是m和n.若對任意的a∈A，總有-a?A，則稱集合A具有性質(zhì)P.

（1）檢驗集合{0，1，2，3}和{-1，2，3}是否具有性質(zhì)P，并對其中具有性質(zhì)P的集合寫出相應(yīng)的集合S，T；

（2）對任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：n≤.

分析：（1）因為0∈{0，1，2，3}，而-0∈{0，1，2，3}，所以{0，1，2，3}不具有性質(zhì)P；

對于任意a∈{-1，2，3}，-a?{-1，2，3}，則集合{-1，2，3}具有性質(zhì)P. 根據(jù)定義得：

S={（-1，3），（3，-1）}，T={（2，3），（2，-1）}.

（2）設(shè)集合A={a1，a2，…，ak}（k≥2）具有性質(zhì)P，則0?A，否則-0∈A與A具有性質(zhì)P矛盾，所以集合T中元素特征是：

（?。╝i，ai）?T（i=1，2，…，k），否則ai-ai=0∈A與0?A矛盾；

（ⅱ）（ai，aj）與（aj，ai）（i≠j）中至多只有一個屬于T，否則ai-aj與-（ai-aj）均屬于A與A具有性質(zhì)P矛盾.

由此可知T中元素最多只可能是從A中k個元素任取2兩個元素的組合C=，所以n≤.

點評：（1）中先由一般到特殊，檢驗特殊集合并寫出特殊的S和T；

（2）問是由（1）問一般化而來，從一般的T中元素個數(shù)的證明，涉及排列組合知識.

數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容，已日益引起人們的注意，加強數(shù)學(xué)思想方法的研究與教學(xué)，能使學(xué)生從煩瑣的解題中找到“竅門”，真正做到觸類旁通，達(dá)到舉一反三的效果.