“雞兔同籠”教學(xué)的實踐與思考

“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數(shù)學(xué)問題，最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中。在小學(xué)智力訓(xùn)練題中，關(guān)于“雞兔同籠”以及由“雞兔同籠”演變而來的問題比較常見，應(yīng)該說教材向?qū)W生提供了現(xiàn)實、有趣、富有挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)素材，因此，進(jìn)行“雞兔同籠”問題教學(xué)，非常容易激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

另一方面，“雞兔同籠”之所以成為經(jīng)典問題，除了體現(xiàn)在上述的趣味性、挑戰(zhàn)性外，更為本質(zhì)的是，解決“雞兔同籠”這樣的數(shù)學(xué)問題，非常有助于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力，另一方面使學(xué)生也體會到代數(shù)方法的一般性。以下結(jié)合本人執(zhí)教人教版六上“雞兔同籠”的課堂實踐，就如何進(jìn)行數(shù)學(xué)方法交流、突破思維定勢、把握學(xué)生起點等層面予以簡要探析。

一、突破思維定式。強調(diào)策略無限

不可否認(rèn)，部分學(xué)生已經(jīng)在奧數(shù)班里學(xué)過“雞兔同籠”，已經(jīng)知道解決這個問題的解題模式。但我想數(shù)學(xué)的精髓應(yīng)該體現(xiàn)在思維的過程，感悟數(shù)學(xué)的思想，“雞兔同籠”問題在這里我們不是看成一般的解題，更不是看為奧數(shù)的題，讓學(xué)生望而生畏，而是以“雞兔同籠”這個問題作為載體引導(dǎo)學(xué)生探究解決這類相關(guān)問題的方法獲取過程，滲透問題解決的策略思想，這才是“雞兔同籠”問題的教學(xué)價值。 立足于上述的觀點，那么自然也就弱化了結(jié)果，強化了過程。教師的思想開放了，學(xué)生的思維才能真正開闊。因此我設(shè)計了“自主嘗試”教學(xué)環(huán)節(jié)。

1.課件出示題目

今有雉兔同籠，上有十二頭，下有四十足，問雉兔各幾只?

2.簡單交流之后布置任務(wù)

師：如果你已經(jīng)能夠解決這個問題了，那么老師希望你能用多種方法來解決這個問題，當(dāng)然剛才我們很多同學(xué)還不會解決這個問題，那我想同學(xué)們可以列列表格、湊湊數(shù)，嘗試著來解決這個問題。

3.學(xué)生獨立做題(教師巡視指導(dǎo))

4.交流與反饋

在問題的展開過程中，有的學(xué)生可以用列表格在湊數(shù)，也有的學(xué)生可能還在畫圖，甚至極個別學(xué)生可能坐著束手無策。很顯然，他們不曾遇到過這樣的問題，盡管對于列表、畫圖這樣的方法就解決“雞兔同籠”這個問題而言并不是上策，但是不可否認(rèn)這些直觀、樸素的方法是學(xué)習(xí)中下游的學(xué)生最易理解、接受的方法，所以設(shè)計中肯定他們的方法，并引導(dǎo)他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)隱藏在“直觀”背后的一些抽象算式。另一方面，如果我們跳出“雞兔同籠”這個問題，即當(dāng)“列表”“畫圖”等這些直觀的方法應(yīng)用到別的問題上時，我想未必就不是上策了，至少這樣束手無策的孩子可以盡可能地減少。

二、注重方法的溝通

現(xiàn)代心理學(xué)說：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要經(jīng)過三個階段：實物表象、圖像表象、符號表象?！半u兔同籠”的問題正好可以讓學(xué)生經(jīng)歷這三個階段，當(dāng)“畫圖”“列表”“假設(shè)”以及“方程”等這些方法都一一整體展現(xiàn)在學(xué)生的面前時，我們很自然地要問一個問題，這些方法之間有什么聯(lián)系嗎?通過合作交流讓學(xué)生在課堂中體驗每一種方法，學(xué)生自然有很多的感想，給學(xué)生這樣的一個交流平臺，形象地說，等同于又讓學(xué)生經(jīng)歷了一次從三年級到六年級的思維形成過程。我想這樣的溝通意義是很大的。因此在課堂中，當(dāng)學(xué)生用各種方法解決了問題，看似結(jié)束之時，本人設(shè)計了“總結(jié)、溝通方法”環(huán)節(jié)。 師：同學(xué)們，這里有列表法、假設(shè)法，旁邊還有畫圖的方法，最后還有方程的方法，這樣一個問題，我們用了4種方法來解決，如果要給這4種方法來找找血緣關(guān)系，你認(rèn)為哪一種和哪一種比較接近?為什么?

生1：畫圖的方法和假設(shè)的方法比較接近，畫圖的時候我們就是假設(shè)他們都是雞然后都畫雞，或者假設(shè)他們都是兔子然后都畫兔子。

生2：畫圖的方法和列表的方法都是湊的，都是一個一個湊過去的。

生3：列表法和方程比較接近，因為列表中兔子是6只，那么雞就是12-60用方程的時候設(shè)了兔子是x，那么雞就是12-x只。

生4：列表法和假設(shè)法比較接近，因為在列表的時候，我們就是用假設(shè)雞有幾只，兔有幾只。

師：同學(xué)們說得非常好，這些方法之間都著密切的關(guān)系，在畫圖的時候，列表的時候有著假設(shè)的思想，在假設(shè)的時候有著方程的思想。

另外，絕大多數(shù)學(xué)生是用假設(shè)法在解決這個問題的，應(yīng)該說假設(shè)法是解答“雞兔同籠”問題的常用的、也是最基本的方法。然而對于假設(shè)法我們的部分孩子已經(jīng)有了自己根深蒂固的一套模式，即“假設(shè)都是雞，……，算出來的就是兔；假設(shè)都是兔，……，算出來的就是雞?！庇幸徊糠謱W(xué)生搞不清算出來的是雞還是兔，關(guān)鍵也是忘記把這句話背出來了。這樣的現(xiàn)象引起了我們的關(guān)注，數(shù)學(xué)模型的形成應(yīng)該是建立在對方法本質(zhì)的深刻理解之上的，那么“假設(shè)法”的本質(zhì)又是什么呢?應(yīng)該是“轉(zhuǎn)化”，正因為兩個事物能夠轉(zhuǎn)化成一個，所以才有“全假設(shè)成雞”或者“全假設(shè)成兔”。為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解這一本質(zhì)，本人又設(shè)計了“隨意假設(shè)”環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考，如果隨意的假設(shè)雞、兔的只數(shù)又會怎么樣呢?

師：剛才同學(xué)們也談到了列表法和假設(shè)法之間的內(nèi)在關(guān)系，現(xiàn)在我們就來隨意的假設(shè)雞有6只，兔有6只，這樣我們可以往下做嗎?(板書算式) 生：可以，這樣就有6x2+6x4=36(只)腳，40-36-4(只)，少了4只腳。

師：接下來該怎么辦?

生：4+2=2(只)，少了4只腳，就要補上4只腳，只要把2只雞轉(zhuǎn)化成2只兔子就也補上4只腳了。

師：說得真好，把2只雞轉(zhuǎn)化成兔子。這樣，兔子總共就是6+2=8(只)，雞就是6－24(只)。

師：像這樣假設(shè)也可以，那么如果我們假設(shè)雞有9只，兔有3只，你們能解決嗎?集體嘗試、反饋交流。

師：看樣子用假設(shè)法解決問題的時候，我們既可以全假設(shè)也可以隨意假設(shè)。但是不管如何假設(shè)，假設(shè)之后都會產(chǎn)生一個問題……

生：就會出現(xiàn)腳的相差數(shù)。

師：是的，出現(xiàn)了腳的相差數(shù)，我們就是根據(jù)腳的相差數(shù)來解決問題的。

深刻理解假設(shè)的內(nèi)涵之后。接下來的過程在師生交流中順利展開，這一刻我們的孩子已經(jīng)不完全拘泥于“模型”，我們更關(guān)注的是不管如何去假設(shè)，假設(shè)完了之后都會出現(xiàn)一個相差數(shù)，而這個相差數(shù)正是我們進(jìn)行雞兔只數(shù)調(diào)整的關(guān)鍵所在，即后面的“包含除”，這也正是用假設(shè)法解決問題的核心所在、難點所在。將這一核心問題如此充分地展開，意在讓學(xué)生深刻感受這一思考過程，充分溝通方法之間的聯(lián)系。

三、立足真實起點。關(guān)注每個孩子

聯(lián)系我們學(xué)生的課堂實際，我們發(fā)現(xiàn)困難還是不少的，因為“雞兔同籠”問題較為抽象，加上學(xué)生的起點分歧本身就比較大，這樣就非常容易在上課的時候?qū)е聝蓸O分化；因此尋找學(xué)生的真實起點，幫助學(xué)習(xí)中下游的學(xué)生迎頭趕上也是本堂課不容忽視的一個重要問題。由于學(xué)生原有認(rèn)知背景的不同，有些孩子只停留在實物表象階段，有些停留在圖像表象階段，有些則已經(jīng)達(dá)到了符號表象階段。另一方面，因為《雞兔同籠》是一個經(jīng)典的問題，所以六年級的學(xué)生有一部分已經(jīng)在校外的奧數(shù)班中學(xué)習(xí)了相關(guān)的內(nèi)容，而有些學(xué)生根本不曾接觸過這種類型的題目，部分學(xué)生甚至還看不懂這樣抽象的問題。應(yīng)該說這些是真實且不可回避的事實。

針對以上的分析，筆者在教學(xué)設(shè)計的過程就特別留意對學(xué)習(xí)中下游的學(xué)生的關(guān)注，除了要鼓勵他們敢想、敢說、勇于表達(dá)個人的見解，還要有意識地給他們創(chuàng)建交流平臺。例如在引入時，讓學(xué)生談?wù)剷媚男┓椒▉斫鉀Q這個問題，在交流的過程中，肯定孩子湊數(shù)列表也是十分重要的數(shù)學(xué)方法；在布置任務(wù)時提醒學(xué)生，如果不知道該如何解決，可以試著去畫畫圖、湊湊數(shù)、列列表格；在交流反饋的時候，首先關(guān)注的就是這部分孩子，將他們的困惑展現(xiàn)出來。例如一部分孩子假設(shè)了雞6只、兔6只結(jié)果是36只腳，然后他就不知道該怎么往下做了，通過生生交流、師生互動，我們的學(xué)習(xí)中下游的學(xué)生也能提起精神表達(dá)自己的觀點。當(dāng)再一次遇到自己一時不會解決的問題時，至少我們的孩子也能嘗試著用這些數(shù)學(xué)方法去試試看。我想這正是我們老師引導(dǎo)學(xué)生在解決問題過程中所想要帶給學(xué)生的一些寶貴的東西。而在這堂課里。這個列表的方法也是學(xué)習(xí)中下游的學(xué)生理解后面方法的一個必要的階梯。再例如當(dāng)學(xué)生在講假設(shè)法的過程中，適當(dāng)在課件中用畫圖法來配合跟進(jìn)，也能夠關(guān)注到每個孩子，使整個抽象的過程顯得還是比較表象的。我想這樣的過程對于優(yōu)生意義可能不大，但是對于剛剛打起精神來的學(xué)習(xí)中下游的學(xué)生來說，正好比給他們打了興奮劑，效果顯著。到后來，所有的孩子都能夠脫離圖像表象很輕松地表述整個假設(shè)的過程。我想孩子的這個過程就是圖像表象到符號表象的升華，這也是數(shù)學(xué)課所一直在追求的。

參考文獻(xiàn)：

[1]斯苗兒，《“解決問題”教學(xué)的堅守與突圍》《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》，2008年(7罐)月期.

[2]平國強?！独勑W(xué)數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中學(xué)生思維的梳理》《小學(xué)數(shù)學(xué)教育》，2008年(7～8)月期.