淺析因式分解解題策略

解題策略是指在解題過(guò)程中，從宏觀的角度來(lái)考慮解題途徑的思想方法，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們比較重視數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟和使用，而對(duì)解題策略總結(jié)和關(guān)注得較少，這種情況導(dǎo)致部分同學(xué)盡管數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好，可是遇到一個(gè)新問(wèn)題卻無(wú)從下手，不知所措，這里通過(guò)幾個(gè)案例來(lái)說(shuō)明因式分解解題時(shí)幾種解題策略，僅供讀者參考。

一、優(yōu)化解題方法 培養(yǎng)解題速度

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題意，合理運(yùn)用分解因式的一般思路，讓學(xué)生理解“一提，二套，三分組，”含義，實(shí)質(zhì)就是首先考慮能否提取公因式，其次考慮能否套用公式，最后考慮分組分解。另外，因式分解一定要注意必須分解到每個(gè)因式不能再繼續(xù)分解為止。

案例1.分解因式:m³-mn²

分析:引導(dǎo)學(xué)生觀察分析，原分解式中含有公因式m，因此首先提取公因式m，同時(shí)注意到提剩下的多項(xiàng)式為m2-n²，又可以運(yùn)用平方差公式，再繼續(xù)分解因式。

解:原式=m(m²-n²)=m(m+n)(m-n)

評(píng)注:此案例，首先應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生觀察分析，屬于哪種類(lèi)型，然后探索運(yùn)用何種方法或策略解題，這是研究本案例關(guān)鍵所在，因此，在教學(xué)中教者要引導(dǎo)學(xué)生重視、掌握解題技巧。

二、在分式中應(yīng)用 培養(yǎng)解題策略

在進(jìn)行分式的運(yùn)算時(shí)，與因式分解有著密切關(guān)系，分式的乘除的本質(zhì)是化成乘法后，約去分式的分子和分母中的公因式，因此往往要對(duì)分子或分母進(jìn)行分解因式，然后找出其中的公因式，再把公因式約去，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。

案例2.先化簡(jiǎn)，再求值:2a/(a2-4)+1/(2-a)，其中a=1/2。

分析:本案例是分式的求值問(wèn)題，要先把給出的式子化簡(jiǎn)，原式中的兩個(gè)分式的分母不同，要先把原式中的各個(gè)分母因式分解，確定最簡(jiǎn)公分母，通過(guò)通分轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減法進(jìn)行計(jì)算，最后的結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式，然后把已知的a的值代入求值.

解:原式=2a/(a+2)(a-2)-1/(a-2)=[2a-(a+2)]/(a+2)(a-2)=(a-2)/(a+2)(a-2)=1/(a+2)

當(dāng)a=1/2時(shí)，原式=2/5

評(píng)注:因式分解在分式的化簡(jiǎn)運(yùn)算中有非常重要的作用，在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生高度重視，要掌握常用的分解因式的方法。

三、探索規(guī)律題型 活用因式分解

探索規(guī)律列代數(shù)式是近幾年中考的熱點(diǎn)，根據(jù)一組特例或一列數(shù)進(jìn)行歸納、猜想，運(yùn)用因式分解找出一般規(guī)律，進(jìn)而列出代數(shù)式，解答此類(lèi)問(wèn)題，一要注意審題，二要找出規(guī)律后加以驗(yàn)證。

案例3.觀察下列等式

39×41=402-12，48×52=502-22，56×64=602-42，65×75=702-52，83×97=902-72，…，請(qǐng)把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母表示出來(lái):mn=

分析:觀察給出的特殊等式，即從39×41=402-12知40=(39+41)/2，1=(41-39)/2;從48×52=502-22知50=(48+52)/2，2=(52-48)/2，…，不難猜想:mn=[(m+n)/2]²-[(m-n)/2]²。

證明:[(m+n)/2]²-[(m-n)/2]²=[(m+n)/2+(m-n)/2][(m+n)/2-(m-n)/2]=mn

∴mn=[(m+n)/2]²-[(m-n)/2]²成立。

答案:[(m+n)/2]²-[(m-n)/2]²

評(píng)注:這是一道運(yùn)用因式分解知識(shí)歸納與猜想型探索題，解答時(shí)用的是歸納法，即從個(gè)別的、特殊的、具體的事例出發(fā)，推出整體的、一般的、抽象的一類(lèi)事物的共同性結(jié)論的思維方法。由特殊事件的結(jié)果推出的一般性結(jié)論(規(guī)律)，往往與數(shù)、式子有關(guān)，這是解本案例的難點(diǎn)，在今后教學(xué)中，要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練。

四、在生活中應(yīng)用 培養(yǎng)綜合能力

整式與實(shí)際生活密切聯(lián)系，分解因式在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用。因此，在教學(xué)中，要設(shè)計(jì)生活中的典型事例，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力，同時(shí)進(jìn)行加強(qiáng)發(fā)散思維的訓(xùn)練。

案例4.在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼。有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，原理是:如對(duì)于多項(xiàng)式x4-y4，因式分解的結(jié)果是(x-y)(x+y)(x²+y²)，若取x=9，y=9時(shí)，則各個(gè)因式的值是:x-y=0，x+y=18，x²+y²=162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼。對(duì)于多項(xiàng)式4x³-xy²，取x=10，y=10時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是 (寫(xiě)出一個(gè)即可)。

分析:本案例是因式分解在生活中的一個(gè)具體應(yīng)用題目，實(shí)質(zhì)是把多項(xiàng)式因式分解后求多項(xiàng)式的每一個(gè)因式的值，4x³-xy²=x(4x²-y²)=x(2x+y)(2x-y)，取x=10，y=10時(shí)各個(gè)因式的值分別是x=10，2x+y=30，2x-y=10，所以產(chǎn)生的密碼可以是103010，本案例答案不唯一(是一個(gè)開(kāi)放題型)

答案:103010

評(píng)注:解決本案例的關(guān)鍵是要讀懂題意，按題目的要求進(jìn)行運(yùn)算，從本案例我們也學(xué)到了因式分解的一種新的應(yīng)用。

總之，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們要充分挖掘教材，注意教學(xué)規(guī)律，運(yùn)用多元方法，掌握學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，發(fā)揮學(xué)生主體能動(dòng)性，探索解題方法及技巧，為更加體現(xiàn)課堂教學(xué)的有效性而努力奮斗。

作者單位:江蘇省阜寧縣蘆蒲初級(jí)中學(xué)