等腰三角形中的“陷阱”

等腰三角形是初中數(shù)學中的重要內容，在各類等腰三角形問題中往往根據“無圖多解”的特點設置“陷阱”，來考查學生分析問題的全面性和思考問題的周密性。解這類問題時，應對等腰三角形按一定標準分類討論，才能獲得完整的解答，切勿受思維定勢的影響而掉入“陷阱”，出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象。本文將結合實例加以分析，供學習時參考。

一、利用腰長或底邊長設計“陷阱”

例1.已知等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為6，則它的周長為__________.

例2.在等腰三角形中，AB的長是BC的1.5倍，周長為40，則AB的長為 .

分析:已知條件中等腰三角形的腰長不確定，而從題意來看，兩邊都可以作腰，故只考慮其中一種情形時，就會掉進命題“陷阱”，出現(xiàn)漏解現(xiàn)象。例1的解為16或17，例2的解為10或120/7.

二、利用頂角或底角設計“陷阱”

例3.已知等腰三角形一個角的度數(shù)為50°，則它的另兩角的度數(shù)為_________.

例4.在△ABC中，∠A相鄰的外角是110°，要使△ABC是等腰三角形，則∠B的度數(shù)是.

分析:由于已知條件中未指明已知角是頂角還是底角，而從題意來看，它既可以作頂角，又可以作底角。故只考慮它既可以作頂角或作底角其中一種情形時，就會掉進命題“陷阱”，出現(xiàn)漏解現(xiàn)象。所以此問題應分為已知角作頂角和作底角兩種情況來考慮，例1(1)當50°角作頂角時，其余兩角的度數(shù)為65°;(2)當50°角作底角時，其余兩角的度數(shù)為50°、80°。例4的解為55°、70°、40°.

三、利用等腰三角形的高設計“陷阱”

例5.已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為____________.

例6.已知等腰三角形一腰上的高等于另一腰的一半，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為____________.

分析:由于等腰三角形一腰上的高與等腰三角形的位置關系不確定，但從題意來看，一腰上的高不可能與另一腰重合，故只考慮一腰上的高在等腰三角形內部(或外部)時，就會掉進命題“陷阱”，出現(xiàn)漏解現(xiàn)象。所以此問題應分為一腰上的高在等腰三角形內部和外部兩種情形，例5如圖1所示，即(1)當高BD在△ABC內部，且∠ABD=45°時，頂角∠BAC的度數(shù)為45°;(1)當高BD在△ABC外部，且∠ABD=45°時，頂角∠BAC的度數(shù)為135°。例6的解為150°或30°.

四、利用腰上的垂直平分線設計“陷阱”

例7.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所成的角為50°，則底角∠B的度數(shù)為___________.

分析:已知條件中AB的垂直平分線AC相交的具體位置不確定，從題意上看，故只考慮AC的垂直平分線與另一腰(或另一腰的延長線)相交時，會掉進命題“陷阱”，出現(xiàn)漏解現(xiàn)象。所以此問題應分為AC的垂直平分線與另一腰AB相交和AC的垂直平分線與另一腰AB的延長線相交兩種情形，如圖2所示，即圖(1)當AC的垂直平分線DE與腰AC相交，且∠AED=50°時，底角∠B的度數(shù)為65°;圖(2)AC的垂直平分線DE與腰CA的延長線相交，且∠AED=50°時，則∠BAC=140°，所以底角∠B的度數(shù)為25°。

五、利用腰上的中線設計“陷阱”

例8.已知等腰三角形一腰上的中線把等腰三角形的周長分成9和12兩部分，則等腰三角形的腰長為___________.

分析:已知條件中未具體指明等腰三角形一腰上的中線把等腰三角形周長分成的哪兩部分的大小，從題意上看，故只考慮一部分長度為9(或12)時，會掉進命題“陷阱”，出現(xiàn)漏解現(xiàn)象。所以此問題應分為一部分長度為9和12兩種情形，如圖3所示，即(1)當AC+AD=12、BD+BC=9時，解得AC=8、BC=5;(2)當AC+AD=9、BD+BC=12時，解得AC=6、BC=9。所以它的腰長為8或6。

六、利用頂點的不確定設計“陷阱”

例9.一個等腰三角形的一個內角比另一個內角的2倍少30°，求這個三角形的三個內角的度數(shù).

例10.已知等邊△ABC，請你在等邊△ABC所在的平面內找一點P，使△P AB、△PBC、△PAC均為等腰三角形，這樣的點P有幾個?

分析:已知條件中未具體指明等腰三角形的哪個是頂點，故要分三種情況進行討論:設一個內角為∠A=x，則另一個角為∠B=2x-30°即(1)A頂點時:則x+2x-30°+2x-30°=180°解得三內角分別為48°、66°、66°.(2)B頂點時:則x+x+2x-30°=180°解得三內角分別為52.5°、52.5°、75°.(3)C頂點時:則x=2x-30°解得三內角分別為30°、30°、120°.

例10這樣的點P有7個.

總之，解等腰三角形問題時，若題中未給出圖形，則應考慮按一定標準進行分類討論，獲取完整的解答，更應盡量避免因思維定勢造成漏解的情形。

作者單位:義烏市繡湖中學