淺談學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力的培養(yǎng)

摘 要:思考，是人類智慧的源流，也是人類進(jìn)步的依托。前蘇聯(lián)心理學(xué)家維果茨基的內(nèi)化理論提出:思考是一種活動，這種活動依循個人的內(nèi)在語言來進(jìn)行，并通過學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)活動而發(fā)展。數(shù)學(xué)是少數(shù)能夠通過加強(qiáng)訓(xùn)練、建立邏輯來對應(yīng)的學(xué)問之一。在現(xiàn)今這個時代，人們更需要具備能夠洞察事物本質(zhì)的數(shù)學(xué)性思考能力，而培養(yǎng)出這種能力正是數(shù)學(xué)的職責(zé)所在。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思考 課堂教學(xué) 課后反思

一、有關(guān)背景分析

目前，應(yīng)試教育現(xiàn)象仍很普遍。中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中存在的問題不少，主要表現(xiàn)在注入式嚴(yán)重、滿堂灌、課堂氣氛沉悶以及學(xué)生的學(xué)習(xí)缺乏積極性和主動性。有的學(xué)生完全服從教師和課本，不敢獨(dú)立思考。也很少有機(jī)會去思考。

由于學(xué)生所處的文化環(huán)境、家庭背景和自身思維方式的不同，他們的思考能力發(fā)展并不均衡。思維的敏捷性、靈活性、深刻性等品質(zhì)各不相同。通過調(diào)查研究與量化分析，我們覺得造成學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力差異的因素是多方面的。一是學(xué)生自身的原因:包括智力水平、生活經(jīng)驗(yàn)、知識基礎(chǔ)、非智力因素等;二是教師教學(xué)的原因:包括教師的意識、教學(xué)活動的設(shè)計與組織、對學(xué)生的評價等。

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力的策略

1.平時加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識、基本技能的訓(xùn)練和鞏固，使學(xué)生具有思考的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)思考是指在數(shù)學(xué)活動中的思考，又有狹義和廣義之分。狹義的指學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)對象的理性認(rèn)識過程(思考數(shù)學(xué))，廣義的指運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識、方法去分析事物、思考問題(數(shù)學(xué)思考)。數(shù)學(xué)思考也要講究基本功。

如:有些小學(xué)生在計算1/2+1/3=?時，答案為1/5或2/5，為什么會出現(xiàn)這樣的錯誤呢?這不僅僅是思考能力的問題，在計算能力方面也是欠缺的。若要扎實(shí)地建立起教育的基礎(chǔ)“讀、寫、算數(shù)”，“思考”當(dāng)然是無須贅言的，甚至連前述教育白皮書草案中所輕視的“計算”與“背誦”，以及為了確實(shí)達(dá)成這兩個項(xiàng)目所要做的“反復(fù)練習(xí)”，都是相當(dāng)重要的。

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，重要的是必須在基礎(chǔ)練習(xí)之后，能夠以簡單明了的形式描繪出在練習(xí)中得到的數(shù)學(xué)感覺，在日常生活中靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思考能力。

這種思考能力可通過從初級階段開始就進(jìn)行的“抽象化”訓(xùn)練來培養(yǎng)。如:2個蘋果與2只昆蟲是兩種完全不同的東西。但是，2個蘋果再加上1個蘋果，與2只昆蟲再加上1只昆蟲的算法相同可用下面的算式來表示:2+1=3這就是所謂“數(shù)量的加法”，它是能以同樣方式來計算的一種方法，也是一種抽象化的思考。而計算練習(xí)就是為了穩(wěn)固地建立起這種能力。教師(1)在教學(xué)此問題時，不妨問問學(xué)生:2個人加上1個人等于多少?2棵樹加上1棵樹呢?……2個蘋果加上1只昆蟲等于多少?能否累積，為什么?

讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)，找到最重要的數(shù)學(xué)感覺之一——“類比”，即先從簡單的情況開始思考。類比的方法可以減少背誦，也可以在學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中發(fā)揮極大功效。

例如以下這類問題:位數(shù)為6的自然數(shù)n可用哪個式子表示呢?

A.10的5次冪≤n<10的6次冪

B.10的6次冪≤n<10的7次冪

另外，哪一個的符號是≤呢?

想法:一位數(shù)的自然數(shù)為1、2、3…9，

所以1≤n<10，可表示為

10的0次冪≤n<10的1次冪

兩位數(shù)的自然數(shù)為10、11…99，

可表示為10的1次冪≤n<10的2次冪。

因此，當(dāng)n為6位數(shù)時，同理可推。得出答案A

2.建立平等、民主、和諧的師生關(guān)系，創(chuàng)設(shè)學(xué)生勇于思考的環(huán)境

作為教師，在教學(xué)過程中，對于最基本、最主干的原理要講清，以利于知識遷移;而對于一些擴(kuò)展性問題、簡單的推導(dǎo)和論證、前后知識對比以及區(qū)別和聯(lián)系，對知識和方法的歸納、總結(jié)等，可以給學(xué)生留出余地，激發(fā)學(xué)生自己去思考鉆研。

教師要與學(xué)生進(jìn)行平等的對話和交流。其前提是要相信和尊重每個學(xué)生，看到他們都有在某一方面成才的潛能。著名特級教師孫雙全與孩子心靈相通的教學(xué)情景就使我們很受啟發(fā):“教學(xué)中，他不斷地鼓勵大家:‘誰來說一說，說對了表揚(yáng)，說錯了也表揚(yáng)，表揚(yáng)你的勇氣?！鴮⒆拥腻e誤解釋，也給予肯定的評價:‘因?yàn)槟愕腻e誤才使我們明白失敗乃成功之母。’而對孩子出色的回答，他更是毫不吝嗇地對學(xué)生給予夸獎和贊美:‘真好，你有發(fā)現(xiàn)的眼睛?！?dāng)孩子不夠自信而不敢舉手時，他鼓勵學(xué)生:‘舉起手來就是英雄，就是高手!’學(xué)生在他的鼓勵下，越來越多的小手舉了起來。”在課堂上學(xué)生是“小臉通紅，小眼發(fā)光，小手直舉，小嘴常開”，這是一種多么寬松愉快的學(xué)習(xí)環(huán)境!

教師要善于敏銳地發(fā)現(xiàn)學(xué)生思考的“激發(fā)點(diǎn)”，及時地給予點(diǎn)燃。如當(dāng)學(xué)生回答問題有錯誤時，正是點(diǎn)燃他思考的大好時機(jī)，絕不能輕易錯過。一要鼓勵學(xué)生答錯背后反映出的獨(dú)立思考和不人云亦云的勇氣;二要肯定蘊(yùn)含其中的正確因素;三要著力地把學(xué)生的錯誤開發(fā)成課程資源，與學(xué)生共同找出錯誤的原因;四要引導(dǎo)學(xué)生通過深入思考找出正確答案。再如當(dāng)學(xué)生回答問題“拿不準(zhǔn)”時，這說明他的頭腦正處于困惑狀態(tài)，教師這時就要“拉他一把”，但絕不要直接給出答案。

教師要鼓勵學(xué)生破除迷信，敢于向權(quán)威挑戰(zhàn)，培養(yǎng)其勇于探索的創(chuàng)新精神。因?yàn)楦矣谙驒?quán)威挑戰(zhàn)是創(chuàng)新型人才的可貴品質(zhì)。這不妨從破除教師的權(quán)威開始:課堂上如果遇到了學(xué)生的“節(jié)外生枝”或提出了挑戰(zhàn)性的問題時，教師應(yīng)該熱情地歡迎，冷靜地傾聽，認(rèn)真地分析。如果是確有價值的意見，就應(yīng)隨機(jī)應(yīng)變地將其轉(zhuǎn)化為課程資源。如果學(xué)生的主張不對時，教師應(yīng)引導(dǎo)他們繼續(xù)深入探究。

例如:在教學(xué)湘教版八年級數(shù)學(xué)上冊§3.1旋轉(zhuǎn)時，不妨拿實(shí)物演示“平移”這種變換，從而讓學(xué)生說出其定義及性質(zhì)，然后拿非等腰的三角尺繞著一個頂點(diǎn)順(逆)時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，并把兩個三角形用不同的顏色標(biāo)畫在黑板上。(注意在進(jìn)行變換的過程中有意識地進(jìn)行數(shù)學(xué)語言的訓(xùn)練)通過類比的方法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并歸納:旋轉(zhuǎn)的定義及性質(zhì)。然后再一次讓學(xué)生作“旋轉(zhuǎn)”演示，這次的旋轉(zhuǎn)中心不是三角形的頂點(diǎn)而是三角形外面的任意一個點(diǎn)，再拿課本進(jìn)行演示，把其平面圖形用粉筆勾畫出來，讓其進(jìn)一步明白對“旋轉(zhuǎn)”的描繪，認(rèn)識旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角，原像與像，對應(yīng)點(diǎn)，對旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用。

3.引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會反思

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出:反思是數(shù)學(xué)思維活動的核心和動力，學(xué)習(xí)是一個系統(tǒng)工程，學(xué)會反思是學(xué)生發(fā)展中不可或缺的重要因素，學(xué)生反思數(shù)學(xué)思考的過程，就是對自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行自我監(jiān)控自我調(diào)節(jié)，進(jìn)而對數(shù)學(xué)認(rèn)知活動進(jìn)行指導(dǎo)支配決定和監(jiān)控教師在日常教學(xué)中應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生形成反思的意識，掌握反思的方法。

為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力教師可以利用每一課結(jié)束前的短短幾分鐘，讓學(xué)生對所學(xué)的內(nèi)容，學(xué)習(xí)過程運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行回顧和思考。學(xué)生可以自我提問和互相提問:這節(jié)課的重點(diǎn)是什么?我學(xué)會了什么?我有什么不懂的地方?我是怎么學(xué)會的?這節(jié)課的知識和以前學(xué)過的哪些知識有聯(lián)系?我還想知道什么?學(xué)生經(jīng)過反思，不僅能及時將學(xué)到的新知識進(jìn)行梳理，而且還能溝通新知識和已學(xué)知識的聯(lián)系，并嘗試對新知的延伸進(jìn)行探詢。

如:在臨近教學(xué)“旋轉(zhuǎn)”這一節(jié)課結(jié)束之前，我們可以說說什么叫做旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的三個要素是什么，你能用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作指定圖形在旋轉(zhuǎn)條件下的圖形嗎，至今為止，我們學(xué)過的圖形變換有哪些呢，它們之間有什么聯(lián)系和區(qū)別呢，你能用你現(xiàn)有的實(shí)物一一演示嗎?

4.逐步培養(yǎng)學(xué)生有條理地梳理、綜合在思考中獲得的信息，使學(xué)生在思考中有所收獲

問題解決后有待更進(jìn)一步的反思，弗賴登塔爾指出:通過回顧所完成的解答，通過重新考慮和重新檢查這個結(jié)果和得出這一結(jié)果的路子，學(xué)生們可以鞏固他們的知識和發(fā)展他們的解題能力。綜觀現(xiàn)在的課堂，有些學(xué)生仍然認(rèn)為做完題就完成了任務(wù)，不會主動對解題過程進(jìn)行回頭看和再思考，也不會對特殊問題所包含的一般意義作進(jìn)一步認(rèn)識，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率低下，思維的靈活性不能得到有效培養(yǎng)。學(xué)生在解決問題后，不妨引導(dǎo)他們思考:回憶一下你的思考過程，哪里是解決問題的突破口?這個問題你是怎樣一步一步解決的?每一步求的是什么?為什么這么做，不這么做行嗎?還有沒有其他辦法?如果有，哪種辦法更好?對于學(xué)生來說，有時候這種反思比做題本身更重要。因此，我們要讓學(xué)生在解決問題的過程中，逐漸形成這種反思的意識和能力。

如:問題一:已知一個三角形每相鄰兩邊的和分別為17，18，25，求這三邊的長。

然而，有的學(xué)生在解這道題時用的是非常規(guī)解法。

解:設(shè)三條邊的長分別為x，y，z則有

x+y=17(1)

y+z=18(2)

x+z=25(3)

(1)+(2)+(3)得:x+y+z=60(4)再將(1)、(2)、(3)分別代入(4)得到三邊的長分別為12、5、13

問題二:已知a≠1/b，3a²+4a-1=0，3/b²+4/b-1=0求b+1/a的值

而有的同學(xué)知道，如果用解方程的方法來求值，由于第二個為分式方程，求解復(fù)雜。但兩方程在結(jié)構(gòu)上都與方程(1)3x²+4x-1=0接近，所以可以把a(bǔ)與1/b看成是方程(1)的兩個根，由韋達(dá)定理有a+1/b=-4/3，a·1/b=-1/3從而可求得b+1/a=(a+1/b)·b/a=(-4/3)·(-3/1)=4

上述的非常規(guī)解法是創(chuàng)造性思維的具體表現(xiàn)。他們能仔細(xì)觀察問題，能從在空間數(shù)量關(guān)系上與該問題接近的范圍去回憶一個相關(guān)的問題、定理或公式，再從相關(guān)問題、定理或公式的特征上去思考問題的解答方法。

當(dāng)然有時也有這種秘密招數(shù):問題三:請在下面括號內(nèi)填上正確的數(shù)字若xyz=1，則2x/(xy+x+1)+2y/(yz+y+1)+2z/(zx+z+1)=( )

提示:像這樣的題目一定都有解答。出錯題的情況可以說是少之又少。所以請用一些簡單的數(shù)值代進(jìn)去試試看。

不妨設(shè)X=1，Y=1，Z=1，可以滿足XYZ=1。以這個數(shù)值代入計算，則得到答案為2

事實(shí)上，把分式2X/(XY+X+1)的分子分母同時乘以Z，把分式2Y/(YZ+Y+1)的分子分母同時乘以X，再利用XYZ=1這個已知條件進(jìn)行化簡就會得到與第三個分式同分母的分?jǐn)?shù)，再相加答案為2。這是填空題及選擇題最大的一個弱點(diǎn)。

三、幾點(diǎn)思考

1.數(shù)學(xué)思考對學(xué)生的發(fā)展有著重要的意義，而數(shù)學(xué)思考彌散于知識與技能、解決問題之中，要乘勢而為，不可單獨(dú)進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，也不可脫離生活中的實(shí)例而憑空講解。

2.數(shù)學(xué)思考要在數(shù)學(xué)活動中實(shí)現(xiàn)，它貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。在新課程背景下，數(shù)學(xué)教師要吃透新教材的編排意圖，利用教材已創(chuàng)設(shè)的情境，把數(shù)學(xué)思考作為學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)來設(shè)計教學(xué)各個環(huán)節(jié)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考得到穩(wěn)步地發(fā)展，使學(xué)生在將來社會生活中能夠更好地利用數(shù)學(xué)工具解決生活中的各種問題。

參考文獻(xiàn):

1.[日]岡部恒治著.王秋陽等譯.訓(xùn)練思考能力的數(shù)學(xué)書.2005(2)

2.徐妍燕.淺談有效中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)[M].素質(zhì)教育論壇下半月.2008(9)

3.孔華萍.淺談中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的語言技巧[M].云南教育.2008(4)

4.張全國.淺談中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的喚醒[M].考試(教研版).2007(2)

作者單位:湖南省新化縣孟公鎮(zhèn)太陽中學(xué)