淺談數(shù)學(xué)建模

薛愛梅

【摘要】數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)語言描述實(shí)際現(xiàn)象的過程。這里的實(shí)際現(xiàn)象既包涵具體的自然現(xiàn)象比如自由落體現(xiàn)象,也包涵抽象的現(xiàn)象比如顧客對(duì)某種商品所取的價(jià)值傾向。這里的描述不但包括外在形態(tài),內(nèi)在機(jī)制的描述,也包括預(yù)測(cè),試驗(yàn)和解釋實(shí)際現(xiàn)象等內(nèi)容。我們也可以這樣直觀地理解這個(gè)概念:數(shù)學(xué)建模是一個(gè)讓純粹數(shù)學(xué)家(指只懂?dāng)?shù)學(xué)不懂教學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用的數(shù)學(xué)家)變成物理學(xué)家,生物學(xué)家,經(jīng)濟(jì)學(xué)家甚至心理學(xué)家等等的過程。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模 應(yīng)用 發(fā)展

【中圖分類號(hào)】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

數(shù)學(xué)模型一般是實(shí)際事物的一種數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化。它常常是以某種意義上接近實(shí)際事物的抽象形式存在的,但它和真實(shí)的事物有著本質(zhì)的區(qū)別。要描述一個(gè)實(shí)際現(xiàn)象可以有很多種方式,比如錄音,錄像,比喻,傳言等等。為了使描述更具科學(xué)性,邏輯性,客觀性和可重復(fù)性,人們采用一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語言來描述各種現(xiàn)象,這種語言就是數(shù)學(xué)。使用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型。有時(shí)候我們需要做一些實(shí)驗(yàn),但這些實(shí)驗(yàn)往往用抽象出來的數(shù)學(xué)模型作為實(shí)際物體的代替而進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)本身也是實(shí)際操作的一種理論替代。

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué),在它產(chǎn)生和發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中,一直是和各種各樣的應(yīng)用問題緊密相關(guān)的。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)不僅在于概念的抽象性、邏輯的嚴(yán)密性,結(jié)論的明確性和體系的完整性,而且在于它應(yīng)用的廣泛性,進(jìn)入20世紀(jì)以來,隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展和計(jì)算機(jī)的日益普及,人們對(duì)各種問題的要求越來越精確,使得數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛和深入,特別是在即將進(jìn)入21世紀(jì)的知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代,數(shù)學(xué)科學(xué)的地位會(huì)發(fā)生巨大的變化,它正在從經(jīng)濟(jì)和科技的后備走到前沿。經(jīng)濟(jì)發(fā)展的全球化、計(jì)算機(jī)的迅猛發(fā)展,數(shù)學(xué)理倫與方法的不斷擴(kuò)充使得數(shù)學(xué)已經(jīng)成為當(dāng)代高科技的一個(gè)重要組成部分和思想庫,數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一種能夠普遍實(shí)施的技術(shù)。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。

應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類實(shí)際問題時(shí),建立數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的一步,同時(shí)也是十分困難的一步。建立教學(xué)模型的過程,是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料,觀察和研究實(shí)際對(duì)象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律,抓住問題的主要矛盾,建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系,然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問題。這就需要深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),敏銳的洞察力和想象力,對(duì)實(shí)際問題的濃厚興趣和廣博的知識(shí)面。數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的橋梁,是數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的媒介,是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑,數(shù)學(xué)建模在科學(xué)技術(shù)發(fā)展中的重要作用越來越受到數(shù)學(xué)界和工程界的普遍重視,它已成為現(xiàn)代科技工作者必備的重要能力之一。為了適應(yīng)科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要和培養(yǎng)高質(zhì)量、高層次科技人才,數(shù)學(xué)建模已經(jīng)在大學(xué)教育中逐步開展,國(guó)內(nèi)外越來越多的大學(xué)正在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)和參加開放性的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽,將數(shù)學(xué)建模教學(xué)和競(jìng)賽作為高等院校的教學(xué)改革和培養(yǎng)高層次的科技人才的個(gè)重要方面,現(xiàn)在許多院校正在將數(shù)學(xué)建模與教學(xué)改革相結(jié)合,努力探索更有效的數(shù)學(xué)建模教學(xué)法和培養(yǎng)面向21世紀(jì)的人才的新思路,與我國(guó)高校的其他數(shù)學(xué)類課程相比,數(shù)學(xué)建模具有難度大、涉及面廣、形式靈活,對(duì)教師和學(xué)生要求高等特點(diǎn),數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本身是一個(gè)不斷探索、不斷創(chuàng)新、不斷完善和提高的過程。為了改變過去以教師為中心、以課堂講授為主、以知識(shí)傳授為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式,數(shù)學(xué)建模課程指導(dǎo)思想是:以實(shí)驗(yàn)室為基礎(chǔ)、以學(xué)生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標(biāo)來組織教學(xué)工作。通過教學(xué)使學(xué)生了解利用數(shù)學(xué)理論和方法去分析和解決問題的全過程,提高他們分析問題和解決問題的能力;提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力,使他們?cè)谝院蟮墓ぷ髦心芙?jīng)常性地想到用數(shù)學(xué)去解決問題,提高他們盡量利用計(jì)算機(jī)軟件及當(dāng)代高新科技成果的意識(shí),能將數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)有機(jī)地結(jié)合起來去解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)建模以學(xué)生為主,教師利用一些事先設(shè)計(jì)好的問題啟發(fā),引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)查閱文獻(xiàn)資料和學(xué)習(xí)新知識(shí),鼓勵(lì)學(xué)生 積極開展討論和辯論,培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索,努力進(jìn)取的學(xué)風(fēng),培養(yǎng)學(xué)生從事科研工作的初步能力,培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神、形成一個(gè)生動(dòng)活潑的環(huán)境和氣氛,教學(xué)過程的重點(diǎn)是創(chuàng)造一個(gè)環(huán)境去誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望、培養(yǎng)他們的自學(xué)能力,增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)新能力,提高他們的數(shù)舉素質(zhì),強(qiáng)調(diào)的是獲取新知識(shí)的能力,是解決問題的過程,而不是知識(shí)與結(jié)果。接受參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽賽前培訓(xùn)的同學(xué)大都需要學(xué)習(xí)諸如數(shù)理統(tǒng)計(jì)、最優(yōu)化、圖論、微分方程、計(jì)算方法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、層次分析法、模糊數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)軟件包的使用等等“短課程”(或講座),用的學(xué)時(shí)不多,多數(shù)是啟發(fā)性的講一些基本的概念和方法,主要是靠同學(xué)們自己去學(xué),充分調(diào)動(dòng)同學(xué)們的積極性,充分發(fā)揮同學(xué)們的潛能。培訓(xùn)中廣泛地采用的討論班方式,同學(xué)自己報(bào)告、討論、辯論,教師主要起質(zhì)疑、答疑、輔導(dǎo)的作用,競(jìng)賽中一定要使用計(jì)算機(jī)及相應(yīng)的軟件,如Mathemathmatica,Matlab,Mapple,甚至排版軟件等。

數(shù)學(xué)建模的幾個(gè)過程:

模型準(zhǔn)備:了解問題的實(shí)際背景,明確其實(shí)際意義,掌握對(duì)象的各種信息。用數(shù)學(xué)語言來描述問題。

模型假設(shè):根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的,對(duì)問題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化,并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。

模型建立:在假設(shè)的基礎(chǔ)上,利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。(盡量用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具)

模型求解:利用獲取的數(shù)據(jù)資料,對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算(估計(jì))。

模型分析:對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。

模型檢驗(yàn):將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較,以此來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合,則要對(duì)計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義,并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差,則應(yīng)該修改假設(shè),再次重復(fù)建模過程。

模型應(yīng)用:應(yīng)用方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而異。