的差分法求解研究

洪云飛

(長江大學(xué)期刊社,湖北 荊州 434023;長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

洪云飛

(長江大學(xué)期刊社,湖北 荊州 434023;長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院,湖北 荊州 434023)

探討了和式∑nx=1xm(x,m∈Z+)的求解,利用差分法求解了和式∑nx=1xm。研究結(jié)果表明，只要m為一有限整數(shù)，利用差分表可以快速求解出∑nx=1xm的求和公式，且僅僅只需要列出差分表的前m+2行。

和式；差分；差分表；多項式函數(shù)

對和式：

當(dāng)n=1,2,3時有：

1 差 分

考慮多項式函數(shù)：

f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an

對x=0,1,2,…,計算f(x)并把這些值列成一行，稱為第0行：

其中，bi=f(i)；i=0,1,2,…。

在下面一行，列出第0行的各相鄰項之差，稱為第1行：

其中，ci=bi+1-bi,即：

ci=f(i+1)-f(i)

記：

Δf(x)=f(x+1)-f(x)

則稱Δf(x)為f(x)的第1階差分。

類似地，可得到第3價差分，第4階差分，…。

特別地，定義：

Δ0f(x)=f(x)

把對于x=0,1,2,…的函數(shù)值稱為f(x)的第0階差分。

2 差分表

無限地繼續(xù)地每一行相鄰之?dāng)?shù)列出新一行中：

這樣排成的表稱為f(x)的差分表，其中，bi=f(i)；ci=bi+1-bi；di=ci+1-ci；ei=di+1-di,…。

引理1[1]若2個多項式有相同的差分表，則這2個多項式相同。

引理2[1]設(shè)：

f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an

則f(x)的每n+1階差分為0。

設(shè)：

f(x)=xm

其差分表的左邊沿上為：

c0,c1,c2,…,cm,cm+1,cm+2,…

則由引理2知，cm+1=cm+2=…=0。即其差分表的左邊沿上為：

c0,c1,c2,…,cm,0,0,…

設(shè)pi(x)是一個多項式，它的左邊沿上為：

0，0，…，1，0，0，…

其中，1出現(xiàn)在此差分表的第i行，則：

c0p0(x)+c1p1(x)+…+cmpm(x)

的差分表左邊沿上是：

c0,c1,c2,…,cm,0,0,…

又由于差分表的左沿確定了整個差分表[1]，故由引理1知：

f(x)=c0p0(x)+c1p1(x)+…+cmpm(x)

下面確定pi(x),i=0,1,2,…,m。

取i=3。即確定f3(x)的差分表為：

易知：

f(0)=f(1)=f(2)=0

由引理2知f3(x)的項數(shù)≤3，故設(shè)：

f3(x)=kx(x-1)(x-2)

又由f(3)=1,則：

即：

同理可得：

故：

從而：

4 算 例

解令f(x)=x5，則f(x)的差分表為：

于是：

故：

[1]楊振生.組合數(shù)學(xué)及其算法[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2006.

[編輯] 洪云飛

O157

A

1673-1409(2009)03-N007-03

2009-06-10

洪云飛(1979-)，男，2001年大學(xué)畢業(yè)，碩士，講師，現(xiàn)主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)以及期刊編輯方面的研究工作。