兩位同時代的數(shù)學(xué)大師（上）

蔡天新

太湖的西北和東南

在十九世紀(jì)后期和二十世紀(jì)初期,中國東部太湖流域人才輩出,誕生了許多位大師級的人物,猶如兩宋時期的鄱陽湖流域。太湖的北岸和南岸分別是江蘇的蘇、錫、常和浙江的杭、嘉、湖這六座城市,可謂是中國百姓口中傳誦的“魚米之鄉(xiāng)”,也是文人墨客詩詞里所贊美的“江南”。

一九一○年十一月十二日,數(shù)學(xué)奇才華羅庚出生在常州市金壇縣的一個小商人家庭。他的父親出身學(xué)徒,經(jīng)過多年艱苦努力,擁有了三家規(guī)模不等的商店,一度擔(dān)任縣商業(yè)絲會的董事。不料后來一場大火把大店燒個精光,接著中店也倒閉了。等到羅庚出世時,華家只剩下一爿經(jīng)營棉花的小店了。

金壇在太湖西北方向,而在太湖東南方向,一個叫秀水(嘉興)的縣城里,在羅庚出世不到一年,即一九一一年十月二十八日,也誕生了一位非凡的天才,日后注定要成為羅庚的室友、同行和競爭對手。此人姓陳,名省身。與羅庚的家庭背景不同,省身的父親是個讀書人,中過秀才。有了兒子以后,做父親的考入了杭州的法政學(xué)校。畢業(yè)后進(jìn)入司法界工作,很少回家。省身跟著疼愛他的祖母和小姑識字讀文。有一次父親回嘉興過年,教會他阿拉伯?dāng)?shù)字和四則運(yùn)算,并留下了一套傳教士編的《筆算數(shù)學(xué)》,沒想到小小年紀(jì)的省身竟然能做出書中的大部分習(xí)題,并由此對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣。由于家庭的溺愛,省身只讀了一天小學(xué)。進(jìn)入秀州中學(xué)高小部后,除了能做相當(dāng)復(fù)雜的數(shù)學(xué)題以外,省身也非常喜歡國文,課余還能讀些《封神榜》等閑書,文學(xué)氣質(zhì)獲得熏陶,他甚至在?？习l(fā)表了兩首自由體的詩作。一九二二年,他的父親轉(zhuǎn)任天津法院,全家從此離開了嘉興。

就在陳家北上的那年,羅庚進(jìn)入了金壇初級中學(xué)。他在小學(xué)時因為淘氣成績有點(diǎn)糟糕,只拿到一張修業(yè)證書。不過,從第二年開始,數(shù)學(xué)老師便對羅庚另眼相看了。三年級時,羅庚已著力簡化書中的習(xí)題解法,他在國文方面同樣有所長進(jìn),并對古體詩歌感興趣。初中畢業(yè),羅庚考進(jìn)了教育家黃炎培在上海辦的中華職業(yè)學(xué)校商科,相當(dāng)于今天的初中中專,學(xué)費(fèi)全免,只需付食宿和雜費(fèi)。

那一年是一九二六年,小一歲的省身在天津從詹天佑任董事的扶輪中學(xué)(今天津鐵路一中)畢業(yè),他跳過大學(xué)預(yù)科,直接進(jìn)入南開大學(xué)。而羅庚雖在上海市珠算比賽中獲得第一名,卻由于家庭經(jīng)濟(jì)困難輟學(xué),回家?guī)透赣H站柜臺。十六歲那年,他與同城的一位吳姓姑娘成了親,而省身完婚已二十八歲,早獲得洋博士并榮任大學(xué)教授了。值得一提的是,年輕時的羅庚相貌周正、身材魁梧?；楹蟮诙?妻子生下一個女兒,可是,羅庚依然喜歡看數(shù)學(xué)書和演算習(xí)題,有時看書入迷忘了接待顧客,老父知道后不由得怒火中燒。

又過了一年,以前賞識羅庚的初中老師王維克從巴黎大學(xué)留學(xué)歸來,擔(dān)任金壇中學(xué)校長,他看到羅庚家庭困難同時又好學(xué),便聘請他擔(dān)任學(xué)校會計。這位王校長雖然學(xué)理,曾聽過居里夫人的課,卻也是個有成就的翻譯家,是意大利詩人但丁的《神曲》和印度史詩《沙恭達(dá)羅》的第一個中文譯者。那時的中學(xué)老師不僅學(xué)識高,且對學(xué)生有一顆真誠的愛心。此前的校長韓大受也出版過《訓(xùn)詁學(xué)概論》等多部著作,在做人學(xué)習(xí)等方面循循教導(dǎo)學(xué)生?，F(xiàn)在羅庚被認(rèn)為是自學(xué)成才的典范,其實他在初中階段就已廣受教益,這一點(diǎn)是如今的教育制度難望其項背的。

可是,正當(dāng)王校長準(zhǔn)備提拔羅庚,讓他擔(dān)任補(bǔ)習(xí)班的數(shù)學(xué)教員時,華家的不幸卻接踵而至。先是母親得了子宮癌去世,接著羅庚患上傷寒癥,臥病在床半年,后來雖然被救活,卻落下了殘疾,走路需要左腿先畫個圓圈,右腿才能跟上,被人戲稱為“圓規(guī)與直尺”?？墒?也正因為腿的殘疾,更堅定了羅庚攻讀數(shù)學(xué)的決心。否則的話,聰明的羅庚對自己的人生之路也許另做抉擇。那年十二月,上海的《科學(xué)》雜志以讀者來信的方式發(fā)表了羅庚的論文《蘇家駒之代數(shù)的五次方程式解法不能成立之理由》,從此改變了他的命運(yùn)。

說到五次方程的一般解,自從十六世紀(jì)的幾個意大利人解出了三、四次方程以后,便成為數(shù)學(xué)家最渴望解破的難題。直到一八二四年,挪威青年阿貝爾證明此類一般解并不存在?？墒堑搅艘痪哦拍?上海的《學(xué)藝》雜志卻刊登了一篇論文《代數(shù)的五次方程式之解法》。行家一看就知道不對,但卻沒人去挑毛病。年輕無名的羅庚卻認(rèn)真地拜讀并琢磨,終于發(fā)現(xiàn)有一個十二階的行列式計算有誤,遂撰文陳述理由并否定了“蘇文”的結(jié)果,他也因此一舉成名。清華大學(xué)算學(xué)系主任熊慶來讀到羅庚的文章,和同事們暗自高興,經(jīng)過打探,找到羅庚并向他發(fā)出了邀請。

那年羅庚年方二十,而十九歲的省身即將從南開大學(xué)畢業(yè)。入讀南開之前,省身便因為該校的同鄉(xiāng)老師、數(shù)學(xué)史家錢寶琮的緣故,與數(shù)學(xué)更親近了。錢寶琮和省身父親是中學(xué)同學(xué),后來留學(xué)英國。那時的南開理學(xué)院新生不分系,有一次上化學(xué)課,老師要求吹玻璃管,省身面對玻璃片和火焰一籌莫展,后來雖勉強(qiáng)吹成,但他卻嫌太熱用冷水去沖,結(jié)果玻璃管當(dāng)即粉碎。這件事對省身觸動很大,他發(fā)現(xiàn)自己動手能力差,于是決心放棄理化獻(xiàn)身數(shù)學(xué)。很快,省身得到了系主任、哈佛大學(xué)博士姜立夫先生的賞識,對幾何學(xué)萌生了興趣。畢業(yè)前夕,他考上清華大學(xué),成為中國第一個研究生。

從清華園到歐羅巴

舊中國的科學(xué)底子薄弱,尤其在一九三○年以前,當(dāng)時只要是在外國取得博士學(xué)位回來的人,統(tǒng)統(tǒng)被聘為教授。這些教授待遇優(yōu)厚、衣食無憂,加上教學(xué)繁忙、資料匱乏,缺少良好的環(huán)境和氛圍,基本上放棄了學(xué)術(shù)研究。以姜立夫為例,在南開數(shù)學(xué)系最初的四年里,只有他一個教師,什么課都得他親自講授。一九四九年以后,他又在廣州創(chuàng)建了嶺南大學(xué)數(shù)學(xué)系(后并入中山大學(xué))。而清華大學(xué)算學(xué)系主任熊慶來當(dāng)時只有法國的碩士學(xué)位,卻是東南大學(xué)(后改名中央大學(xué))、清華大學(xué)兩所大學(xué)數(shù)學(xué)系的創(chuàng)建人和首任主任。

清華大學(xué)畢竟是“皇家學(xué)院”,美國退回的“庚子賠款”除了資助姜立夫這樣的青年才俊留學(xué)以外,還用以創(chuàng)辦和扶持清華學(xué)校。清華學(xué)校請來了美國康奈爾大學(xué)數(shù)學(xué)碩士鄭桐蓀(后成為陳省身的岳父),由他擔(dān)任大學(xué)部算學(xué)系主任。一九二八年,正是在鄭桐蓀的舉薦下,熊慶來出任更名為清華大學(xué)的算學(xué)系主任,不久又有芝加哥大學(xué)博士孫光遠(yuǎn)和楊武之(楊振寧的父親)加盟。可是這四位教授中,只有孫光遠(yuǎn)仍在繼續(xù)做研究,他的主攻方向是微分幾何。孫光遠(yuǎn)是浙江杭州人,與省身算是半個同鄉(xiāng)。省身進(jìn)入清華大學(xué)以后,成為孫光遠(yuǎn)的研究生。那年清華算學(xué)系共錄取兩位研究生,另一位吳大任因為家庭原因推遲入學(xué),系里決定讓省身先做一年的助教。

次年八月,正當(dāng)省身開始讀研究生之際,羅庚來到了清華大學(xué)。作為一名助理員,羅庚的辦公室就在系主任熊慶來的辦公室外面,無論誰來找主任,都會見到他。羅庚性格外向,說話風(fēng)趣,很快與大家熟悉了,包括省身。那時羅庚的薪水只有助教的一半,略高于工友,與省身的研究生津貼相差不多,羅庚的家屬仍留在老家金壇,那年夫人又生了個兒子。因為經(jīng)濟(jì)困難,清華五年他只有在寒暑假才回老家。王元在《華羅庚》里,記載了恩師晚年的一次回憶:“每當(dāng)我寒暑假回家鄉(xiāng)探親時,熊慶來先生總是依依不舍,他生怕我嫌錢少不肯再回來了。他哪里知道,清華給我的錢比金壇中學(xué)給我的錢優(yōu)厚多了,清華對我來說是求之不得的?！?/p>

雖然羅庚來清華那年,借著成名作的光在《科學(xué)》上一氣發(fā)表了四篇論文,但那些工作都是原來在家鄉(xiāng)完成的,屬于低水平的初等數(shù)學(xué)。到清華以后,他如饑似渴地聽課和鉆研高等數(shù)學(xué),接下來的兩年里沒有發(fā)表論文。省身后來寫道:“這個時期是羅庚自學(xué)最主要和最成功的一段。在那幾年里,他把大學(xué)的功課學(xué)完了,并開始做文章?！睆囊痪湃哪觊_始,羅庚的數(shù)學(xué)潛能得到了充分的發(fā)揮,他每年都發(fā)表六到八篇論文,其中大多是在國外刊物,包括德國的權(quán)威雜志《數(shù)學(xué)年刊》,一時聲譽(yù)鵲起。這些論文大多是數(shù)論方面(楊武之是他的引路人),也有的是代數(shù)和分析,顯示了他多方面的興趣和才華。他甚至在自學(xué)英語上也有一套奇特的方法。

正當(dāng)羅庚開始大顯身手的時候,自小目標(biāo)遠(yuǎn)大的省身已通過碩士學(xué)位論文答辯,準(zhǔn)備出國留學(xué)了。省身將赴漢堡大學(xué),隨布拉施克教授研究幾何。說到這位德國導(dǎo)師,省身與他的結(jié)識要?dú)w功于同城的北京大學(xué)。

就在財源充足的清華大學(xué)修筑大樓、廣招賢能的時候,歷史悠久的北京大學(xué)卻人心渙散、紀(jì)律松弛,經(jīng)常拖欠教授薪水。待到文學(xué)院院長胡適出任掌管“庚子賠款”退款的中華教育文化基金會董事之后,力促其通過了資助北大的“特款辦法”,情況才有了改變。北大研究院也在清華研究院成立兩年之后掛牌,同時開始邀請外國專家來校講學(xué)。布拉施克便是最早來到北大的數(shù)學(xué)家之一,他的系列講座題目是“微分幾何的拓?fù)鋯栴}”。每次聽課省身都沒有落下,得以結(jié)緣這位數(shù)學(xué)大家。

易北河與劍河之水

晚年的陳老談到自己成功的秘訣時,認(rèn)為一半是天分,一半是運(yùn)氣?？梢哉f,省身最初的運(yùn)氣便是在北大結(jié)識布拉施克教授。他抵達(dá)漢堡是在一九三四年秋天,此時希特勒已經(jīng)上臺,所謂的“公務(wù)員法”也已頒布,規(guī)定猶太人不能當(dāng)大學(xué)教授,哥廷根這類名校首當(dāng)其沖受到?jīng)_擊。而漢堡這所新大學(xué)因為沒有猶太教授相安無事,可以繼續(xù)做學(xué)問。等到一九三七年,“新公務(wù)員法”頒布,連猶太人的配偶也不能當(dāng)教授時,省身早已獲得博士學(xué)位,被導(dǎo)師推薦到巴黎跟大數(shù)學(xué)家嘉當(dāng)深造去了。

省身在漢堡期間,并沒有埋頭寫論文,而是把重點(diǎn)放在學(xué)習(xí)和掌握最前沿的幾何學(xué)方法上,同時與一些大家建立起比較廣泛的聯(lián)系。除了布拉施克和嘉當(dāng)以外,省身還與法國布爾巴基學(xué)派的代表人物韋伊、美國普林斯頓的維布倫等有了交流。這就像長距離的跑步或劃船比賽,必須緊緊跟上第一梯隊,才能伺機(jī)突破并超越。

相比之下,自小苦出身、又缺乏家長和名師指點(diǎn)的羅庚更多地依靠個人奮斗和自學(xué),因此也特別刻苦。被清華破格聘為職位較低的助理員后,特別珍惜也更加努力地鉆研學(xué)問,他在短時期里便在國內(nèi)外發(fā)表了數(shù)量可觀的研究論文,這與“名門出身”的省身風(fēng)格不同。不過,在布拉施克訪問北大三年之后,清華也邀請到了兩位級別更高的大數(shù)學(xué)家,那便是法國數(shù)學(xué)家哈達(dá)瑪和美國數(shù)學(xué)家維納,他們在北京停留的時間也更久。

哈達(dá)瑪在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域都有開創(chuàng)性的工作,其中在解析數(shù)論方面尤為出色,他率先證明了素數(shù)定理,那是“數(shù)學(xué)王子”高斯夢寐以求的結(jié)果。那項工作是在十九世紀(jì)末完成的,即使半個多世紀(jì)以后,因為這個定理的一個初等證明,又頒發(fā)了一項菲爾茲獎和一項沃爾夫獎。哈達(dá)瑪來中國時年事已高,不在前沿做學(xué)問了,而維納那會兒年富力強(qiáng)。作為控制論的發(fā)明人,維納為數(shù)學(xué)史書寫了光輝的一頁。維納對羅庚極為欣賞,推薦他去自己年輕時求學(xué)的劍橋大學(xué),跟隨當(dāng)年的老師哈代。不用說,羅庚留英的獎學(xué)金也是來自那筆“庚子賠款”。

羅庚沿著西伯利亞鐵路,經(jīng)莫斯科來到柏林,省身從漢堡趕來相聚。那會兒正逢夏季奧運(yùn)會在柏林舉行,兩人興致盎然地一起觀看比賽。當(dāng)年秋天,省身離開漢堡轉(zhuǎn)道倫敦去巴黎時,也曾特意到劍橋看望羅庚。當(dāng)然,從省身輕松面對學(xué)問這一點(diǎn)來看,他到柏林和劍橋并非單純?nèi)ヒ娏_庚,而與他比較貪玩也有關(guān)系。這里需要提及,據(jù)中華文化教育基金會的檔案記載,在羅庚到劍橋訪學(xué)之前,曾兩度獲得該基金會到漢堡大學(xué)研修的資助,但他都沒有成行。倘若那時羅庚來漢堡,可能會隨赫克或阿廷研究前途無量的代數(shù)數(shù)論,那樣的話,后來中國數(shù)學(xué)的面貌將會有較大的不同。

羅庚抵達(dá)劍橋時,哈代正在美國講學(xué),行前他看過維納的推薦信和羅庚的論文,留下一封短函。哈代在信中告訴羅庚,他可以在兩年內(nèi)拿到博士學(xué)位?？墒?羅庚為了節(jié)省學(xué)費(fèi)和時間,放棄了學(xué)位攻讀,他專心于聽課、參加討論班和做論文。一年以后,哈代旅行歸來,似乎也沒有給羅庚以指導(dǎo)。可以說,羅庚又一次依靠自學(xué)。他在劍橋的兩年時間里,寫出了十多篇堪稱一流的論文,大大超出了以前的水準(zhǔn)。用王元的話講就是,“已經(jīng)脫胎換骨,成為一個成熟的數(shù)學(xué)家了”。當(dāng)然,這與劍橋擁有非常強(qiáng)的解析數(shù)論研究團(tuán)隊不無關(guān)系,他們與當(dāng)時頂尖的數(shù)論學(xué)家、蘇聯(lián)的維諾格拉朵夫聯(lián)系密切。這是羅庚的另一大收獲,他與蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家建立了學(xué)術(shù)聯(lián)系,這對他以后的研究尤其重要。

兩年以后,羅庚啟程回國,當(dāng)他向哈代辭行時,大師問他在劍橋都做了哪些工作,羅庚一一道來。驚訝之余,哈代告訴羅庚自己正在寫一本書,會把他的一些結(jié)果收錄其中。這本書便是劍橋出版社出版的《數(shù)論導(dǎo)引》(一九三八),羅庚的那些結(jié)果可能是近代中國數(shù)學(xué)家最早被外國名家引用的成果。羅庚在劍橋取得的主要成就表現(xiàn)在,完整三角和的估計、圓法和華林問題、布勞赫-塔內(nèi)問題以及哥德巴赫猜想等方面。與此同時,羅庚有了后來成為他代表作的《堆壘素數(shù)論》的腹稿。

從昆明到普林斯頓

一九三七年,即羅庚從英國回國的前一年,省身便準(zhǔn)備從巴黎啟程了,那時他已經(jīng)在歐洲居留了三年,母校清華大學(xué)聘他為教授。沒想到就在啟程前三天,爆發(fā)了“七七事變”,日本人占領(lǐng)了北京城。雖然前途未卜,可是省身卻不顧危險依舊踏上回程。當(dāng)郵輪抵達(dá)長江口時,卻發(fā)現(xiàn)岸上火光沖天,原來上海剛被日本人占領(lǐng)。不得已,郵輪掉頭向南去了香港。到達(dá)香港后又滯留了一個多月,方才得知清華與北京、南開大學(xué)已搬到湖南,組成長沙聯(lián)合大學(xué)。省身趕在開學(xué)前抵達(dá)。戰(zhàn)火迅速向南蔓延,省身在長沙只待了兩個多月,便又隨學(xué)校南遷至昆明。

就在省身抵達(dá)昆明的那一年,羅庚從英國回來了,他也被破格聘請為西南聯(lián)大的教授,兩人當(dāng)時年紀(jì)只有二十七八歲。在羅庚輾轉(zhuǎn)從香港、西貢和河內(nèi)抵達(dá)之前,他的夫人和孩子們已先期來到,一家團(tuán)聚之后住在郊區(qū),以避開日軍飛機(jī)的轟炸?！奥?lián)大”也坐落在郊區(qū),但離華家比較遠(yuǎn),羅庚每次坐著顛簸的牛車去上課。后來,在有課的時候羅庚就住到學(xué)校里,和另外兩個單身漢同居一室,其中就有省身。

在西南聯(lián)大的那些年里,羅庚和省身的數(shù)學(xué)研究都取得了新的突破。兩人有一年時間住在一個房間里,每人一張床、一張書桌和一把椅子。那時“聯(lián)大”的教授盡管生活清貧、工作條件艱苦,教書和研究熱情卻異常高漲,還有許多出類拔萃的學(xué)生,如楊振寧、鄧稼先、李政道等。一段時間里,羅庚和省身一早起來有說有笑的,然后便沉浸在各自的數(shù)學(xué)空間里,直到深夜。雖然兩人從未合作寫過論文,但他們在“聯(lián)大”聯(lián)合舉辦過“李群”討論班,這在當(dāng)時全世界都十分先進(jìn)。

在“聯(lián)大”期間,羅庚在數(shù)論方面的研究主要與獲得牛津大學(xué)博士并在普林斯頓做過博士后的閔嗣鶴合作,同時努力完成自己的第一本專著《堆壘素數(shù)論》。其時羅庚已是這個領(lǐng)域的領(lǐng)袖級人物了,但他并不滿足于此,而是另辟蹊徑,在自守函數(shù)和矩陣幾何領(lǐng)域均做出了出色的工作,前者至今仍是研究熱點(diǎn),后者與省身老師嘉當(dāng)?shù)墓ぷ饔嘘P(guān)。羅庚在一篇論文的尾末還提到省身,感謝他提供嘉當(dāng)論文的抽印本。此外,他還研究了代數(shù)學(xué)中的若干問題,如有限群、辛群的自同構(gòu)性質(zhì),后者在不久的將來引導(dǎo)他深入研究典型群論。

與此同時,省身的學(xué)術(shù)研究也取得了新的進(jìn)展?；貒诙?他便在美國的《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表了一篇論文,這家由普林斯頓大學(xué)與高等研究院聯(lián)合主辦的刊物今天仍是全世界數(shù)學(xué)領(lǐng)域里的重鎮(zhèn)。幾年以后,省身又兩度在《數(shù)學(xué)年刊》上露面,他在克萊因空間的積分幾何等領(lǐng)域做出了出色的工作。法國數(shù)學(xué)家韋伊在《數(shù)學(xué)評論》上撰寫長文,予以高度評價,認(rèn)為此文超越了布拉施克學(xué)派原有的成就。這些工作為省身后來進(jìn)入并立足美國鋪平了道路,也正是在那段時間,他對高斯-博內(nèi)公式產(chǎn)生了濃厚的興趣。

一九四三年夏天,省身應(yīng)邀赴美訪學(xué),在普林斯頓逗留了兩年半,完成了一生中最出色的工作,包括給出高斯-博內(nèi)公式的內(nèi)蘊(yùn)證明,這標(biāo)志著整體微分幾何新時代的來臨。這項工作是在抵達(dá)美國最初三個月內(nèi)完成的,足見他在昆明時已做了充分準(zhǔn)備。兩年后,在接獲母親病危消息回國前夕,省身又提出了現(xiàn)在被稱作“陳示性類”的不變量理論。那時抗戰(zhàn)已取得勝利,羅庚在國內(nèi)以其個人的成就和交游能力,可謂如魚得水。他先是應(yīng)邀訪蘇,接著又被選入赴美考察團(tuán)。一九四六年春天,正當(dāng)羅庚準(zhǔn)備出發(fā)去美國時,省身回國了,兩人在上海得以晤面。按照省身的回憶,“他(羅庚)負(fù)有使命,但我們?nèi)哉劻瞬簧贁?shù)學(xué),我們的數(shù)學(xué)興趣逐漸接近”。

(待續(xù))