如何求數(shù)列的通項(xiàng)公式

王秀榮

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要銜接?而事列的通項(xiàng)公式則是研究數(shù)列性質(zhì)的最佳載體,反應(yīng)數(shù)列每一項(xiàng)的共性特征?在解題過程中,一旦數(shù)列的通項(xiàng)公式知道了,就能順利地解決其單調(diào)性,不等量最值求和問題,數(shù)列問題特別是數(shù)列的通項(xiàng)公式是歷年高考的重點(diǎn),也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),筆者結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),淺談如何幫助學(xué)生突破難點(diǎn),有效掌握這一內(nèi)容,現(xiàn)將求數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種常用方法總結(jié)如下

1.觀察法

根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)的變化規(guī)律觀察歸納出數(shù)列通項(xiàng)公式

例1.根據(jù)下列數(shù)列的前n項(xiàng),寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式

(1)1,1,57,715,931…

(2) 2, 22, 222, 2222…

(3) 3, 0, -3, 0, 3…

解:(1)數(shù)列為11,3,57,715,931…

a璶=2n-12琻-1(n∈N+)

(2)a璶= 29(10琻-1)(n∈N+)

(3) 所求數(shù)列轉(zhuǎn)化為1, 0, -1, 0, 1 的通項(xiàng),這恰好是“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的圖像值,所以a璶=3sinn2

2.已知數(shù)列前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)

例2.已知數(shù)列前n項(xiàng)和S璶=3+2琻,求數(shù)列通項(xiàng)公式

解:當(dāng)n≥2時(shí)a璶=S璶-S﹏-1=3+2璶-(3+2﹏-1)

a璶= 2琻-2﹏-1 = 2×2﹏-1-2﹏-1 =2﹏-1,

S1=3+2=5a1=1

a璶 =5n=12﹏-1猲≥2

3.累加法

對(duì)于形如a1=a a﹏+1-a璶=f(n)型的遞推公式,求通項(xiàng)公式

(1)若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù),累加后化為等差數(shù)列

(2)若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù),累加后分組求和

(3)若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù),累加后可轉(zhuǎn)化為等比求和

(4)若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù),累加后可列項(xiàng)求和

例3.數(shù)列{a璶}滿足a﹏+1=a璶+12琻,a1= 2求a璶

解:a﹏+1-a璶=12琻

a2-a1=12

a3-a2=122

………..

a璶-a﹏-1=12﹏-1

累加得: a璶-a1=12+122+…+12﹏-1=1 -12﹏-1

a璶 = a1 + 1-12﹏-1=2+1-12﹏-1=3-12﹏-1

4.累乘法

對(duì)于形如a﹏+1猘璶=f(n)型的遞推公式, 求通項(xiàng)公式

(1)當(dāng)a﹏+1猘璶=q(q≠o) 為等比數(shù)列

(2)當(dāng)a﹏+1猘璶=f(n)時(shí)用累乘法

例4.已知數(shù)列{a璶}滿a1=1, a璶 =a1 +2a2 +3a3+…+ (n-1)a璶-1

則數(shù)列的通項(xiàng)公式a璶=________(2004全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題)

解:由條件易知a2=1

當(dāng)n≥2時(shí) a璶= a1+ 2a2 + 3a3 +…+ (n-1)a璶-1(1)

a璶+1= a1+ 2a2 + 3a3+…+ (n-1)a﹏-1 + na璶(2)

(2)-(1)得

a﹏+1 -a璶 =na璶

a﹏+1=(n+1)a璶

a璶=a璶a﹏-1.a﹏-1猘﹏-2.a﹏-2猘﹏-3…a3a2.a2

= n (n-1) (n-2)… 3×1

=n!/2

a璶=1n=1

n!/2n≥2

5. 待定系數(shù)法

即將數(shù)列的遞推公式運(yùn)算變形后,運(yùn)用整體代換方法轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列,再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式

例5.設(shè)a1=5, a﹏+1=2a璶+3 ,求a璶

解:a璶+1 =2a璶+3

a﹏+1+3 =2(a璶+3)

所以數(shù)列{ a璶+3}是首項(xiàng)為a1+3=8, 公比為 2 等比數(shù)列.

a璶 + 3 =8×2﹏-1

a璶 = 2﹏+2 - 3

評(píng)注:在數(shù)列中,許多題目都是以遞推公式形式給出,要研究其通項(xiàng)公式必須對(duì)遞推公式變形a﹏+1- a璶= f(n) ,a﹏+1猘璶=f(n), a﹏+1 = pa璶+q 這幾種形式,再求其通項(xiàng)公式?

6.其他幾種特殊類型求通項(xiàng)公式的方法

(1)x﹏+2 = px﹏+1+qx璶 型,其中p+q=1 求x璶

例6.已知a1=0, a2=1 ,a璶=1/2(a﹏-1+a﹏-2) (n≥3)

求通項(xiàng)公式

解:a璶 = 1/2(a﹏-1+a﹏-2)

a﹏-1= 1/2(a﹏-2+a﹏-3)

a﹏-2=1/2(a﹏-3+a﹏-4)

………………….

a4 =1/2(a3+a2)

a3 =1/2(a2+a1)

累加得a璶+ a﹏-1=1/2 a﹏-1+a2

a璶=(-1/2)a﹏-1+1

a璶=(-2/3)(-1/2)﹏-1+2/3

例7.已知數(shù)列{an}滿足 a﹏+1 =2a璶3 ,a1=2 ,

求a璶

解: a﹏+1=2an3

log2a﹏+1=log22a璶3=1+3log2a璶

log2a﹏+1+12=3(log2a璶+12)

{ log2a璶+12}是以log2a1+12=1為首項(xiàng),3為公比等比數(shù)列

即log2a璶+12=1×3﹏-1

log2a璶=3﹏-1-12

a璶=23﹏-1-12

以上是我對(duì)求數(shù)列通項(xiàng)公式的一點(diǎn)經(jīng)驗(yàn),從上面解題中看出都要轉(zhuǎn)化成等差等比數(shù)列,由歷年的高考題不難看出等差,等比數(shù)列是2類最基本的數(shù)列,是考察的重點(diǎn),在教學(xué)中必須加強(qiáng)對(duì)等差等比數(shù)列基本概念和性質(zhì)的講解與練習(xí),重點(diǎn)加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的落實(shí),以便更好地掌握這塊內(nèi)容?

收稿日期:2009-01-13