談數(shù)學(xué)概念的教學(xué)方法

侯磐生

[摘要]要使數(shù)學(xué)教學(xué)立于不敗之地，教師必須對概念教學(xué)做深入的研究，并教給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的方法。（1）揭示概念的發(fā)生、形成過程，訓(xùn)練思維的流暢性和合理性；（2）挖掘概念的解題程序，培養(yǎng)思維的層次性和有序性；（3）重視概念的逆向理解，培養(yǎng)思維的深刻性和雙向性。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 概念教學(xué) 方法

概念是人們反映客觀現(xiàn)實(shí)的數(shù)量關(guān)系和空間形式的特征或本質(zhì)屬性的思維形式，而數(shù)學(xué)是由概念與命題等內(nèi)容組成的知識(shí)體系，所以，只有正確理解概念，才能掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。但在當(dāng)前的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，簡單化的現(xiàn)象普遍存在。許多數(shù)學(xué)教師只注重解釋概念，將它硬灌給學(xué)生而忽視概念的發(fā)生、發(fā)展過程，不注意對概念解題功能的挖掘，缺少逆向理解概念的訓(xùn)練，結(jié)果造成學(xué)生對概念的輕視，進(jìn)而影響了教與學(xué)的順利發(fā)展。要使數(shù)學(xué)教學(xué)立于不敗之地，教師必須看到概念雖然是抽象的、單調(diào)的，但它的產(chǎn)生過程卻是具體的、豐富的，注意對概念教學(xué)做深入的研究，并教給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的方法。這里，筆者將結(jié)合教學(xué)實(shí)踐談?wù)剛€(gè)人的思考。

一、揭示概念的發(fā)生、形成過程，訓(xùn)練思維的流暢性和合理性

學(xué)生對數(shù)學(xué)概念掌握不牢固、理解不透徹，究其原因是灌輸概念給學(xué)生的結(jié)果。要使學(xué)生理解和記憶概念，必須在概念教學(xué)中揭示其發(fā)生形成的過程。如在“兩條異面直線形成的角”一節(jié)教學(xué)中，先回顧平面內(nèi)兩條相交直線的相對位置是用一個(gè)什么量去表示的？使學(xué)生明確：

1.用角去刻劃兩條相交直線的相對位置；

2.已有知識(shí)：兩條相交直線所造成的角。再提出問題如下：

教師：圖1中，a和c、b和c都是異面直線，a和c與b和c的相對位置有無區(qū)別？

學(xué)生：有。

教師：區(qū)別在哪里？

學(xué)生：角。

教師：既然覺得a和c、b和c之間的區(qū)別是角不同，那么，怎么樣去定義兩條異面直線所成的角呢？

學(xué)生：可以利用兩條相交直線所形成的角去定義。

教師：是否為任意兩條相交直線？不是的話應(yīng)滿足什么條件？

學(xué)生：和兩條異面直線分別平行。

再如，在“兩條異面直線的距離”教學(xué)中設(shè)計(jì)系列問題：

1.圖2中的a和b、a和c都是異面直線，但他們的相對位置有無區(qū)別呢？若有，區(qū)別在哪呢？

2.和兩條異面直線都相交的直線有多少條？

3.和兩條異面直線都垂直的直線有幾條？

4.和兩條異面直線垂直且相交的直線有幾條？

5.你會(huì)把什么樣的線段的長度定義為異面直線的距離？

6.這樣設(shè)計(jì)概念教學(xué)，既解決了引入概念的必要性、合理性，還使概念的形成自然流暢，讓學(xué)生知其然且知其所以然，利于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立和數(shù)學(xué)思想方法（化歸的思想、類比的方法）的滲透。

二、挖掘概念的解題程序，培養(yǎng)思維的層次性和有序性

數(shù)學(xué)中有些概念都隱含著解題程序，領(lǐng)悟與把握概念的程序性是透徹理解及熟練概念解題的重要環(huán)節(jié)，所以在教學(xué)中應(yīng)充分挖掘概念的解題程序。比如，從反函數(shù)概念中可挖掘出求反函數(shù)的步驟：（1）求原函數(shù)的值域；（2）從y=f（x）中反解x；（3）對調(diào)x、y得y=f（x）；（4）標(biāo)出定義域（即原函數(shù)的值域）。從增減函數(shù)概念中可歸納出判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：取值—作差—變形—判斷。從函數(shù)的奇偶性的定義中總結(jié)出判斷函數(shù)奇偶性的步驟：考察定義域—計(jì)算f（-x）—判斷f（-x）與f（x）、-f（x）的關(guān)系—做結(jié)論。從《立體幾何》中角和距離的概念概括出求角、距離的步驟：一作圖、二證明、三計(jì)算。教學(xué)實(shí)踐表明，對概念解題程序作了挖掘的教學(xué)，學(xué)生應(yīng)用這些知識(shí)解題思維層次分明、邏輯關(guān)系正確。

三、重視概念的逆向理解，培養(yǎng)思維的深刻性和雙向性

教學(xué)中忽視概念可逆的狀況時(shí)有發(fā)生，學(xué)生逆向思維能力明顯低于正向思維能力。因此，加強(qiáng)逆向思維訓(xùn)練尤為重要，概念的逆向理解便是一個(gè)好素材。比如，在“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)中，僅重視對增、減函數(shù)的正向理解是很不夠的，必須引導(dǎo)學(xué)生逆向理解才能挖掘出它的解題功能。幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)：（1）f（x）是區(qū)間D上的增函數(shù)，對于D內(nèi)任意兩個(gè)值x₁、x₂，如果f（x₁）< f（x₂），那么，x₁< x₂；（2）f（x）是區(qū)間D上的減函數(shù)，對于D內(nèi)任意兩個(gè)值x₁、x₂，如果f（x₁）> f（x₂），那么，x₁< x₂，才能為后續(xù)知識(shí)的研究作好鋪墊。處理下面問題也就有了基礎(chǔ)。

1.已知函數(shù)f（x）=n/x在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，則n的取值范圍是。

2.已知奇函數(shù)f（x）在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，求不等式f（1-x）+f（1-x²）<0的解。

3.已知函數(shù)y=f（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求證y=f^-1（x）在其定義域內(nèi)是增函數(shù)。

4.如果1<(1/2)^m<2ⁿ,那么m、n滿足的條件是：

（A）-m

再如，“反函數(shù)”教學(xué)中，通過對該概念的正向理解可能得到：如f（a）=b，則f^-1(b)=a；再經(jīng)逆向分析又有：若f^-1（b）=a，則f（a）=b。綜合得：f（a）=b＜＝＞f^-1（b）=a。這樣學(xué)生對反函數(shù)的理解就更透徹，也能順利地將問題：若f（x）=4^x-2-2^x+1(x>0),則f^-1(0)=轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0即4^x-2^x+1=0處理。

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，具有較強(qiáng)的基礎(chǔ)性。概念教學(xué)的效果如何，直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解掌握，關(guān)系到學(xué)生解題能力的提高。因而，教師必須運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒▉磉M(jìn)行概念教學(xué)，使學(xué)生一方面真正理解“概念性的知識(shí)”，另一方面又能掌握同樣重要的“方法性的知識(shí)”。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭惠生.影響中學(xué)生課外閱讀的五個(gè)因素.教學(xué)與管理,2007.

[2][美國]D?A?格勞斯主編,陳昌平等譯.數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊.上海教育出版社，1999.160-161.