知方求圓及相關(guān)圖形面積解答新法ｍ²

劉振義

知方求圓及相關(guān)圖形是小學(xué)教學(xué)教材幾何初步知識部分常見的圖形，其面積計算過程繁鎖，學(xué)生在計算時易于出錯，針對這種情況，根據(jù)多年從教經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)反復(fù)研究，總結(jié)出解答這類題的新方法，特介紹給廣大從教同仁，希望得到更多朋友的批評指正。

1．知方求圓及相關(guān)圖形面積的簡算實(shí)例

1.1求圖中最大圓的面積（單位：cm）

（已知正方形面積a²=100cm²）

簡算新法：

100×78.5%＝78.5(cm)²

答：最大圓的面積是78.5cm²

1.2求圖中度扇形面積。單位：（cm）

簡算新法：102×78.5%＝78.5(cm)²

答陰影部分的面積是78.5(cm)²

1.3知方求余（面積）（即圖中陰影部分的面積）

例：一個面積為50cm²的正方形，剪成最大圓后的剩余部分的面積是多少cm²?如圖（二）

簡算新法

50×21.5＝10.75(cm)²

答：剩余部分的面積是10.75cm²

1.4求陰影部分的面積。單位：cm

簡算新法：8×8×21.5%＝13.76(cm)²

答：陰影部分的面積是13.76（cm²）

1.5知方求冠（面積）（即圖中陰影部分）

例：求陰影部分的面積如圖（三）（a2＝100cm²）

簡算答案：

100×28.5%＝28.5(cm)

答：陰影部分的面積是28.5cm²

1.6求陰影部分的面積。單位：cm

簡算新法：6×6×28.5%＝10.26(cm)²

答：陰影部分的面積是10.26（cm²）

2．推導(dǎo)

解題實(shí)例中的六道題（6個圖形）即以正方形面積或連長為已知條件，最大圓滿及相關(guān)圖形面積為問題的幾何形題，這些圖形之間互相聯(lián)系，互相依存，自成一統(tǒng)，形成了一個有別于其它形體的相對獨(dú)立的整體，解答新法就是依據(jù)這個整體的特點(diǎn)提出來的。

解答新法的形成是創(chuàng)新思維的產(chǎn)物。它成功地挖掘利用各圖形中已知與未知條件間最直接的關(guān)系——百分比（或叫百分率）。百分比是這類圖形中兩個條件之間關(guān)系的最恰當(dāng)?shù)谋憩F(xiàn)形式。也是解題新法形成的基礎(chǔ)和依據(jù)。

2.1第一組知方求圓（面積）（含知方求扇）

實(shí)例中第一題（圖一），其題意很簡單，即正方形面積為已知條件時，求這個正方形中最大圓的面積（故稱之為知方求圓），現(xiàn)在，我們借助左圖，對該題的解答方法進(jìn)行推導(dǎo)。

首先用兩條相互垂直相交的

直線將左圖（一）的正方形

a²平均分成四份（如左圖一

所示）。這進(jìn)就可以看出，

平分后正方形a²的四分之一與最大圓的（r²）相等。這時可得出這樣的結(jié)論圖中最大圓的面積為πr²，正方形面積是4r²,(即a²＝4r²)這樣最大圓面積與它所在正方形面積的百分比可以由πr²÷4r²或

這個約分的結(jié)果78.8%是最大圓與所正方形兩面積的最簡比（百分比或百分率）這樣（如圖一）知方求圓（面積）中最大圓面積S所在正方形面積a2的這種關(guān)系可以用下面的式子表示，即：

實(shí)例第二題（圖二，知方求扇）顧名思義，即已知正方形面積（或邊長）求該正方形中最大扇形的面積。（這是特定條件下的特殊扇形，是扇形的特例）。顯然，圖（二）可以看做圖（一）的一部分，這種關(guān)系可參照下圖

兩個圖形面積大小雖然不同，但圖1最大圓與圖2最大扇形占所在正方形面積的百分率相同。

圖1的正方形中最大圓和正方形分別看作圖2中最大圓正方形面積的4倍（即圖2中最大圓，正方形兩個面積都乘以或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。）判定，如是實(shí)例第一題（圖一）第二題（圖二）這樣知方求圓（扇）面積的圖形共同擁有同一個百分率，那就是最大圓（扇）的面積（S）分別與它所在正方形面積（a²）百分率均為78.5%，可用下面式子表示：

S圓、扇÷a²或＝＝78.5%

根據(jù)乘除的關(guān)系（被除數(shù)＝除數(shù)×商）

所以實(shí)例第一、二兩題只要用正方形面積（a²）直接與圓扇的百分率（78.5%）相乘就可以求出最大圓（扇）的面積了。

2.2知方求余（圓余、扇余即陰影部分）

實(shí)例中第三題（圖三）題意很明顯，即已知正方形面積，求正方形中最大圓之外的剩余部分（圓之余）的面積

現(xiàn)在我們已經(jīng)知道最大圓占所在正方形面積的78.5%，那么余下部分的面積占所在正方形面積的百分率即（1-78.5%）= 21.5%。

同樣，第四題（圖四）中：余下部分的面積占所在正方形面積的百分率與（圖三）的百分率相同，因此這兩個圖中陰影部分的面積Ｓ與它所在正方形面積a2的百分率為：

S佘÷a²＝21.5%

同樣根據(jù)乘除法的關(guān)系，這兩道題用用一種方法計算：

即a²×21.5%

2.3知方求冠

實(shí)例中第五、六兩題，簡而言之兩題屬同一種關(guān)系，兩題圖中陰影部分與所在正方形面積的百分率相同，以（圖五）為例，在最大扇形中減去三角形面積即可算出陰影部分的面積，最大扇形面積占正方形面積的78.5%，而三角形部分占正方形面積的50%，所以圖中陰影部分的面積占正方形面積的78.5%－50%＝28.5%，這個28.5%即是圖中陰影部分所占的百分率。因此圖五、圖六中陰影部分面積只要用所在正方形面積a²與陰影部分的面積相乘即可。a²×28.5%。

補(bǔ)充說明

π值3.141592653……除以4，商是0.7853986……，根據(jù)現(xiàn)行九年義務(wù)六年制教科書小學(xué)數(shù)學(xué)第十冊120頁分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)的計算法則關(guān)于（分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，除不盡時，保三位小數(shù)）的規(guī)定，3.141592653……除以4所得的商保留三們小數(shù)仍然是0.785化成百分?jǐn)?shù)為7805%，所以說最大圓與它所在正方形面積百分比78.5%，所以說最大圓與它所在正方形面積百分比78.5%是符合教材規(guī)定的，是合理的可行的。

2.2對比題 求下圖陰影部分的面積、單位、分米。

此題是人教版現(xiàn)行九年義務(wù)教育六年制教科書配用的第十一冊《小學(xué)素質(zhì)教育同步訓(xùn)》（小學(xué)教學(xué)）第28頁6題（原題無改動）。

兩種答案對比：

②三角形面積

10×10÷2＝50(分米)²

③陰影部分面積：

（78.5－50）×2＝57(分米)²

答：陰影部分面積是57(分米)²。

以上兩種算法對比鮮明、繁簡懸殊，新法簡捷、省時正確率高，是可行的好方法，值得推廣。

2.3全面綜合系統(tǒng)整理

2.3.1三類圖形與所在

正方形的關(guān)系

正方形面積a2為100%＝1

最大圓（扇）形面積78.5%

圓（扇）冠部分占28.5%

圓（扉）余部分占21.5%

2.3.2全面綜合系統(tǒng)整理（如圖）

此圖形全面蓋了正方形及其中各部分之間的關(guān)系，下面用兩句話來表述：直半邊周對角線圓方三角扇余冠這兩句話所說的十個條件只要在一個條件是已知的，就可以運(yùn)用簡算新法求出圖中各部分的面積。

此新算法是根據(jù)小學(xué)教學(xué)教材的具體情況提出來的，材料中選用的圖形都是教材中常見的，因此有很強(qiáng)的針對性的實(shí)用性。由于各圖形之間緊密相聯(lián)，有很強(qiáng)的系統(tǒng)性，因此，這些算法也是互相依存，相輔相成，形成一個比較完整和完善的相對獨(dú)立的算法體系。百分?jǐn)?shù)是小學(xué)教學(xué)教材中的一項(xiàng)必學(xué)內(nèi)容。百分比確切、鮮明地反映了題（圖）中已知與未知條件間的關(guān)系，且與其它理論不存在直接性聯(lián)系，材料中表示三種圖形面積的三個百分率的互補(bǔ)的特點(diǎn)使它便于記憶，對小生來說好學(xué)易懂、方法簡便，這些特點(diǎn)都是深受師生歡迎的，因此是可行的。

收稿日期：2009-02-09