等效電阻求解決竅

白　俊

一些特殊電路中，用常規(guī)的串并聯(lián)規(guī)律難以求出電阻值。但是，如果妙用電路的特點(diǎn)，靈活地處理電路，復(fù)雜的問題就可迎刃而解。

一、利用電路的對稱性

例1 如圖1，有一塊均勻的半圓薄金屬片，已知A、B兩點(diǎn)間的電阻為R，求C、D兩點(diǎn)間的電阻。

由題可知，均勻金屬片為一半圓，具有明顯的對稱性。因此，本題可利用圖形對稱這一特征來尋找解決問題的突破口。

解法一：如果把半圓沿C、D再對稱地分為兩個(gè)圓片，則A、B間的電阻可認(rèn)為是兩個(gè)圓片串聯(lián)而成的，由于A、B間電阻為R，故其中每塊圓片的電阻為。而C、D間的電阻可認(rèn)為是由兩塊這樣的圓片電阻并聯(lián)而成的，故C、D間的電阻就應(yīng)為×=。

解法二：假設(shè)將圖中所示的半圓片用另一相同的半圓片將其補(bǔ)充成為一完整的圓片，如圖2所示。則A′、B′間的電阻應(yīng)由兩塊豎立的半圓電阻并聯(lián)而成，而每塊豎立的半圓片電阻為R，所以A′、B′間的電阻值應(yīng)為，即整個(gè)圓片的電阻值為。C′、D′間的電阻可看成是由左右兩半圓片電阻串聯(lián)而成，所以C、D間的電阻就應(yīng)為×=。

例2如圖3所示，滑動(dòng)變阻器的最大阻值為50 Ω。當(dāng)滑片P置于什么位置時(shí)，a、b間的電阻最大？此時(shí)a、b間的最大電阻值是多少？

解：設(shè)滑片移到中點(diǎn)時(shí)，原滑動(dòng)變阻器等效為兩個(gè)電阻，R=R=R=25 Ω，電阻并聯(lián)，如圖4所示。

R==

若滑片移到任何一點(diǎn)時(shí)，原電路可變?yōu)镽′=R+t與R′=R－t并聯(lián)。

如圖5所示，R′===＜R

故只有P移到中點(diǎn)時(shí)，并聯(lián)總電阻最大，最大值為R==12.5 Ω。

例3圖6所示為一立方體框架，其每條棱的電阻均為1 Ω，求其兩相對頂點(diǎn)A、G之間的電阻。

解：立方體框架具有明顯的對稱性。設(shè)電流自A點(diǎn)流入，自G點(diǎn)流出根據(jù)對稱性，AD、AB、AE三條棱上的電壓必然相等，由此可將電路中的B、D、E三點(diǎn)看成是連接在一點(diǎn)的。同樣又可以把電路中的C、F、H三點(diǎn)看成是連接在一點(diǎn)的。這樣，從電路的角度看，圖6的框架連接就等效為圖7的連接，A、G之間的電阻值為

R= Ω+ Ω+ Ω= Ω。

例4用同樣的電阻值均為r的導(dǎo)線，將n個(gè)點(diǎn)彼此成對地連接起來，求這一系統(tǒng)的任意兩點(diǎn)之間的電阻。

分析：為求得n為任意數(shù)值下本題的結(jié)論，這里先取n=4的情況來進(jìn)行討論。如圖8所示，設(shè)有A、B、C、D四點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間電阻均以電阻為r的導(dǎo)線連接，現(xiàn)需求A、B兩點(diǎn)間的電阻。為此，我們不妨設(shè)有電流自A點(diǎn)流入此系統(tǒng)，而由B點(diǎn)流出，電流自A點(diǎn)進(jìn)入此系統(tǒng)時(shí)，將分為三支，即A→B和A→C→B和A→D→B。從對稱角度來看，可以認(rèn)為在此電路中D點(diǎn)和C點(diǎn)的位置是對稱的，故在連接C、D兩點(diǎn)的導(dǎo)線中，A和D誰也不占有優(yōu)勢，即此導(dǎo)線中既不可能有由C流向D的電流，也不可能有由D流向C的電流。此時(shí)此導(dǎo)線中無電流通過，從此時(shí)形成電流的通路來說，相當(dāng)于C、D間沒有直接連接導(dǎo)線一樣，即此時(shí)圖8和圖9的電路是等效的，而由圖9來求A、B間的電阻R可由下式求得：

=++

即=++

所以R=r

解：由上分析，設(shè)有n個(gè)點(diǎn)如題述連接，對于其中某任意兩點(diǎn)間的電阻R來說，這一系統(tǒng)的電路將等效于類似圖9的電路，即沒有與這兩點(diǎn)直接連接的導(dǎo)線，均可略去不計(jì)，這樣，在這兩點(diǎn)之間就只并聯(lián)有（n－1）條支路，其中有一條支路的電阻為r，另外還有（n－2）條支路，它們的電阻均為2r，由此可得這兩點(diǎn)間的電阻R應(yīng)滿足

=+（n－2）， 所以，R=

經(jīng)檢驗(yàn)可以看出，上式對于n=2和n=3時(shí)都是同樣成立的，即R=就是包含有n個(gè)點(diǎn)的這樣的系統(tǒng)內(nèi)任意兩點(diǎn)間電阻的表達(dá)式。

二、利用電路的重復(fù)性

例5圖10表示由很多R=1 Ω的相同電阻組成的無窮網(wǎng)絡(luò)，求A、B間的總電阻。

由于題目給的是一個(gè)無窮網(wǎng)絡(luò)，故若將題中的網(wǎng)絡(luò)按照其組成規(guī)律增加或者減少一格，仍然為一個(gè)由原組成規(guī)律的無窮網(wǎng)絡(luò)，其總電阻應(yīng)不發(fā)生改變。

解法一：設(shè)RAB=x，設(shè)想自A、B處照原網(wǎng)絡(luò)增加一格，即在圖10中的A、B間再接一電阻R，并自A處向左接一電阻R至A0點(diǎn)，自B處向左接一電阻R至B0點(diǎn)。則A0、B0的右側(cè)與A、B均為一個(gè)無窮網(wǎng)絡(luò)，且其結(jié)構(gòu)相同，故應(yīng)有

x=2R+

x2-2Rx+2R2=0

解這個(gè)二次方程并取合理值有

RAB=x=（1+）R=（1+） Ω

解法二：設(shè)想將圖10中左端的三個(gè)電阻取走，則剩下以A1B1為起始點(diǎn)的部分仍然是一個(gè)無窮網(wǎng)絡(luò)，它與原無窮網(wǎng)絡(luò)電阻相同，這樣可得到和解法一同樣的方程和結(jié)論。

解法三：設(shè)自A點(diǎn)流入網(wǎng)絡(luò)的電流為I（則自B點(diǎn)流出的電流也為I），在A1點(diǎn)，有電流?琢I流向B1，有電流（1-?琢）I流向A2。對于A1點(diǎn)和A2點(diǎn)來說，其右側(cè)可以看成是相同的無窮網(wǎng)絡(luò)，則流入該點(diǎn)的電流在流出時(shí)，其分配比例應(yīng)該相同，則自A2點(diǎn)流向B2點(diǎn)的電流應(yīng)為（1-?琢）?琢I。

如上設(shè)有電流I由A1點(diǎn)直接流向B1點(diǎn)，則由此得到A1、B1間的電壓為U=?琢IR。

另外，A1、B1間的電壓也應(yīng)該等于A1、A2點(diǎn)間的電壓U、A2、B2點(diǎn)間的電壓U與B2、B1點(diǎn)間的電壓U三者之和，即

U=U+U+U，U=（1－α）IR

U=α（1－α）IR，U=（1-α）IR

即αIR=（1－α）IR+α（1－α）IR+（1－α）IR

整理得α2+2α－2=0

解這個(gè)方程并取合理值得α=－1

據(jù)此可得A、B間的電壓UAB

U=U+U+U=IR+αIR+IR=（1+）IR

故A、B間的電阻為R==（1+）R=（1+）Ω。