樣條小波的構造方法及其應用

周義明　張　超　張化民

摘 要：從樣條函數(shù)定義入手,給出了構造樣條小波的具體方法。為了解決小波分析對奇異信號的奇異點定位困難的問題,重點介紹了基于余弦基展開式的零點對稱的二進樣條小波、零點反對稱的二進樣條小波構造方法,并提出了具體的實現(xiàn)算法及計算過程。通過與正交樣條小波的比較,對稱樣條小波能對階躍信號和脈沖信號奇異點進行更好的定位,實驗結論也進一步驗證了該樣條小波對分析奇異信號具有較大優(yōu)勢。

關鍵詞：樣條函數(shù)；構造方法；二進樣條小波；信號定位；奇異性

中圖分類號：TN911 文獻標識碼：B

文章編號：1004-373X(2009)01-036-05

Construction Methods and Application Based on Spline Wavelets

ZHOU Yiming1,ZHANG Chao2,ZHANG Huamin3

(1.Beijing Institute of Petro-chemical Technology,Beijing,102617,China;

2.College of Electronics and Information Engineering,Tongji University,Shanghai,201804,China;

3.Hunan Tax College,Changsha,410116,China)

Abstract：Based on cardinal spline function,the contribution gives the construction ways.In order to overcome the matter about locating singularity position,the paper introduces the ways of symmetry dyadic spline wavelets on zero,anti-symmetry dyadic spline wavelets on zero,at the same time,puts forward to the transform arithmetic.Analyzing the real fault step signals and pulse signals by means of the constructed spline wavelets,the paper proves that the location of symmetry(anti-symmetry) dyadic spline wavelet is better than orthorhombic wavelet,experiment testify the result is correct.

Keywords：spline function;construction method;dyadic spline wavelets;signal location;singularity

0 引 言

小波變換因為同時具有時-頻分析能力,成為了近代信號處理的主要工具。樣條小波作為一種小波函數(shù)重要分支,由于具有更加優(yōu)良的時頻特性,而被廣泛應用。然而,國內外的小波專著主要是對小波函數(shù)構造理論的推導及證明,需要較強的數(shù)學理論知識,對于大多數(shù)工程技術人員而言,主要關心的是小波函數(shù)構造的方法、結論、算法實現(xiàn)及應用范圍?；诖?從樣條函數(shù)入手,結合對小波正交性、正則性、消失矩、緊支性和對稱性要求的不同,構造出了不同性質的樣條小波、實現(xiàn)算法和應用范圍。

全文的主體內容大致分為3個方面：

(1) 引入基本樣條函數(shù)的定義及其性質；

(2) 利用小波構造理論給出了二進樣條小波(反對稱和對稱)、正交樣條小波的構造過程和結論,同時給出了實現(xiàn)算法；

(3) 結合作者在實際項目中的應用,選用不同的 3階二進樣條小波對突變信號進行了分析與比較,給出了反應該突變信號的特征。

1 B樣條函數(shù)

樣條函數(shù)廣泛應用于曲線、曲面擬合等領域,小波分析出現(xiàn)后,利用樣條函數(shù)構造樣條小波取得了巨大成就。

1.1 B樣條函數(shù)的定義

設有節(jié)點序列{ti} n+k,稱函數(shù):

B i,k(x)=(t i+k-ti)［ti,t i+1,…,t i+k］(t-x) k-1+(1)

為關于節(jié)點序列{ti}的第i個k階(k-1次)B樣條函數(shù)［1］。

說明：k階半截冪函數(shù)f(t)=(t-x) k-1+(x為參數(shù))的k階差商乘上一個數(shù)(t i+k-ti)就是k階(k- 1次)B樣條函數(shù)。

由式(1)可得,當k=1時,第i個1階(k-1次) B樣條函數(shù)為:

B i,1(t)=1, ti≤t＜t i+1

0,其他(2)

由于i只是反應了樣條函數(shù)在t軸的平移,不妨將B樣條函數(shù)設為以0為對稱中心,且節(jié)點距離為1,并重記為:

N1(t)=1, -1/2≤t＜1/2

0，其他(3)

1.2 B樣條函數(shù)性質

對于m階B樣條函數(shù)Nm有以下性質［2,3］：

(1) 樣條函數(shù)的支集：supp Nm=［-m/2,m/2］；

(2) 對于每個f∈C,有:

∫∞ -∞f(x)Nm(x)dx=∫ 1/2 -1/2…∫ 1/2 -1/2f(x1+x2+…

+xm)dx1dx2…dxm

(3) 對稱性：Nm(-t)=Nm(t)；

(4) Nm(t)=tm-1N m-1(t)+m-tm-1N m-1(t-1)；

(5) 對所有t,∑∞k=-∞Nm(t-k)=1；

(6) Nm(t)=N m-1*N1(t)；

結合式(2)和性質(4),(6)可以求出任意階B樣條函數(shù)表達式。

2 樣條小波

由樣條函數(shù)可構造多種性質的樣條小波,結合信號分析的目的和要求,主要從正交性、消失矩、緊支性、對稱性等方面考慮,通過小波構造理論來構造不同性能的小波母函數(shù)。

2.1 二進樣條小波

函數(shù)Ψ(t)∈L1(R)∩L2(R)稱為一個二進小波,若存在常數(shù)0＜A≤B＜∞使得對于笑亍蔙-{0}有:

A≤∑j∈ZΨ(2jω)2≤B(4)

二進小波變換只是將連續(xù)小波變換尺度S以{2j}采樣,平移參數(shù)不變,為了適宜對信號進行邊沿檢測或突變檢測,往往小波的對稱性作為構造重點,并以卷積形式定義：{W 2jf(t)} j∈Z叫做f的二進小波變換,其中:

W 2jf(t)=f*Ψ 2j(t)=12j∫Rf(x)Ψ(t-x2j)dx(5)

在式(5)中,根據(jù)卷積定理有:

W 2j(ω)=(ω)(2jω)(6)

2.1.1 二進樣條小波的構造

在二進樣條小波構造之前,先給出母二進小波φ(t)滿足的條件：

(1) φ(t)是偶函數(shù),即φ(-t)=φ(t)；

(2) limω→0 (ω)=1, limω→∞ (ω)=0；

(3) (2ω)=H(ω)(ω),且H(ω)滿足：H(ω)∈L2(［-π,π］),H(ω)≤1,H(ω)又稱為母二進小波φ(t)的生成元。

二進小波變換主要是對突變信號進行邊沿和突變點分析,信號有2種性質的突變：階躍突變；脈沖突變。因此在構造樣條小波時,就對應構造出了兩種不同性質的二進樣條小波：反對稱二進小波；對稱二進小波。

(1) 反對稱二進小波構造

設φ(t)是一個二進小波,H(ω)為其生成元,N是任意固定的正整數(shù),(a1,a2,…,aN)是滿足∑Nk=1ak＜1的任意N維實數(shù)向量,則o(2ω)=Go(ω)(ω)是一個定義在L2(R)中的二進小波函數(shù),其中:

Go(ω)=isgn(ω)［1+∑Nk=1(akcos kω)］1-H(ω)2(7)

當N=1,ak=0時,有:

G0o(ω)=isgn(ω)1-H(ω)2(8)

由式(7)可知,Go(ω)是一個余弦基的展開式,可將其認為是一個對稱函數(shù)的準Fourier級數(shù)展開式,當選取不同的N和ak時可構造出不同濾波系數(shù)的二進小波。

對于Go(ω)可得以下一些性質：

① 由于式(7)中k∈Z,必有Go(ω)∈ L2(［-π,π］)；

② Go(ω)是奇函數(shù)；

③ 記Go(ω)=∑n∈Zgne -inω,則有gn=-gn,g00=0；

④不同N,ak構造的反對稱二進小波濾波系數(shù)之間有關系：

gn=g0n+12∑Nk=1ak(g0 n-k+g0 n+k)(9)

(2) 對稱二進小波構造

與反對稱二進小波構造條件一樣,只是?。?/p>

Ge(ω)=［1+∑Nk=1(akcos kω)］1-H(ω)2(10)

當N=1,ak=0時，有：

G0e(ω)=1-H(ω)2(11)

相應的性質如下：

① Ge(ω)∈L2(［-π,π］)；

② Ge(ω)是偶函數(shù)；

③ 記Ge(ω)=∑n∈Zgne -inω,則有gn=-gn；

④ 不同N,ak構造的對稱二進小波濾波系數(shù)之間的關系：

gn=g0n+12∑Nk=1ak(g0 n-k+g0 n+k)(12)

以3階中心B樣條函數(shù)作為母二進小波φ(t)：

根據(jù)樣條函數(shù)的定義和性質,由Nm(t)=N m-1砃1(t)及卷積定理可得：

(2ω)=m(2ω)=(sin ωω)m=

(cosω2)mm(ω)=H(ω)m(ω)(13)

因此：

H(ω)=(cosω2)m(14)

現(xiàn)分析其是否滿足母二進小波的3個條件：

① 由于φ(t)是以零為中心的B樣條函數(shù),所以其為偶函數(shù)；

② limω→0(2ω)= limω→0sin ωωm=1,同理 limω→∞ (2ω)=0；

③ 由式(14)有：當m=2k,即m為偶數(shù)時,H(ω)滿足條件,可作為生成元；當m=2k+1,即m為奇數(shù)時,不是以2π為周期的,若在式(14)右邊乘以一指數(shù)因子以保證其是以2π為周期的,則時域的φ(t)將會產(chǎn)生零點偏移,破壞了φ(t)的偶對稱性,Mallat構造的3階二進樣條小波［4］就屬于此類。為解決這一矛盾,許傳祥等通過擴展φ(t)的時間軸使得其頻域軸壓縮,從而構造了極好的二進樣條小波,并給出了3階和4階二進樣條小波的濾波器系數(shù)［5］。

圖1為二者用3階樣條函數(shù)構造的小波函數(shù)對一階躍信號的分析,一共進行了9層小波分析,其中 圖1(a)為被分析信號；圖1(b)為由膨脹 φ(t)的時間軸構造的小波對信號的分析； 圖1(c)為由Mallat構造的小波對信號的分析。由圖可見,膨脹φ(t)的時間軸構造的小波分解系數(shù)不發(fā)生時間的偏移,而由Mallat構造的小波隨著分解層數(shù)的增加逐步偏離突變點,但緊支性方面對稱性樣條小波不如Mallat二進小波。

圖1 不同樣條小波對突變信號的分析

2.1.2 二進小波變換的實現(xiàn)

由于二進樣條小波采用余弦基構造,而且其變換通過卷積形式,因此不符合MRA理論,不能采用快速Mallat算法實現(xiàn)。à trous算法(多孔算法)能實現(xiàn)這一二進小波變換。

設原始信號為{s(n)} n∈［0,N),可以證明必存在f(t),使得:

s(n)=＜f(t),φ(t-n)>(15)

不妨設f(n)=Sd1f,f(n)為t=n時刻的值,對于采樣較密集的信號可直接設s(n)=Sd1f,則對每一個尺度2j,Sd 2jf可分解為Sd 2 j+1f和Wd 2 j+1f,程序公式如下：

while(j≤J)

Sd 2 j+1f=Sd 2jf砲n

Wd 2 j+1f=Sd 2jf砱n

j=j+1

end

分解后的信號長度為JN個細節(jié)系數(shù),N個概貌系數(shù)。

2.2 正交樣條小波

正交小波由于在尺度和平移方面都是正交的,不含冗余項,被廣泛應用于圖像或數(shù)據(jù)壓縮,因而在構造過程主要考慮正交性。

2.2.1 正交樣條小波的構造

正交小波的構造主要采用MRA理論,在構造之前先給出幾個定義或定理：

定理1 MRA理論是指滿足以下條件的序列閉子個空間{Vj} j∈Z：

(1) …糣2糣1糣0糣 -1糣 -2?。?/p>

(2) ∩j∈ZVj={0}; ∪j∈ZVj=L2(R)；

(3) f(t)∈Vj趂(2t)∈V j+1,j∈Z；

(4) 存在φ(t)∈V0,使得V0= span{φ(t-n),n∈Z}。

由條件(4)可以得到一個引理：

若滿足：

∑(ω+2nπ)2=1(16)

則序列{φ(t-n),n∈Z}必為V0空間的一組正交基。

定理2 若{Vj} j∈Z滿足MRA理論,尺度函數(shù)序列{φ(t-n),n∈Z}為V0空間的正交基,則有二尺度差分方程如下：

尺度:

φ(t)=2∑n∈Zcnφ(2t-n)(17)

小波:

Ψ(t)=2∑n∈Z(-1)nc 1-nφ(2t-n)(18)

可將小波離散表示為：

Ψ j,k(t)=2jΨ(2j-k)(19)

可以證明Ψ(t)的Fourier變換滿足：

(ω)=-e -iω/2(ω2+π)(ω2)(20)

其中：

H(ω)=2 -1/2∑cne -inω(21)

根據(jù)式(3)和1.2節(jié)中性質(6),若取φ(t)=Nm(t)則有：

當m=1時,N1(t)具有正交性,可以構造正交小波基,即Haar小波；

當m≥2時,Nm(t-n)是Riesz基的,并不具備平移正交性,因此在構造小波之前必須對其進行正交化處理,記：

p(ω)=sin(ω/2)ω/2p(22)

Fp(ω)=p(ω+2nπ)2〗 -1/2(23)

#p(ω)=p(ω)Fp(ω)(24)

則可證明存在{V #0}使得{φ #p(t-n),n∈Z}為其正交基,這時再利用定理2就可以構造正交的樣條小波基,即有：

(ω)=e -iω/2 m #0(ω/2+π)φ #p(ω/2)(25)

其中：m #0(ω)=m0(ω)［∑n∈Zp(ω+2nπ)2］ 1/2［∑n∈Z

p(2ω+2nπ)2］ -1/2,且m0(ω)=2 -1/2∑n∈Zhne -inω, hn=cn,∑n∈Zp(2ω+2nπ)2=-sin 2pω(2p-1)!d 2p-1dω 2p-1 cot ω［3］。

以時域表示式(24)和式(25)有：

φ #p(t)=2∑n∈Zh #nφ #p(2t-n)(26)

Ψ #p(t)=2∑n∈Z(-1)nh # 1-nφ #p(2t-n)(27)

該小波還具有對稱性,但卻犧牲了小波的緊支性,二階和三階正交樣條小波的具體構造過程和其他階正交樣條小波濾波器系數(shù)在相關文章中給出［6,7］。

2.2.2 正交樣條小波變換的實現(xiàn)

正交樣條小波的構造是基于MRA理論,因此可以通過快速Mallat算法實現(xiàn),其原理為：

信號的小波變換可以看作對信號分別進行高通或低通濾波,利用二尺度差分方程對小波變換進一步推導可得：

x (j)k=∑nh0(n-2k)x (j-1)n(28)

d (j)k=∑ng0(n-2k)x (j-1)n(29)

其中：h0,g0分別為式(25),式(26)中的濾波器系數(shù)h #n,(-1)nh # 1-n。

將待小波分解信號通過一個高通濾波器和一個低通濾波器進行濾波,得到一組低頻信號和一組高頻信號,并且繼續(xù)對低頻信號進行類似分解直到滿足要求,每一次分解得到的低頻信號和高頻信號長度都是原信號長度的一半,兩者之和等于原信號的長度,可看作是在濾波后進行隔點采樣,分解結果既不冗余,也不損失原信號的任何信息,此即為Mallat算法,將其用電路結構圖表示如圖2所示。

圖2 Mallat算法電路結構示意圖

3 實例分析

根據(jù)分析信號的目的和要求的不同,選擇的小波基和變換方法也是不一樣的,基于作者在北京環(huán)鐵基地做實驗所采集的信號,選用不同的小波基對其進行了分析。

實驗目的主要是分析牽引接觸網(wǎng)的接地故障行波信號,測試線路長度為1 400 m,數(shù)據(jù)采樣頻率為 100 MHz,分為在線和離線檢測兩種情況：

(1) 在線情況是將線路首端接一觸發(fā)恒壓電源 15 V,末端通過電阻(有幾種等級)接地,電源觸發(fā)后,在末端采集故障行波；

(2) 離線情況是用電容球隙放電產(chǎn)生的突發(fā)脈沖代替(1)中恒壓電源作為信號源,末端仍接地,信號采集端在首端,圖3為用虛擬儀器實測的故障行波波形。

圖3 兩種情況下的實測故障行波

注意實測波形：由恒壓電源產(chǎn)生的故障行波是帶一定傾斜度臺階上升的,最終達到15 V；由球隙放電產(chǎn)生的故障行波是隔一定間距就產(chǎn)生相反方向的突變脈沖(不嚴格)信號,第一個極大脈沖是由球隙放電產(chǎn)生,并不是故障行波,振蕩波是由球隙逐漸放電過程引起的。由于測試現(xiàn)場噪聲較強,采樣率較高,數(shù)據(jù)量較大,為了便于分析,在不破壞原始數(shù)據(jù)波形成分和形狀的條件下,只對其(突變劇烈處)進行部分截取并放大,分別用不同小波基分析直流恒壓源故障行波,分解層數(shù)為 9級,得到圖4,其中(a)為原始信號； (b)為零點反對稱小波(N=1,a1=0.28)的分析；(c)為Mallat小波的分析；(d)為零點對稱小波(N=1,a1=-0.64)的分析。

圖4 直流恒壓源故障行波在不同小波基下的分析

由圖4可見,對于分析階躍信號,在低級數(shù)分解過程中,由于噪聲的影響,無法分辨突變點,提高分解級數(shù)(第8級),可以分辨突變點,但是難以精確定位,不同小波基下的分解,定位也是完全不同的,零點反對稱小波的分析最佳,對于脈沖性質的信號,零點對稱小波的分析最佳,當選用正交小波基時,每級分解后數(shù)據(jù)量減半,但由于進行了二抽取,完全沒有定位性,因此可總結出以下性質：

(1) 用小波對信號進行邊沿或突變點檢測時,宜選用二進小波函數(shù)作為分析母小波；

(2) 對階躍信號的分析宜選用零點反對稱小波,對觸發(fā)信號的分析宜選用零點對稱小波；

(3) 階躍信號的突變點分別對應零點反對稱小波變換系數(shù)的極大值點和零點對稱小波變換系數(shù)的過零點；觸發(fā)信號的突變點分別對應零點反對稱小波變換系數(shù)的過零點和零點對稱小波變換系數(shù)的極大值點；

(4) Mallat小波在進行突變檢測時會發(fā)生定位偏移,不利于突變點的定位；

(5) 正交小波基更適宜應用于數(shù)據(jù)的壓縮和重構,不適宜突變點檢測。

4 結 語

根據(jù)分析信號的要求,提出了基于樣條函數(shù)構造不同性質的樣條小波的理論和方法,并通過對實測故障行波數(shù)據(jù)的分析,得出了分析階躍信號和突變信號的小波基函數(shù)選擇的理論依據(jù),證實其完全符合理論的推導。

參考文獻

［1］易大義,陳道琦.數(shù)值分析引論［M］.杭州:浙江大學出版社,2002.

［2］崔錦泰.多元樣條理論及應用［M］.程正興,譯.西安:西安交通大學出版社,1991.

［3］崔錦泰.小波分析導論［M］.程正興,譯.西安：西安交通大學出版社,1997.

［4］Stephane Mallat,Sifen Zhou.Characterization of Signals from Multiscale Edges［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1992,14(7):710-732.

［5］許傳祥,石青云,程民德.零對稱和反對稱二進小波及其在邊緣檢測中的應用［J］.中國圖像圖形學報,1996,1(1): 4-11.

［6］Anna Wang,Zhang Xinhua,Chen Yu,et al.B Spline Wavelet and SVM Threshold Based Medical Image Edge Extraction.Industrial Electronics.2007.ISIE 2007.IEEE International Symposium on.2007:1 628-1 632.

［7］Daubechies Ten.Lectures on Wavelets.Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathe,1992:129-150.

［8］Liu L T,Hsu H T,Gao B X.A New Family of Orthonormal Wavelet Bases［J］.Journal of Geodesy,1998,72:294-303.

作者簡介

周義明 男,1976年出生,講師。主要研究方向為信號處理。

張 超 男,碩士研究生。主要研究方向為通信與信息系統(tǒng)。

張化民 男,1958年出生,副教授。主要研究方向為計算機應用。