如何讓學(xué)生建構(gòu)“平均數(shù)”的統(tǒng)計(jì)意義

平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要概念，是描述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)集中程度的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。“平均數(shù)”教學(xué)歷來是受專家、名師和普通教師們關(guān)注的一個(gè)經(jīng)典內(nèi)容，新教材把平均數(shù)放在“統(tǒng)計(jì)與概率”里進(jìn)行教學(xué)，給廣大的教師和學(xué)生帶來了新的挑戰(zhàn)。教材通過求一個(gè)小組四個(gè)學(xué)生收集廢舊礦泉水瓶的平均數(shù)量和比較兩支球隊(duì)的身高情況，使學(xué)生結(jié)合對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析來理解平均數(shù)的概念和計(jì)算，并著重讓學(xué)生體會(huì)平均數(shù)可以反映一組數(shù)據(jù)的總體情況和區(qū)別不同組數(shù)據(jù)的總體情況這一統(tǒng)計(jì)學(xué)上的意義。根據(jù)教材的編排意圖，第一次課堂實(shí)踐采取了“揭示概念——感知特征——拓展應(yīng)用”的模式進(jìn)行教學(xué)。

[第一次課堂實(shí)踐簡述]

一、揭示概念

1.創(chuàng)設(shè)情境。

2.呈現(xiàn)例1:一個(gè)小組收集礦泉水瓶統(tǒng)計(jì)圖。

(1)解讀信息。(2)提出問題:你知道平均每人收集了多少個(gè)?

3.學(xué)生嘗試計(jì)算。

4.交流反饋:(1)移多補(bǔ)少。(2)列式計(jì)算。

5.揭示概念:像“平均每人收集了13個(gè)”這樣的數(shù)叫做平均數(shù)。

6.你還知道哪些平均數(shù)?生舉例。

二、感知特征

材料(一):張老師家1～4月份繳付電費(fèi)情況統(tǒng)計(jì)圖。

1.請(qǐng)你估一估，張老師家1～4月份繳付電費(fèi)多少元?

2.算一算，驗(yàn)證平均數(shù)比最大數(shù)小，比最小數(shù)大。

材料(二):小明游泳有危險(xiǎn)嗎?

三、拓展應(yīng)用

1.創(chuàng)設(shè)情境，呈現(xiàn)例2。

歡樂隊(duì): 148厘米 142厘米 139厘米 141厘米 140厘米

開心隊(duì):144厘米 146厘米 142厘米 145厘米 143厘米

2.提出問題:你認(rèn)為哪個(gè)隊(duì)的身高要高?為什么?(小組討論)

3.解決問題:計(jì)算兩隊(duì)的平均身高并進(jìn)行比較。

4.小結(jié):平均數(shù)可以反映出兩隊(duì)身高的總體情況。

四、課堂總結(jié)

[第一次課堂實(shí)踐后存在的問題]

從一組數(shù)據(jù)的分析引入 “平均數(shù)”概念，再通過兩組數(shù)據(jù)的比較感知平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。這樣的教學(xué)步子小，知識(shí)層次清晰，對(duì)平均數(shù)概念的理解比較到位。但實(shí)踐下來，它的不足比較明顯，其一:“平均數(shù)”的實(shí)際意義不明顯。學(xué)生對(duì)為什么要引入“平均數(shù)”、平均數(shù)的產(chǎn)生過程及學(xué)習(xí)平均數(shù)的價(jià)值等體現(xiàn)不夠充分。其二:弱化了學(xué)生對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的建構(gòu)。只是在教學(xué)例2時(shí)才有所體現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生對(duì)“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)總體情況”這一統(tǒng)計(jì)意義是不理解或沒有感知，教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度較低。

[探討與反思]

理解平均數(shù)主要有三個(gè)維度:算法理解、概念理解、統(tǒng)計(jì)理解。對(duì)三年級(jí)學(xué)生來說，平均數(shù)是外在的、抽象的、符號(hào)化的知識(shí)。學(xué)生較難理解平均數(shù)抽象的概念和豐富的內(nèi)涵，更難理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。在理解平均數(shù)的三個(gè)維度中，我們認(rèn)為概念理解建立在算法理解中，統(tǒng)計(jì)理解要在算法理解和概念理解的基礎(chǔ)之上，所以對(duì)學(xué)生來說最難的是統(tǒng)計(jì)理解，也就是“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況”這一統(tǒng)計(jì)意義的建構(gòu)。那么，是什么原因?qū)е聦W(xué)生不能理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義呢?三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)平均數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景又是怎樣的呢?我們對(duì)學(xué)生進(jìn)行了前測，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)一組數(shù)據(jù)的整體關(guān)注能力比較低，當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)在眼前時(shí)，會(huì)對(duì)個(gè)別數(shù)據(jù)感興趣，如最大值、最小值，相差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系等。他們通常不會(huì)將一組數(shù)據(jù)看做一個(gè)整體來描述，對(duì)平均數(shù)的知識(shí)積累非常有限，所以我們認(rèn)為:學(xué)習(xí)平均數(shù)的難點(diǎn)在于學(xué)生對(duì)一組數(shù)據(jù)的個(gè)別關(guān)注如何轉(zhuǎn)移到對(duì)一組數(shù)據(jù)的整體關(guān)注，如何讓學(xué)生建構(gòu)“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況”這一統(tǒng)計(jì)意義。

基于以上認(rèn)識(shí)，我們又進(jìn)行了《平均數(shù)》的第二次課堂實(shí)踐，以經(jīng)歷、感知、體驗(yàn)和理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義為主線，力求讓學(xué)生在豐富的生活實(shí)例中通過分析比較、直觀操作、估計(jì)推斷和綜合應(yīng)用建立平均數(shù)概念，逐步感知、理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義和特征。

[第二次課堂實(shí)踐簡述]

一、在經(jīng)歷平均數(shù)的產(chǎn)生和計(jì)算中初步感知平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義

師:同學(xué)們喜歡運(yùn)動(dòng)嗎?張老師班的學(xué)生很喜歡籃球運(yùn)動(dòng)，前不久進(jìn)行了投籃比賽，老師統(tǒng)計(jì)了其中一個(gè)組的男生隊(duì)和女生隊(duì)每人投1分鐘投中情況的統(tǒng)計(jì)圖。(出示)

1.從圖上你獲得了哪些信息?

2.提出問題:從圖上反映的信息看，你認(rèn)為哪個(gè)隊(duì)投籃的水平更高一些?

3.平均數(shù)的產(chǎn)生。

(1)人數(shù)不一樣，比投中的總數(shù)，你覺得合理嗎?怎么比才合理呢?你有什么好辦法?

(2)“平均”是什么意思?

師生小結(jié):把女生隊(duì)投中球數(shù)平均一下得到的那個(gè)數(shù)代表女生隊(duì)水平，把男生隊(duì)投中球數(shù)平均一下得到的那個(gè)數(shù)代表男生隊(duì)水平。

4.平均數(shù)的求法。

(1)女生隊(duì)平均每人投中幾個(gè)?A.移多補(bǔ)少(課件演示)。B.列式計(jì)算。

(2)男生隊(duì)平均每人投中幾個(gè)?

5.解決問題:現(xiàn)在你認(rèn)為哪個(gè)隊(duì)的投籃水平高呢?

二、在概念理解中感知平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義和特征

1.初步感知平均數(shù)的實(shí)際意義。

(1)女生隊(duì)平均每人投中了6個(gè)(呈現(xiàn)平均線)，這6個(gè)是女生隊(duì)實(shí)際每人都投中了6個(gè)嗎?

(2)這6個(gè)指的是什么?

(3)揭示概念:這6個(gè)并不是指女生隊(duì)實(shí)際每人都投中了6個(gè)，而是把女生隊(duì)投中的球數(shù)平均后得到的，這樣的數(shù)，就叫做平均數(shù)。這個(gè)數(shù)代表了女生隊(duì)的投籃水平。

2.理解概念。

(1)男生隊(duì)投中的平均數(shù)是多少呢?(呈現(xiàn)平均線)

(2)男生隊(duì)的5位同學(xué)實(shí)際投中的與平均數(shù)5相比，你想說些什么呢?

3.感知統(tǒng)計(jì)意義和特征。

材料一: 張老師家今年1～4月份電費(fèi)繳付情況統(tǒng)計(jì)圖

(1)估計(jì) (介于最大數(shù)和最小數(shù)之間)。(2)計(jì)算驗(yàn)證。

(3)初步感知原始數(shù)據(jù)的大小變化引起平均數(shù)的變化。

材料二:秀洲新區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)教師的平均年齡是40歲。

(1) 從“平均年齡40歲” 這條信息你可以知道什么?

(2)從“平均年齡40歲”來看，我們學(xué)校的老師總體上是偏大的，你想對(duì)我們校長提什么建議?

三、在綜合實(shí)踐應(yīng)用中體驗(yàn)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義和特征

1.平均數(shù)在我們生活中還有很多，你還知道哪些?

2.想不想知道自己小組的平均身高?

(1)請(qǐng)你估一估，哪個(gè)小組同學(xué)的身高要高?

(2)出示:第一組:134cm;第二組:135cm;第三組:137cm;第四組:134cm。

是不是第三組的每位同學(xué)都比其他組高?生舉例。

(3)第三小組同學(xué)的平均身高比其他組要高，并不說明第三小組的每位同學(xué)都比其他組同學(xué)要高，但能說明什么?

(第三小組學(xué)生的身高總體上要比其他組高)

3.小東有個(gè)問題想請(qǐng)同學(xué)們幫忙。(出示圖)

(1)請(qǐng)你仔細(xì)觀察這兩幅圖，你想對(duì)小東說些什么?

(2) 為什么有危險(xiǎn)?

(3)想看看這條小河水底的情況嗎?(出示圖)

四、課堂總結(jié)

[教學(xué)思考]

1.讓學(xué)生經(jīng)歷平均數(shù)的產(chǎn)生過程，體驗(yàn)學(xué)習(xí)平均數(shù)的必要性

平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量都反映了統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的集中趨勢，而平均數(shù)的價(jià)值在于它能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況，只有把這種價(jià)值展現(xiàn)在學(xué)生面前，他們才會(huì)感受到學(xué)習(xí)平均數(shù)的必要性。第二次教學(xué)實(shí)踐通過比較人數(shù)不等的男、女兩隊(duì)的投籃水平，制造矛盾沖突，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)交流、爭辯、分析與比較的過程，這樣更能凸顯學(xué)習(xí)平均數(shù)的必要性。另外，我們認(rèn)為一組數(shù)據(jù)的總體情況可以用多種統(tǒng)計(jì)量來加以表征，從一組數(shù)據(jù)引入平均數(shù)，學(xué)生對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的感知較欠缺。相比而言，用總數(shù)與份數(shù)都不等的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，能促使學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的個(gè)別關(guān)注轉(zhuǎn)移到對(duì)數(shù)據(jù)的整體關(guān)注，有利于學(xué)生對(duì)“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的整體情況”這一統(tǒng)計(jì)意義的建構(gòu)。

2.讓學(xué)生有效建構(gòu)“平均數(shù)”的統(tǒng)計(jì)意義

第一次教學(xué)實(shí)踐，大多數(shù)學(xué)生對(duì)“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況”這一統(tǒng)計(jì)意義不理解或沒有感知。而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的理解是本節(jié)課最關(guān)鍵的一點(diǎn)。確實(shí)，由于小學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平的限制，他們很難一次完成對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的建構(gòu)。那么我們的教學(xué)應(yīng)以豐富的生活背景作支撐，以經(jīng)歷、感知、體驗(yàn)和理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義為主線，在經(jīng)歷平均數(shù)的產(chǎn)生和計(jì)算中，在綜合實(shí)踐應(yīng)用中，通過分析比較、直觀操作、估計(jì)推斷和綜合應(yīng)用建立平均數(shù)概念，逐步感知、體驗(yàn)、理解平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義和特征。在第二次教學(xué)實(shí)踐中力求在以下五個(gè)層次中得以體現(xiàn):

首先，通過兩組總數(shù)與份數(shù)都不同的數(shù)據(jù)比較，讓學(xué)生感悟?qū)W習(xí)平均數(shù)的必要性，并引起學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)總體的關(guān)注。其次，通過對(duì)“平均每人投中6個(gè)”這一數(shù)據(jù)實(shí)際含義的探討，使學(xué)生感知平均數(shù)的虛擬性，并初步認(rèn)識(shí)平均數(shù)代表“整個(gè)小隊(duì)”的總體情況這一統(tǒng)計(jì)意義。第三，通過“平均每月電費(fèi)”的估計(jì)與調(diào)整及“我校教師平均年齡”等材料，讓學(xué)生感知平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義和特征。最后，通過各小組平均身高的比較，使學(xué)生理解某個(gè)具體的數(shù)據(jù)不足以反映一個(gè)整體的一般水平，平均數(shù)也不能說明整體中某個(gè)具體數(shù)據(jù)的情況，但“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況”這一統(tǒng)計(jì)意義。

[教學(xué)實(shí)踐后的困惑]

通過“平均數(shù)”一課的實(shí)踐，深刻認(rèn)識(shí)到由于自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的膚淺和本體知識(shí)的缺失，對(duì)自己的教學(xué)有了很大的制約。同時(shí)，在教學(xué)實(shí)踐中有兩個(gè)問題一直困擾著我:

1.對(duì)三年級(jí)的學(xué)生來說，面對(duì)“比總數(shù)不公平”想到用“平均數(shù)”比較兩組人數(shù)不等的數(shù)據(jù)的整體水平，是學(xué)生原生態(tài)的、真實(shí)的思維嗎?因?yàn)楫?dāng)我們問起學(xué)生是怎么想到用這種方法的，經(jīng)了解，大部分學(xué)生是經(jīng)過預(yù)習(xí)或課外學(xué)習(xí)知道的，真正通過自己思考得出來的很少很少。這樣的教學(xué)思路，看似自然，實(shí)際上比較牽強(qiáng)，因?yàn)檫@不是大多數(shù)學(xué)生的真實(shí)思維。

2.當(dāng)學(xué)生面對(duì)“比總數(shù)不公平”，個(gè)別學(xué)生給出“先求出平均每人投中幾個(gè)”再比較的建議時(shí)，學(xué)生能明白為什么“求出平均每人投中幾個(gè)”再比較就公平了呢?盡管在第二次教學(xué)實(shí)踐中，力求讓學(xué)生感知“女生隊(duì)平均每人投中6個(gè)”代表了女生隊(duì)的投籃水平，但大部分學(xué)生是“知其然，而不知其所以然”。

思考源自于實(shí)踐，困惑來自于思考，好課需多磨!

(浙江省嘉興市秀洲新區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校314000

浙江省嘉興市秀洲區(qū)教研室314000)