高考排列組合問題的求解策略

排列組合問題是每年高考必考內(nèi)容，這類問題不僅內(nèi)容抽象，解法靈活，而且解題過程極易出現(xiàn)“重復(fù)”和“遺漏”的錯(cuò)誤，因此解題時(shí)應(yīng)注意不斷積累經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)解題規(guī)律，掌握若干技巧，使看似復(fù)雜的問題迎刃而解?，F(xiàn)將高考中幾類典型排列組合問題的求解策略歸納如下：

一、合理分類與準(zhǔn)確分步法

解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。

例1：有n個(gè)人參加計(jì)算機(jī)考試，能否通過不能確定，問有多少種可能情況？

解析：【法一】由分類計(jì)數(shù)原理，有0個(gè)人通過有C種結(jié)果，有1個(gè)人通過有C種結(jié)果，有2個(gè)人通過有C種結(jié)果，……有n個(gè)人通過有C種結(jié)果，因此，一共有C+C+C+…+C=2種可能情況。

【法二】由分步計(jì)數(shù)原理，第一個(gè)人有通過與不通過兩種可能，第二個(gè)人也有通過與不通過兩種可能；……第n個(gè)人也有通過與不通過兩種可能，因此，一共有n個(gè)2相乘，即2×2…×2=2種可能情況。

二、混合問題“先選后排”

對于排列組合混合問題，可先選出元素，再排列。

例2：4個(gè)不同小球放入編號為1，2，3，4的四個(gè)盒中，恰有一空盒的方法有多少種？

解析：因有一空盒，故必有一盒子放兩球。第一步：選，即從四個(gè)球中選2個(gè)有C種，從4個(gè)盒中選3個(gè)盒有C種；第二步：排，即把選出的2個(gè)球看作一個(gè)元素與其余2球共3個(gè)元素，對選出的3盒作全排列有A種，故所求方法有C#8226;C#8226;A=144種。

三、特殊元素“優(yōu)先安排法”

對于帶有特殊元素的排列組合問題，一般應(yīng)先考慮特殊元素，再考慮其它元素。

例3：用0，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）。

A.24個(gè)B.30個(gè)C.40個(gè)D.60個(gè)

解析：由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因?yàn)?不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：第一類，0排末尾時(shí)，有A個(gè)；第二類，0不排在末尾時(shí)，則有A#8226;A#8226;A個(gè)，由分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù)A+A#8226;A#8226;A=30個(gè)，選B。

四、總體淘汰法

對于含有否定字眼的問題，可以從總體中把不符合要求的除去，此時(shí)需注意不能多減，也不能少減。

例4：五個(gè)人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有（）。

A.120種B.96種C.78種D.72種

解析：由題意可先求五個(gè)人全排列有A種，再將甲排首位A種，乙排末位A種都要減去，但甲排首位可能乙排末位，乙排末位可能甲排首位，需再加上甲排首位乙排末位的全排列A，故有A-2A+A=78種不同的排法。選C。

五、相鄰問題“捆綁法”，不相鄰問題“插空法”

若對于某幾個(gè)元素要求相鄰的排列問題，可將相鄰的元素“捆綁”起來看作整體與其他元素排列，再對這個(gè)整體“松綁”，即內(nèi)部元素排列；若對于某幾個(gè)元素要求不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。

例5：7人站成一排照相，①若甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？

②若甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？

解析：①把甲、乙、丙三人“捆綁”起來看作一個(gè)整體，與其余4人共5個(gè)元素全排列，有A種排法，而甲、乙、丙之間又有A種排法，故共有A#8226;A=7200種排法。

②先將其余四人排好有A種排法，再在這四人之間及兩端的5個(gè)“空”中選三個(gè)位置讓甲、乙、丙插入，則有A種方法，這樣共有A#8226;A=1400種不同排法。

六、局部問題“整體優(yōu)先法”

對于局部排列問題，可先將局部看作一個(gè)整體與其余元素一同排列，然后進(jìn)行局部排列。

例6：7人站成一排照相，要求甲、乙兩人之間恰好隔三人的站法有多少種？

解析：甲、乙及間隔的3人先“捆綁”起來組成一個(gè)“小整體”，這3人可從其余5人中選，有C種；這個(gè)“小整體”與其余2人共3個(gè)元素全排列有A種方法，它的內(nèi)部甲、乙兩人有A種站法，中間選的3人也有A種排法，故符合要求的站法共有C#8226;A#8226;A#8226;A=720種。

七、順序固定問題用“消序法”

對于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。

例7：6個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人順序一定，則不同的排隊(duì)方法有多少種？

解析：不考慮附加條件，排隊(duì)方法有A種，而其中甲、乙、丙的A種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有A÷A=120種。

八、構(gòu)造模型“插板法”

對于相同元素的分配問題，可以再元素之間構(gòu)造一個(gè)隔板模型來達(dá)到分配的目的。

例8：方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？

分析：建立隔板模型：將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，而每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目，即為a，b，c，d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有C=165。

九、正難反易轉(zhuǎn)化法

對于一些生疏問題或直接求解較為復(fù)雜、困難的問題，若從正面入手情況較多，不易解決，應(yīng)及時(shí)轉(zhuǎn)化思路從反面入手，將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡單問題來處理。

例9：馬路上有8盞路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的三盞燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？

解析：關(guān)掉第一盞燈有6種方法，關(guān)第二盞、第三盞時(shí)需分類討論，情況十分復(fù)雜。若從反面入手考慮，每一種關(guān)燈的方法都對應(yīng)著一種滿足題設(shè)條件的亮燈與關(guān)燈的排列，于是問題轉(zhuǎn)化為“在5盞亮燈的6個(gè)空中插入3盞暗燈”的“插板”問題。故關(guān)燈方法有C=20種。

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