數(shù)學(xué)模型方法探究

數(shù)學(xué)模型方法，不僅是處理數(shù)學(xué)理論問題的一種經(jīng)典方法，而且還是處理科技領(lǐng)域中各種實際問題的一般數(shù)學(xué)方法。現(xiàn)代電子計算機的廣泛應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)模型方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)與社會科學(xué)的一切領(lǐng)域。馬克思曾說：“一門科學(xué)只有成功地運用數(shù)學(xué)時，才能達到了完善的地步。”如今數(shù)學(xué)在發(fā)展高科技、提高生產(chǎn)力及加強系統(tǒng)管理科學(xué)等方面的重要性已日益被人們所認識。新課程實施后，數(shù)學(xué)模型是貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程中的重要內(nèi)容，這些內(nèi)容雖不單獨設(shè)置卻滲透在每個模塊或?qū)ｎ}中。下面我就對數(shù)學(xué)模型的概念、類別和缺點、在初等數(shù)學(xué)中應(yīng)用及建模能力的培養(yǎng)談?wù)勔恍┛捶ā?/p>

一、數(shù)學(xué)模型的概念

數(shù)學(xué)模型是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是借助于數(shù)學(xué)概念和符號刻畫出來的某種系統(tǒng)的純關(guān)系結(jié)構(gòu)，所以在數(shù)學(xué)模型的形成過程中，已經(jīng)用了抽象分析法，可以說抽象分析法是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的基本手段。從廣義上講，數(shù)學(xué)中的各種基本概念如實數(shù)、向量、集合等可叫做數(shù)學(xué)模型，因為它們是以各自相應(yīng)的實體為背景加以抽象出來的最基本的數(shù)學(xué)概念，這種可稱為原始模型。如例1：自然數(shù)1、2、3、4…n是用來描述離散型數(shù)量的模型；例2：每一個代數(shù)方程或數(shù)學(xué)公式也是一個數(shù)學(xué)模型，如ax +bx+c=0。但狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫數(shù)學(xué)模型。一般的，在應(yīng)用數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)模型都作狹義講，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的目的就是為了解決實際問題。

二、數(shù)學(xué)模型的類別

1.按照建立模型的數(shù)學(xué)方法進行分類，如初等數(shù)學(xué)模型、幾何模型、規(guī)劃模型等。

2.按模型的表現(xiàn)特性，可分為確定性模型與隨機模型、靜態(tài)模型與動態(tài)模型、線性模型與非線性模型、離散模型與連續(xù)模型。

3.按照建模目的分，有描述型模型、分析模型、預(yù)報模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。

三、數(shù)學(xué)模型的缺點

1.模型的非預(yù)制性。實際問題各種各樣，變化萬千，這使得建模本身常常是事先沒有答案的問題，在建立新的模型的過程中，甚至?xí)殡S著新的數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生。

2.模型的局限性。首先模型是現(xiàn)實對象簡化、理想化的產(chǎn)物，所以一旦將模型的結(jié)論用于實際問題，那些被忽視的因素必須考慮，因此結(jié)論的通用性和精確性只是相對的。另外，由于人們認識能力和數(shù)學(xué)本身發(fā)展水平的限制，有不少實際問題很難得到有實用價值的數(shù)學(xué)模型。

四、建模的步驟

建模過程有哪些步驟與實際問題的性質(zhì)、建模的目的等有關(guān)，下面我們先看兩個例子：

例一：家用電器一件，現(xiàn)價2000元，實行分期付款，每期付款數(shù)相同，每期為一個月，購買后一個月付款一次，再過一個月又付款一次，共12次，即購買一年后付清，若按月利率8‰，每月復(fù)利計算一次，那么每期應(yīng)付款多少？

這是一道關(guān)于分期付款的實際應(yīng)用題，我們要求解就必須構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。通過分析，問題體現(xiàn)出的等量關(guān)系為分期付款，各期所付的款及各期所付的款到最后一次付款時所生的利息合計，應(yīng)等于所購物品的現(xiàn)價及這個現(xiàn)價到最后一次付款時所生的利息之和。因此，設(shè)每期應(yīng)付款為x元，那么，到最后一次付款時，

第一期付款及所生利息之和為x×1.008 ，

第二期付款及所生利息之和為x×1.008 ，

第三期付款及所生利息之和為x×1.008 ，

……

……

第十一期付款及所生利息之和為x×1.008，

第十二期付款及所生利息之和為x，

而所購電器的現(xiàn)價及其利息之和為2000×1.008 ，

由此x×（1+1.008+1.008 +…1.008 ）=2000×1.008 ，

由等比數(shù)例求和公式得：

∴x≈175.46（元）

也就是每期應(yīng)付款175.46元。

例二：關(guān)于物體冷卻過程一個問題：設(shè)某物體置于氣溫為24℃的空氣中，在時刻t=0時，物體溫度為u =150℃，經(jīng)過10分鐘后物體溫度變?yōu)閡 =100℃，試確定該物體溫度u與時間t之間的關(guān)系并計算t=20分鐘時物體的溫度。

為了解決此問題就要構(gòu)造一個數(shù)學(xué)模型，首先由于該問題涉及必然性現(xiàn)象，故要選取一個確定性數(shù)學(xué)模型。又為了反映物體冷卻過程這樣一個物理現(xiàn)象，還必須應(yīng)用牛頓冷卻定律：在一定溫度范圍內(nèi)，一個物體的溫度變化率恒與該物體和所在介質(zhì)之溫差成正比。在該問題里，物體溫度u應(yīng)是時間變量的連續(xù)函數(shù)，記為u=u（t）。對初始溫度u 而言，溫差為u -u （u 為空氣介質(zhì)溫度）。我們又知道，應(yīng)變量（函數(shù)）的變化率可用導(dǎo)數(shù)概念來表述，于是物體冷卻過程（現(xiàn)實原型）的數(shù)學(xué)模型就是如下形式的微分方程：

=-k（u-u ），k為比例常數(shù)，在具體問題里可確定下來。

具體問題要求出函數(shù)關(guān)系u=u（t）的顯式表示。易得

log （u-u ）=-kt+c

∴u-u =A#8226;e ，其中A為常數(shù)，代入t=0時，u=u ，則u -u =Ae°=A，

∴u=（u -u ）e +u 這就是方程解。

有了一般模型，只要把實際問題里的具體數(shù)據(jù)一一代入即可。

100=（150-24）e +24

∴k=0.051

因此對具體問題有特殊模型為u=24+126e ，將t=20代入則得u（20）=24+40=64答案即為64℃。

所以我們建立數(shù)學(xué)模型的步驟可以歸納如下：

模型準備：首先要了解問題的實際情境，情況明白才能方法正確?？傊龊媒５臏蕚涔ぷ?。

提出問題：通過恰當假設(shè)，將問題進行簡化。

模型構(gòu)成：根據(jù)分析對象的內(nèi)在規(guī)律和適當工具，構(gòu)造各個量（常量和變量）之間的等式（或不等式）關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建模時應(yīng)遵循的一個原則是，盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，這樣才有利于更多的人了解和使用。

模型求解：可以采用解方程、邏輯運算、數(shù)值計算等各種傳統(tǒng)方法，也可使用近代的數(shù)學(xué)方法如計算機技術(shù)等。

模型檢驗：把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實際問題，并用實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。若合乎則得出結(jié)果：若不合乎實際則應(yīng)重新建模，直到檢驗結(jié)果合乎實際為止。

四、有關(guān)數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的建議

在分析了數(shù)學(xué)建模的物點、過程之后，我們知道用數(shù)學(xué)模型解決實際問題首先是用數(shù)學(xué)語言表述問題，即構(gòu)造模型，這就需要有廣博的知識、足夠的經(jīng)驗、豐富的想象力和敏銳的洞察力。

1.教師應(yīng)努力成為數(shù)學(xué)建模的先驅(qū)者，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實際情況提出一些問題供學(xué)生選擇，如關(guān)于哥尼斯堡七橋問題；或者提供一些實際情境，引導(dǎo)學(xué)生提出問題，如銀行的分期付款問題、公平的席位分配、傳染病的隨機感染、線性規(guī)劃等問題。特別要鼓勵學(xué)生從自己生活的世界中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題。

2.數(shù)學(xué)建?？刹扇≌n題組的學(xué)習(xí)模式，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會獨自思考，分工合作，交流討論，互相幫助。

3.數(shù)學(xué)建?；顒又袘?yīng)鼓勵學(xué)生使用計算機、計算器。

4.教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)學(xué)建模報告，并及時給出評價，評價內(nèi)容應(yīng)堅持創(chuàng)新性、現(xiàn)實性、真實性、合理性、有效性，這幾個方面不必追求全面，只要有一項做得好就應(yīng)該予以肯定。

總之，數(shù)學(xué)建?？梢钥闯梢婚T藝術(shù)，藝術(shù)在某種意義下是無法歸納出幾條準則或方法的，一名出色的藝術(shù)家需要大量的觀摩和前輩的指導(dǎo)，更需要自身實踐，愿我們的教師增強建模意識，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的興趣，為使其今后具備較高的建模能力而努力。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>