“畫平行線”教學實踐與反思

教材:義務教育課程標準實驗教科書數學四年級上冊。

小學階段空間與圖形的教學，有許多畫圖測量的內容，這些內容的習得往往靠以操作技能占主導地位的學習活動來完成。教育心理學研究表明，技能包括外部的動作技能和內部的心智技能兩方面。技能技巧的形成與完善，始終是動作技能與心智技能相互聯(lián)系、相互依存的結果。動作技能的形成，始終受心智技能的支配和調節(jié)，而心智技能的形成又依賴于動作技能的訓練來促進。因此，讓學生學會畫出“標準的圖形”形成畫圖的技能固然重要，但是，通過問題驅動的操作，明白畫圖的依據或原理，使學生在操作過程中不僅獲得動作技能和心智技能的和諧發(fā)展，同時也使學生的數學思維得到發(fā)展。

“畫平行線”是學生在學習了“平行與垂直”、“畫垂線的方法”和“平移”的基礎上進行教學的。教材直接呈現了直尺與三角尺畫平行線的方法，然后提示可以用三角尺來檢驗兩條直線是否為平行線，在此基礎上量出平行線之間的距離，通過量，使學生感知平行線之間的距離處處相等。之后再根據長方形的特征和畫平行線的方法畫長方形。從教材的編排看，平行線的畫法是接受性的操作技能學習活動，而長方形的畫法則是在推理基礎上的應用技能的學習活動。因此，老師們往往把“畫平行線”定位為一節(jié)技能操作和訓練課，按照操作課的模式進行操作方法學習和訓練。老師配以規(guī)范的演示，學生依樣畫葫蘆，或者由優(yōu)秀生代替教師演示，其他學生模仿。這樣即便是學生會畫圖了，也是一種純動作技能的操練，而不是真正意義上的數學學習，學生的理性思維能力是得不到應有發(fā)展的。其實，讓學生有根有據地畫平行線，學生憑借已有的知識和經驗是完全可以做到的，只是我們過去的教學一直不敢逾越既定的要求和目標，生怕教學有故意拔高要求的嫌疑。倘若學生跳一跳能摘到果子，“拔高”又何妨呢?

一、探究平行線的特征

1.提出問題，理解題意。

師:我們已認識了平行線，能說一說什么叫平行線嗎?

生:在同一平面內兩條不相交的直線叫平行線。

師:同學們是否思考過這樣的問題，互相平行的兩條直線為什么永遠不相交，這里蘊藏著什么奧秘呢?今天我們就來研究平行線的性質和畫平行線的方法。請看例題。(呈現例題，指名讀題。)

題目:在下面這兩條平行線中過l1上的點作l2的垂直線段

量一量這些線段的長度，你發(fā)現了什么?

師:題目有幾個要求?先做什么，再做什么?請簡練地說一說。

生:先畫垂直線段，然后量這些線段的長度，最后再比比這些線段的長度，看看能發(fā)現什么規(guī)律。

師:明確題意是解決問題的關鍵，我們可以用“畫——量——比——發(fā)現”幾個詞來概括題目要求。

〔思考〕畫圖操作的課，要讓學生概括操作的要領，用簡練的語言來表達，這樣可以使思路清晰，提高課堂學習效率，提高學生的語言表達能力。所以在課伊始，教師結合理解題意給以示范，給學生留下深刻的印象，為學生概括畫平行線的方法打下基礎。

2.動手測量，發(fā)現規(guī)律。

(學生按“畫——量——比——發(fā)現”四個步驟活動。)

師:通過剛才的畫圖和測量，你發(fā)現了什么?

生:我發(fā)現這些線段的長度都是2厘米。

生:我發(fā)現這些線段的長度都相等。

師:怎樣的線段長度相等，能說準確些嗎?

生:平行線間的垂直線段的長度都相等。

師:(出示畫出數條垂直線段的圖形)像這樣的垂直線段可以畫幾條?

生:無數條。

師:為什么可以畫無數條呢?

生:因為直線是無限延伸的，老師只是畫了中間的一小部分，兩邊還可以畫很多條。

生:直線是由無數個點組成的。

師:你的想象力真豐富，每過一個點都可以向對邊畫一條垂線，這樣就有無數條了。這些線段的長度就是平行線間的……

生(齊):距離。

師:所以我們又說平行線間的距離處處相等。也就是說平行線間的寬度始終是一樣的，這樣的話，他們還有機會相交嗎?

生(齊):沒有。

師:根據這樣的規(guī)律，我們可以檢驗所畫的兩條直線——

生:是否平行。

〔思考〕教學改變了教材呈現的學習順序，先用不完全歸納法探究平行線的性質，發(fā)現平行線間的距離處處相等，讓學生展開想象的翅膀，理解平行線之所以不會相交是因為平行線間的距離處處相等，即平行線間的寬度始終是一樣的(固定的)，沒有機會相交在一起。這一知識點是學生判斷兩直線是否平行和畫平行線的依據，為學生畫平行線做好鋪墊。

二、探究畫平行線的方法

1.觀察判斷，提出問題。

師:老師畫了兩條直線，請大家?guī)臀遗袛嘁幌率欠袷瞧叫芯€?(出示形似平行實不平行的一組直線。)

生:是平行線。

生:不是平行線。

師:憑眼睛很難看出來。老師再提示一下(出示直線間兩條垂直線段的長度，左邊一條為20厘米，右邊一條為21厘米)，現在大家可以作出怎樣的判斷?為什么?

生:不是平行線，越向左邊距離會越來越小，最終會相交。

師:老師想畫平行線，卻畫不準。你們能畫出一組標準的平行線嗎?

〔思考〕這里不僅鞏固了平行線的性質，而且通過老師畫出看似平行實際不平行的兩直線，巧妙而簡潔地引出探究問題。

2.嘗試探究，個別指導。

〔片段〕畫平行線

出示一條直線，要求學生自主嘗試畫出這條直線的平行線。(學生充分嘗試，教師對個別學困生輔導后組織交流。)

師:能說說你是怎么畫的嗎?

生1:我是用三角板畫的。

生2:我是沿著直尺的邊畫的。(上臺演示。)

師:借助學具中的平行現象畫平行線，就是直接沿邊畫線，我們給它一個名稱就叫做“沿邊畫法”。還有不同方法嗎?

生:我是用一根直尺和一塊三角板畫出的。(學生上臺演示具體畫法。)

師:能說說直尺在這里起了什么作用嗎?

生:因為三角尺靠著尺子移動就不會斜。

師:原來直尺是起固定作用的。為什么不能斜?

生:斜了畫出的線就不平行了。

師:為什么斜畫的線就不平行了?

生:因為三角板移動時，兩條線之間的距離就改變了，畫出來的線與原來的線就不平行了。

生:因為平行線間的距離處處相等，如果三角板斜著移動，兩條線間的距離就不全相等，兩條直線就不平行了。

師:的確，像這樣靠直尺來固定，不改變距離地移動，就是我們過去學過的平移現象。我們也給這種畫法取個名字，叫做——

生(齊):平移畫法。(媒體演示平移法的步驟，并引導學生用“邊線重合，靠尺平移，沿邊畫線”12字概括步驟。)

〔思考〕學生的畫法無論是哪種情況都應讓學生知其然且知其所以然。通過對固定直尺滑動三角板畫平行線方法的追問，使學生理解了直尺、三角尺的畫法實際上是過去學過的平移現象的應用。因為要命名畫出的直線與原來的直線平行，必須使兩線之間的寬度固定，而把線平移可以實現這種“固定”，要能順利地平移，必須靠直尺固定。學生理解了這樣畫的根據之后，就能自覺地采用這種方法，所以用直尺固定不是靠教師強調，而是靠學生將其內化成一種自覺的行為。

師:還有不同畫法嗎?

生:我是用一塊三角板畫出來的。(學生上臺演示具體畫法，畫出兩條與已知直線垂直的等長線段，再過兩條線段的端點畫一條直線。)

師:這樣畫行嗎?怎樣驗證?

生:用三角尺平移驗證?

生:可以再畫幾條兩直線間的垂直線段，量出長度看是否相等。(指名上臺驗證。)

師:通過驗證，我們發(fā)現這種方法也可以。為什么平行線間可以畫出無數條相等的垂線，而他只畫兩條就能畫出平行線了?

生:因為兩點可以連成一條直線。

生:因為過兩點可以畫一條直線。

師:發(fā)現一種方法，還要用學過的知識來驗證。事實證明，同學們的方法是經得起檢驗的，是正確的方法。

生:我也是用一塊三角板畫出來的。(學生上臺演示具體畫法:先畫一條已知直線的垂線a，再過a上一點畫a的垂線b，這樣就畫出了一組平行線。)

師:你是怎么想到這種方法的?

生:因為兩條直線都和第三條直線垂直，這兩條直線就會平行，昨天我們用小棒擺過了。

師:動手擺過，記憶就深刻，能活用知識，很好。誰來驗證一下?(指名驗證。)

師:這兩種畫平行線的方法我們都是通過畫垂線得到的，我們也給這種方法取個名字吧。

生(齊):垂線畫法。

師:在這三種畫法中，你認為哪種更好些，說說理由。

生:我覺得第一種畫法好。因為很簡便，但是只能畫出固定寬度的平行線。

師:不限制寬度就可以用這種方法。

生:我覺得平移畫法好，這樣可以畫出任意寬度的平行線。

生:如果要過一個點畫已知直線的平行線，用平移畫法比較方便。

生:我認為用垂直畫法會更準確些，雖然步驟比較多，但是不靠直尺固定。當直線斜著放時……

師:說得有道理，當已知直線不是在水平方向時，平移畫法不好操作，不知道直尺怎么放，是吧?誰幫他解決這個問題?(老師現場畫了一條斜線，要求過一點畫它的平行線。并有意讓直尺邊線與已知直線斜交。)

生:直尺這樣放不行，應該與已知直線垂直放。

師:為什么直尺要與已知直線垂直放呢?

生:這樣才能固定地平移。

師:的確，在這種情況下我們用哪種畫法更方便些?

生(齊):垂直畫法。

師:看來，用哪種方法好，應該根據題目的具體條件。當要求畫任意一組平行線時，可以用沿邊畫法;當要求過直線外一點畫已知直線的平行線時，用平移畫法方便些;而已知直線不是水平方向時，用垂直畫法更方便。

〔思考〕教師不滿足于學生會用一種方法畫平行線，而是為學生提供探究空間，使學生把學過的垂線相關知識和平行線的性質綜合應用在畫平行線的活動中，通過同伴間互相啟發(fā)，想到了多種方法。面對學生不同的畫法，教師引導學生進行驗證，培養(yǎng)學生良好的思維習慣。讓學生給自己的方法“命名”，既便于交流記憶，又提高了學生的表達能力，體驗到數學的簡潔美。更值得一提的是，面對多種畫法，教師引導學生進行比較鑒別，使學生明白每種方法應用的條件，把思考引向深入。通過對上述片段的分析，我認為畫圖操作課要在強化訓練的基礎上關注以下幾點:

1.為理解而畫，不是單純?yōu)槭炀毝?。奧蘇泊爾的有意義學習理論告訴我們，影響學習的唯一重要因素就是學習者已經知道了什么，即任何后續(xù)知識的學習都是以原有的認知結構為依托的。因此，要讓學生主動地獲取新知，必須了解學生原有的知識基礎。對于平行線的理解，學生只知道“在同一平面內不相交的兩條直線是平行線”，而對不相交的實質是“兩條直線間的距離是相等的”，學生并沒有直觀感受，更談不上理解。正是基于這樣的認識，我把平行線的性質，即平行線間的距離處處相等的教學前置，學生通過理解“平行線間的垂直線段”、“平行線間的距離”，動手畫平行線間的垂線，量及比較垂直線段的長度，想象垂直線段有無數條等有序的學習活動，理解平行線之所以不相交，是因為它們之間的寬度始終不變，一旦寬度變化，就會使兩條直線相交的道理。這樣把握住學生的認知起點、重構認識的邏輯順序，為學生探究和理解畫平行線的方法提供了依據，這樣教學平行線的畫法就不再是模仿的操作訓練了。學生有了對平行線不相交的理解，探究各種各樣的畫法就有了思路的依據，也才產生了沿邊畫法、平移畫法、垂線畫法等既有創(chuàng)意又有根據的方法，理解知識之間的內在聯(lián)系，在體會畫的每一個細節(jié)中不斷深化對平行線的認識。

2.是構建方法，不是單獨訓練技能?！稊祵W課程標準(實驗稿)》強調從學生已有的知識和生活經驗出發(fā)，讓學生親身經歷數學模型的建構過程，使其在思維能力、情感態(tài)度和價值觀等方面得到發(fā)展。上面案例中學生對“垂線畫法”的建構過程，是在學生已有的“擺兩根小棒都和第三根小棒垂直，發(fā)現這兩根小棒就會互相平行”這一操作經驗的基礎上，自己想到并嘗試畫出一組直線。教師又引導學生從原有的知識結構中檢索出驗證兩直線是否平行的方法。經過學生的驗證，發(fā)現了方法的可行性。在這樣一個有效探究的過程中，學生雖然沒有進行畫平行線的反復操練，但對畫法的來龍去脈是理解的，認識是清晰的，并且是自己主動獲取的，不僅完成了畫平行線的任務，而且將方法演繹到畫長方形、正方形和平行四邊形中，這樣的教學起到了事半功倍的效果。

3.理性地選擇，不是憑喜好挑選。數學教學應該摒棄花哨的無效的形式而追求數學的本質。用數學探究過程的挑戰(zhàn)性，數學知識結構的邏輯美，數學思想的靈性等來打動學生、吸引學生。過去，面對方法的多樣化，老師通常會問:“這些方法當中你最喜歡哪種方法?”學生要么固執(zhí)地堅持自己初始的方法，要么盲從于大多數人喜歡的方法，要么喜歡老師暗示的“簡便方法”。往往不會從方法的應用條件和現實情境理性地選擇合適的方法。但在本課教學中，老師引導學生充分理解各種方法后，提供實際的問題情境，讓學生選擇合適的方法，學生有理有據的選擇代替了盲目地追求簡便，克服了盲從的心理，培養(yǎng)了學生獨立地理性思考的個性。

作者單位

廈門外國語學校附屬小學

◇責任編輯:李瑞龍◇