激趣.猜想.驗證.溝通.建模

在小學數(shù)學課堂教學中，如何根據知識的形成和發(fā)展規(guī)律，聯(lián)系學生的認知水平，有效突破傳統(tǒng)教學模式，創(chuàng)建以學生為主體的教學模式，使教學過程充滿情趣，教師教得輕松，學生學得愉快，是當前課堂教學改革的主旋律。下面以人教版數(shù)學六年級上冊“數(shù)學廣角”中“雞兔同籠”為例談談自己的認識。

一、情境激趣

興趣是學生學習的催化劑，是推動學生學習的內驅力。在數(shù)學教學中，要創(chuàng)設和諧、愉悅的課堂氣氛，遵循學生學習數(shù)學的規(guī)律，通過數(shù)學的藝術性、形象性、直觀性、趣味性來調動學生學習數(shù)學的積極性，培養(yǎng)學生的學習興趣?！半u兔同籠”是我國著名的算術著作《孫子算經》中的內容，此題具有典型性，因此，課開始，我從古題引入。

師:中華文化源遠流長，《孫子算經》是我國古代一部非常重要的數(shù)學名著，里面記載了很多有趣的數(shù)學名題，其中有這樣一個問題(電腦顯示):“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉兔各幾何?”

師:在這道題中，你有不明白的詞語嗎?

生:“雉”是什么意思?(電腦顯示:“雉”讀“zhì”，就是野雞。)

師:誰來說一說，這道題給出了哪些條件?提出了什么問題?

生:有一些野雞和兔關在一個籠子里，從上面看，共有35個頭，從下面看，共有94只腳。問有多少只雞，多少只兔?

師:古人對這樣的題目有著獨到的見解，我們把類似于這樣的問題統(tǒng)稱為“雞兔同籠問題”。今天，我們就來研究“雞兔同籠問題”。

〔反思〕教學是對文化的傳承與弘揚，數(shù)學教學也不例外。用古代數(shù)學名題導入，不僅讓學生感受到數(shù)學文化的悠久與魅力，而且激發(fā)了學生探究的興趣和動機。

二、積極猜想

猜想是依據已有的材料或知識經驗，對研究的數(shù)學對象(或數(shù)學問題)做出符合一定規(guī)律的推測性想象。猜想是一種直覺性的比較高級的思維方式，對于探索性和發(fā)現(xiàn)性學習來說，猜想是一種重要的思維方法。波利亞說:“在數(shù)學的領域中，猜想是合理的、值得尊重的、是負責任的態(tài)度?！彼€認為，在有些情況下，教猜想比教證明更為重要。所以出示例1后，啟發(fā)學生積極猜想。

師:為了便于研究，我們從簡單問題入手，把題中的“35個頭”和“94只腳”分別換成“8個頭”和“26只腳”。

例1:籠子里有若干只雞兔，從上面數(shù)，有8個頭，從下面數(shù)，有26只腳，雞和兔各有幾只?

師:請同學們猜一猜，雞兔可能各有幾只?

學生猜測、匯報。

師:可能只有一種動物嗎?為什么?

生:不可能。如果都是雞就只有16只腳，而題中的是26只腳;也不可能全是兔，因為如果都是兔就有32只腳。

〔反思〕由于學生已經具備了一定的生活經驗和知識儲備，他們會猜測出各種答案(但絕不會猜測全部是雞或全部是兔子)，這樣的猜測不僅為解決問題指明了方向，還增強了學生的數(shù)感，發(fā)展了推理能力。

三、科學驗證

實驗驗證是科學研究的重要方法。實驗中，學生會想方設法尋找一種證明“自己是對的”操作方法。

師:你們的猜想對不對呢?你能想一個辦法來推出你的猜測是正確的嗎?請同學們小組內討論交流。(學生討論交流，教師巡視指導。)

師:誰愿意展示自己的方法?

(綜合學生的解法，有以下四種方法。)

(1)列表法。

師:你們是怎樣想的?

生:從有1只雞開始，一個一個地試，把試的結果列成表格。從表中看出3只雞5只兔符合題目要求。

師:除了列表法外，還有其他方法嗎?

(2)畫圖法。先畫8個圓圈代表8個動物的頭，再為每個動物畫2只腳。這樣，還少了10只腳，因為每只兔子少了2只腳，所以是5只兔子，3只雞。

師:畫圖的方法便于觀察，也容易理解。

(3)假設法。

師:兔有4只腳，雞只有2只腳，這豈不是不公平嗎?

生:雞還有2只翅膀呢!

師:如果翅膀也算“腳”，總共該有多少只腳呢?

生1:8×4=32(只)腳，若翅膀不算“腳”，只有26只腳，可多出32-26=6(只)翅膀，這樣，雞就有6÷2=3(只)。

生2:假如我給這群小動物發(fā)口令:“雞不動，兔子起立!這樣，它們都只有2只腳在地面上了，就得到16只腳(8×2=16)，那就少了10只腳，就可以知道兔子是10÷2=5(只)。

師:你怎么會想到這樣方法?能告訴大家嗎?

生:我讓兔子起立，實際上是把兔子的腳分為兩部分，一部分和雞一樣多，另一部分是比雞多出的。

(4)代數(shù)法。

師:除了以上方法外，還有其他方法嗎?

生:還可以用方程解答。

師:請同學們試一試用方程解答。

生:設有x只兔子，雞就有(8-x)。列方程:4x+2(8-x)=26 解:x=5，即兔子有5只，雞有8-5=3(只)。

〔反思〕教師組織學生多層面、多角度地探索問題。學生先用“列表法”和“畫圖法”驗證。在驗證過程中，不斷發(fā)現(xiàn)新的問題，提出解決策略“假設法”與“代數(shù)法”，并在解決新問題的過程中不斷完善自己的猜想，發(fā)揮創(chuàng)造才能，最終發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

四、溝通聯(lián)系

從傳統(tǒng)的解“應用題”到新課程提出的“解決問題”，發(fā)生了根本性的變化。解決問題更加關注的是當學生在生活中遇到實際問題時，如何運用數(shù)學思想探求解決問題策略。解決問題的策略是多樣的，當學生用幾種方法解決了“雞兔同籠”問題后，引導學生反思，溝通策略之間的聯(lián)系并優(yōu)化解法是必要的。

師:請同學們回憶一下，剛才解決雞兔同籠問題時，用了哪些方法?

生:列表法、畫圖法、假設法和代數(shù)法。

師:要你們解決《孫子算經》中的原題，你會選擇哪種方法?為什么?

生:我選擇假設法。

生:我選擇代數(shù)法。因為當頭和腳的只數(shù)較多時，用列表法和畫圖法比較麻煩，而且有一定的局限性，是不容易找到答案的。

師:這些方法之間有聯(lián)系嗎?

生:有聯(lián)系。通過列表法，我們知道了可以假設雞分別有1、2、3只……兔子就對應著7、6、5只……這是假設法的基礎。

生:畫圖法也是假設法的基礎。

生:從列表中，我們還可以看出，如果雞有1、2、3只……兔子就有8-1=7只、8-2=6(只)、8-3=5(只)……也就是說，如果雞有x只的話，兔子就有(8-x)只。

師:用你喜歡的方法解答《孫子算經》中的原題。(學生自行回答。)

〔反思〕列表、畫圖、假設與代數(shù)法都是解決問題的策略，列表法和畫圖法直觀形象，簡便易行，但有其局限性。教學時要讓學生理解這些策略的特點，恰當?shù)剡x擇運用，在分析問題和解決問題中體驗解決問題策略的多樣

性。

五、建構模型

數(shù)學模型是人們以數(shù)學方式認識具體事物、描述客觀現(xiàn)象的最基本的形式。人們以數(shù)學方式通過分析、比較、判斷、推理等思維活動，探究具體事物的本質及聯(lián)系，最終以符號、模型等將其規(guī)律揭示出來，使復雜的問題本質化、簡潔化、一般化，使某類問題的解決有了共同的程序與方法?？梢哉f，數(shù)學模型反映了數(shù)學思維的過程。建立數(shù)學模型是數(shù)學教學本質特征的反映，也是數(shù)學學習和課程改革的重要任務。因此，當學生理解了“雞兔同籠”問題后，讓學生對生活中的一些例子開展練習活動并進行數(shù)學模型的建構，是教學的一個重要環(huán)節(jié)。

1.出示兒歌:“一隊獵人一隊狗，兩隊并著一隊走，數(shù)頭一共49，數(shù)腳一共176，有幾個獵人幾只狗?”

師:讀這首兒歌，你知道了什么?能用解答雞兔同籠問題的方法求解嗎?

2.育紅小學“環(huán)保衛(wèi)士”小分隊12人參加植樹活動，男同學每人栽3棵樹，女同學每人栽2棵樹，一共栽了32棵樹。男女同學各有幾人?

〔反思〕學生學習數(shù)學知識的過程，實際上是對一系列數(shù)學模型的理解、把握的過程。學生在探索數(shù)學模型的過程中，同時獲得了構建數(shù)學模型、解決實際問題的思想、程序與方法，二者對學生的發(fā)展來說，其意義遠遠大于僅僅獲得某些數(shù)學知識。重視滲透模型化思想，正是順應了這種改革的趨向和要求。讓學生聯(lián)系生活實際練習，一方面鞏固新知，另一方面從題型的結構中理解“雞兔同籠”問題的特征，促進了數(shù)學思想及方法的內化。

作者單位

江蘇省溧陽市教師進修學校培訓處

◇責任編輯:李瑞龍◇