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    善用幾何直觀,彰顯問(wèn)題本質(zhì)

    2018-12-14 09:31:44繆小明
    科教導(dǎo)刊·電子版 2018年30期
    關(guān)鍵詞:沙坑容積瓶子

    繆小明

    摘 要 幾何直觀是指憑借圖表、線段圖等,將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形有機(jī)結(jié)合,是抽象思維與形象思維的有機(jī)結(jié)合,充分展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì),以期突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn)。其實(shí),幾何直觀是數(shù)形結(jié)合思想的最好體現(xiàn),通過(guò)圖形的直觀性質(zhì),來(lái)闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系,將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化,實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的互相轉(zhuǎn)化,互相滲透,為研究和探索數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟了一條重要的途徑。幾何直觀是解決問(wèn)題的有效方法,是探究知識(shí)本源的重要過(guò)程。

    關(guān)鍵詞 幾何直觀 問(wèn)題本質(zhì)

    中圖分類號(hào):G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

    如:《比賽場(chǎng)次》(六上)一課中的例題:有五位同學(xué)進(jìn)行乒乓球單打比賽,每?jī)扇酥g都且只進(jìn)行一場(chǎng)比賽,一共要舉行幾場(chǎng)比賽?

    (1)我們可以列表來(lái)分析:

    (2)我們可以用示意圖來(lái)分析:

    (3)我們可以用線段圖來(lái)分析:

    以上三種幾何直觀都不重復(fù)計(jì)算場(chǎng)數(shù):A與其他四人,各打一場(chǎng)計(jì)4場(chǎng);B與除A以外的其他三人,各打一場(chǎng)計(jì)3場(chǎng);C與除A、B以外的其他兩人各打一場(chǎng)計(jì)2場(chǎng);D與最后一人E,打一場(chǎng);一共打:4+3+2+1=10(場(chǎng))。

    那么,如果重復(fù)計(jì)算,結(jié)果又會(huì)怎樣呢?我們借用下圖來(lái)幫助分析:

    從圖上我們可以看出來(lái),每位同學(xué)實(shí)際上場(chǎng)4次,只是由于每場(chǎng)比賽是兩個(gè)人同時(shí)上場(chǎng),所以需要的場(chǎng)數(shù)是:5??=10(場(chǎng))。這種幾何直觀理解題意的本質(zhì)與前面三種完全不同,解決問(wèn)題的方法也與前面的不同。

    又如,《雞兔同籠》一課中的例題:籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)有8個(gè)頭,從下面數(shù)有26只腳,雞和兔各幾只?

    (1)可以列表來(lái)解決:

    先考慮雞兔一樣多的情況,共有24只腳,與實(shí)際的26只腳比,少了2只,所以兔子的數(shù)量應(yīng)更多一點(diǎn),進(jìn)而得出答案:籠子中有雞3只,兔子5只。

    (2)可以用假設(shè)法來(lái)解決:(我們只講一種情況)。

    假設(shè)籠子里全是雞(這里我認(rèn)為假設(shè)無(wú)論是雞還是兔子都只有2只腳更好一點(diǎn)),可以用示意圖幫助理解:

    上圖可以幫助孩子們理解:不管是雞或兔,都先以2只腳算,共8?=16(只),與實(shí)際26只腳比少了10只,少的原因同學(xué)們一下就發(fā)現(xiàn)了。每只兔子有4只腳,卻被假設(shè)成2只腳,少了兩只腳,所以兔的只數(shù)是:10鰨?-2)=5(只),那么雞的只數(shù):8-5=3(只)。

    (3)這里介紹一種新的假設(shè)法(書(shū)本里沒(méi)有):如圖所示:

    假設(shè)雞和兔同時(shí)抬起兩只腳,共抬起16只腳,此時(shí),雞變成了飛翔雞,兔變成了雙腳蹦蹦兔,著地的10只腳全是兔子的,那么兔的只數(shù):(26-8?)?=5(只),雞的只數(shù):8-5=3(只)。

    上面三種幾何直觀,一是運(yùn)用列表法推定;二、三種方法似乎有異曲同工之妙,算式一樣,但理解問(wèn)題的角度不同,對(duì)孩子們來(lái)說(shuō),第三種理解起來(lái)較為簡(jiǎn)單。

    最后:《等積變形》一類課例:(六下)圓柱和圓錐體積的計(jì)算課

    對(duì)于這類教學(xué)內(nèi)容,老師采用的最好辦法,就是把孩子帶進(jìn)實(shí)驗(yàn)室,選擇合適的實(shí)驗(yàn)器材,讓孩子親自動(dòng)手,在實(shí)驗(yàn)中觀察,在觀察中理解,在理解中想出解題的方法。

    如:一個(gè)底面直徑是10厘米的圓柱形容器里,盛了7厘米高的水柱,將一塊不規(guī)則的鐵塊浸沒(méi)在水里,這時(shí)水深9厘米,求這塊鐵塊的體積是多少?

    教師可以準(zhǔn)備實(shí)驗(yàn)材料,讓孩子親身體驗(yàn)這一事實(shí),他們很快就能理解:鐵塊的體積=上升水柱的體積,從而求出結(jié)果。

    又如:給一把直尺,怎樣測(cè)出一個(gè)礦泉水瓶的最大容積(如圖1)?

    在具體的教學(xué)過(guò)程中,學(xué)生們想了各種各樣的方法:

    (1)干脆將瓶子里的水裝滿,然后倒進(jìn)一個(gè)長(zhǎng)方體的容器里,測(cè)出長(zhǎng)方體容器內(nèi)部的長(zhǎng)和寬,以及水的深度,直接求出水的體積,即瓶子的最大容積。

    (2)干脆先把瓶子埋在一個(gè)長(zhǎng)方體沙坑里,再取出瓶子,最后量出沙坑里沙的高度下降了多少,以及沙坑的長(zhǎng)和寬,算出下降部分沙的體積,即瓶子的最大容積。

    我一直鼓勵(lì)孩子們:非常注重用轉(zhuǎn)化的思想來(lái)解決問(wèn)題,可我們題目中沒(méi)有長(zhǎng)方體容器,沒(méi)有沙坑,也沒(méi)有多余的水啊。有同學(xué)舉手說(shuō):圖1中裝水的部分體積是很容易求的,只要測(cè)出底面直徑和水柱的高,用求圓柱體積的方法就行了,只是上面空的部分的體積不好求?不知是誰(shuí)說(shuō)了一句:把瓶子倒過(guò)來(lái)。一石激起千層浪,同學(xué)們恍然大悟:正放時(shí)上面空的部分的體積不就等于倒過(guò)來(lái)后上面空的圓柱的體積嗎?

    解決這道題的關(guān)鍵點(diǎn):無(wú)論正放或倒放,瓶子的容積不變,瓶子里水的體積不變,瓶子里空的部分體積不變,正放時(shí)上部空的不規(guī)則體積可以用倒放時(shí)上部空的圓柱體積代替。同學(xué)們很快就能理解這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì):瓶子的最大容積=正放時(shí)水柱的體積+倒放時(shí)上部空?qǐng)A柱的體積。

    總之,幾何直觀主要是借助于圖表、示意圖、線段圖,實(shí)驗(yàn)操作等方法幫助學(xué)生,直觀地理解數(shù)學(xué),借助于具體形象的幾何圖形或?qū)嵨?,產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知,充分彰顯問(wèn)題的本質(zhì),最終幫助學(xué)生打開(kāi)思維的大門,是啟迪智慧的一把萬(wàn)能鑰匙。

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