初中數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的啟迪策略

培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù).教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維，掌握數(shù)學(xué)方法.要不失時(shí)機(jī)地有意識(shí)、有計(jì)劃啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維，啟發(fā)學(xué)生不斷地發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，提出新見解，揭示新規(guī)律，創(chuàng)造新方法，解決新問(wèn)題.教學(xué)中如何啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維呢?本人結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐，試從以下幾方面略作探究.

一、類比式啟發(fā)

類比是發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題的一種有效的思維方法.當(dāng)兩個(gè)對(duì)象系統(tǒng)中某些對(duì)象間的關(guān)系存在一致性或某些對(duì)象存在類似的關(guān)系，我們便可對(duì)這兩個(gè)對(duì)象系統(tǒng)進(jìn)行比較，從而可以從一個(gè)對(duì)象系統(tǒng)所具有的結(jié)果去猜想或發(fā)現(xiàn)另一個(gè)系統(tǒng)也具有相應(yīng)的結(jié)果.

例如:解方程=.

此方程形如“=”型，可通過(guò)類比，利用合比性質(zhì)將較復(fù)雜的分式方程簡(jiǎn)化形式，起到事半功倍效果，在解法上屬于打破常規(guī)的一種創(chuàng)新解法.由合比性質(zhì)，得=，整理，得x(x+2)(x-2)=0，所以x1=0，x2=-2，x3=2.經(jīng)檢驗(yàn)x1=0，x2=-2，x3=2都是原方程的根.

又如:已知直線a和a的同側(cè)兩點(diǎn)A、B(如圖1)，求作點(diǎn)C，使C在直線a上，并且AC+CB最小.

此題實(shí)際上是在直線a上找一點(diǎn)C，使折線ACB最短，于是教師可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比，若A為光源或目標(biāo)，B為觀察者的眼睛，直線a為反射平面鏡位置，當(dāng)折線ACB代表反射光線的實(shí)路徑時(shí)，其長(zhǎng)最小，即AC+CB最小(如圖2).由光的反射定律可知∠CAN=∠BCN，所以，∠1=∠2=∠3，像A′與A關(guān)于直線a對(duì)稱，通過(guò)這樣的類比，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力.

類比式引發(fā)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的有效途徑.類比的思維方式表現(xiàn)性非常靈活，主要是根據(jù)問(wèn)題的具體情況，及時(shí)改變觀察和理解的角度，揭示問(wèn)題的本質(zhì)聯(lián)系，由此及彼，機(jī)智敏捷地、創(chuàng)造性地去探求問(wèn)題.

二、歸納式啟發(fā)

這是教會(huì)學(xué)生將一個(gè)個(gè)具體的問(wèn)題加以歸納綜合的思維方法.它能使學(xué)生逐步形成將不同事物綜合為一體的能力.例如平面內(nèi)一條直線，最多可將平面分成1 + 1 = 2個(gè)部分，兩條直線最多可將平面分成1 + 1 + 2 = 4個(gè)部分，三條直線最多可將平面分成1 + 1 + 2 + 3 = 7個(gè)部分……之后教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納:你能對(duì)平面內(nèi)n條直線的結(jié)果進(jìn)行猜測(cè)嗎?

學(xué)生經(jīng)過(guò)歸納，猜測(cè)的結(jié)果為:1+1+2+3+…+n=1++(部分).

又如讓學(xué)生觀察1×3+1=22，2×4+1=32，3×5+1=42……學(xué)生感到驚奇，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生歸納出一般規(guī)律:n(n+2)+1=(n+1)2，并進(jìn)而要求學(xué)生用因式分解加以證明，學(xué)生會(huì)沉浸在成功的樂(lè)趣之中.

歸納式啟發(fā)既能培養(yǎng)學(xué)生的觀察綜合能力、邏輯思維能力，還能培養(yǎng)學(xué)生今后綜合技術(shù)的潛在創(chuàng)新能力.

三、聯(lián)想式啟發(fā)

聯(lián)想是從一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題想到另一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的心理活動(dòng).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)聯(lián)想，利用“移植、滲透、替代”等方式，在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)考慮是否可以經(jīng)過(guò)某種代換，或是將條件、結(jié)論改成某種與之等價(jià)的命題后轉(zhuǎn)變成接近或類似的問(wèn)題.

例如:若a、b、c是△ABC的三邊之長(zhǎng)，且滿足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，求證△ABC是正三角形.

此題實(shí)際上是要證明a=b=c.由已知一個(gè)方程中三個(gè)字母，根據(jù)條件，可聯(lián)想到非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，把條件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0的等式，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解.

再如:m為何實(shí)數(shù)時(shí)，x的任何實(shí)數(shù)值都不滿足不等式(m+1)x2- 2(m-1)x-3(m-1)<0.

此題原命題等價(jià)于“m為何實(shí)數(shù)時(shí)，不等式(m+1)x2-2(m-1)x- 3(m-1)≥0恒成立”.當(dāng)m=-1時(shí)顯然不成立;當(dāng)m≠-1時(shí)，聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)y=(m+1)x2-2(m-1)x-3(m-1)，它的圖像是一條拋物線，要使y≥0，只要拋物線開口向上，頂點(diǎn)在x軸上或x軸上方，由m+1>0，△≤0，可以得到當(dāng)-≤m≤1時(shí)，對(duì)x的任何實(shí)數(shù)值都不滿足不等式(m+1)x2-2(m-1)x-3(m-1)<0.

聯(lián)想式啟發(fā)可以將相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)組建認(rèn)知結(jié)構(gòu)，溝通各部分知識(shí)間的聯(lián)系.聯(lián)想也是創(chuàng)造性思維活動(dòng)的起點(diǎn)，目的明確的聯(lián)想是促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展，提高解題能力的有效途徑.教學(xué)中長(zhǎng)期有意識(shí)地加強(qiáng)聯(lián)想的訓(xùn)練，有利于學(xué)生對(duì)已有知識(shí)理解得更深刻，運(yùn)用得更靈活.

四、發(fā)散式啟發(fā)

發(fā)散式啟發(fā)是利用發(fā)散思維來(lái)誘發(fā)出各種各樣的創(chuàng)造性設(shè)想，引導(dǎo)學(xué)生由此及彼，觸類旁通，從多方面探求問(wèn)題.

例如，有這樣一道幾何題:△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CF的延長(zhǎng)線交AB于E，求(1/2).

在此題的基礎(chǔ)上，教師可引導(dǎo)學(xué)生從多方面來(lái)進(jìn)行推廣.

推廣一:AD為△ABC中線，F(xiàn)為AD中點(diǎn)，CF的延長(zhǎng)線交AB于E，求(1/2).

推廣二:△ABC中，F(xiàn)為中線AD上一點(diǎn)，且=n，CF的延長(zhǎng)線交AB于E，求(n/2).

推廣三:△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，且=n，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CF的延長(zhǎng)線交AB于E，求(n/n+1).

推廣四:△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為AD上的一點(diǎn)，且，=n，=m，CF的延長(zhǎng)線交AB于E，求(mn/n+1).

在這些推廣中，既有條件的廣泛性，又有結(jié)果的展拓，打破過(guò)去教學(xué)中封閉型思維的狹窄天地.

再如，教師可用這樣一個(gè)一題多解的題目來(lái)進(jìn)行訓(xùn)練:解方程組x+xy+y=11，x2y+xy2=30.學(xué)生從不同思路入手，得到多種解法.教師最后可引導(dǎo)學(xué)生一起分析各種思路的優(yōu)劣，最后歸納八種方法，即可用加減項(xiàng)法、換元法、相除法、均值代換法、配方法、根與系數(shù)關(guān)系、代入法、反比例換元法來(lái)解.經(jīng)常這樣訓(xùn)練，學(xué)生就不會(huì)滿足于一得之見，而會(huì)增強(qiáng)探索和創(chuàng)造精神.

五、改變式啟發(fā)

改變會(huì)產(chǎn)生創(chuàng)造，將現(xiàn)有的題目進(jìn)行改組、增加、顛倒、重疊等，往往是發(fā)展創(chuàng)造性思維的成功途徑，下面舉例說(shuō)明.

1. 變條件. 原題:已知線段DE兩端點(diǎn)分別在△ABC中的兩邊AB、AC上，且∠1=∠B，求證△ABC∽ADE.

教師可引導(dǎo)學(xué)生從同一結(jié)論出發(fā)，從多方面、多個(gè)角度探求結(jié)論成立所需要的不同條件，即已知結(jié)論或部分條件及結(jié)論，要求學(xué)生從結(jié)論出發(fā)，逆向探求結(jié)論成立需要的多種不同條件，考查了學(xué)生反向求異的思維能力.

結(jié)合圖3，學(xué)生探求得出的條件為:①DE∥BC;②AD∶DB=AE∶EC;③AD∶AB=AE∶AC④AB∶DB=AC∶EC;⑤∠2=∠C;⑥∠2=∠B;⑦∠1=∠C;⑧AE∶AB=AD∶AC.

2. 變結(jié)論. 原題:如圖4，已知⊙O內(nèi)切于四邊形ABCD，AB=AD，連結(jié)AC、BD，求證:AC平分∠BAD.

教師可引導(dǎo)學(xué)生由已知條件，進(jìn)一步探索出以下幾個(gè)結(jié)論:①∠ABD=∠ADB;②AC垂直平分BD;③∠BAC+∠DBA=90°;④△ABC≌△ADC;⑤BC=DC;⑥S四邊形ABCD=AC·BD.

讓學(xué)生自己盡可能多地探索未知結(jié)論，并去求解這些未知結(jié)論.這個(gè)過(guò)程，充分揭示思維的廣度和深度，不同層次的學(xué)生都能得到有益的嘗試.

3. 變內(nèi)容. 原題:已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求證:2b=a+c.變題:如果A、B、C為△ABC的三內(nèi)角且(sinC-sinA)2-4(sinA-sinB)(sinB-sinC)=0，求證:2sinB=sinA+sinC.

說(shuō)明:在△ABC中，由正弦定理可知2sinB=sinA+sinC與2b=a+c是等價(jià)的，不過(guò)問(wèn)題的內(nèi)容不同而已.

改變式啟發(fā)可防止思維模式的僵化，打破過(guò)去處理同類問(wèn)題的思維定勢(shì)，培養(yǎng)學(xué)生具體問(wèn)題具體分析，靈活處理問(wèn)題的創(chuàng)造性思維.

責(zé)任編輯羅峰