數(shù)學教學問題情境的創(chuàng)設(shè)

通過問題進行教學是數(shù)學教學活動最有效的方法.數(shù)學教學過程中，教師創(chuàng)設(shè)問題情境是為了激發(fā)學生積極主動地思考.那么，如何根據(jù)不同的教學內(nèi)容提出問題，創(chuàng)設(shè)問題情境呢?以下是筆者在幾何教學過程創(chuàng)設(shè)問題情境的一些嘗試.

一、提供感性材料，創(chuàng)設(shè)問題情境

這是在概念教學中采用的一種方法.當學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中具備一些理解新概念所必須的具體知識，其數(shù)量貧乏而且抽象程度較低時，他們只能從一定的具體例子出發(fā)，從他們實際經(jīng)驗的概念的肯定例證中，以歸納的方式抽取出一類事物的共同屬性，從而獲得概念，這時教師要為學生提供具有典型意義的、數(shù)量豐富的直觀背景材料.這里強調(diào)背景材料的典型性是指所選事例應(yīng)能夠充分顯示概念的本質(zhì)屬性，這樣才能引導(dǎo)學生通過觀察、辨別、抽象、概括，從中分析出共同屬性，得到新概念.初中平面幾何的入門教學，就經(jīng)常采用這種方法.

例如，“平行線”概念的教學，在學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中，已具備的是直線的有關(guān)概念(直線沒有粗細、兩邊可以無限延伸等)、日常生活所接觸到的有關(guān)事物(如鐵軌、黑板的上下邊沿、在筆直的公路上行駛的汽車的兩道輪印等)，這些是學生學習“平行線”概念的基礎(chǔ).為了使學生從這些具體事例中抽象概括出平行線的本質(zhì)屬性，教師可以這樣來創(chuàng)設(shè)問題情境:首先給出學生熟悉的實際例子，提供平行線的形象:鐵路上兩條筆直的鐵軌、直駛汽車的兩道輪印、黑板的上下邊緣等，并提問學生它們有哪些共同的屬性.為了克服具體實例的局限性，可輔之以下說明:這里，我們把鐵軌、車輪印、黑板邊緣等都看成直線，這樣就把學生的注意引向了觀察兩直線之間的關(guān)系，而不會過多地受具體材料的限制.通過觀察、分析，學生可能會說出下列一些共同屬性:它們都是兩條直線，都可以向兩邊無限延伸，都在同一平面內(nèi)，兩條直線處處都隔得一樣遠，總不相交，等等.得出這些共同屬性時，學生的思維中已經(jīng)進行了初步概括，接著再提出下面的問題，以引起進一步的概括:“如何用幾何語言將這些共同屬性表達出來?”學生經(jīng)過思考，會提出“在同一平面內(nèi)兩條直線不相交”“在同一平面內(nèi)，兩條直線之間的距離處處相等”.當學生的思維經(jīng)歷了以上兩個過程后，已經(jīng)獲得對“平行線”的較全面的認識，但在概念的表達上還不夠簡練、精確，這時，教師可先指出:“有這種關(guān)系的兩條直線叫做平行線.”然后提出:“如何準確簡練地表達出平行線這一概念?”這一問題會引導(dǎo)學生進行一次抽象水平更高的概括，通過比較用幾何語言表述的共同屬性，在直觀上理解了“不相交”與“處處相等”的等價性.最后教師給出平行線的定義:“同一平面內(nèi)的兩條不相交的直線叫做平行線.”這就完成了對“平行線”概念認識的全過程.

二、通過具體實驗，創(chuàng)設(shè)問題情境

當學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)已經(jīng)具備學習某一新數(shù)學知識的有關(guān)知識，但這一新知識與舊知識在邏輯聯(lián)系的必然性上不太容易被學生感覺到時，教師可以通過有目的地為學生提供一些研究素材來創(chuàng)設(shè)情境，讓學生自己進行實驗、思考，通過運算、實踐以及觀察、分析、類比、歸納、作圖等，探索規(guī)律、建立猜想、獲得命題，在此基礎(chǔ)上再進行邏輯上的論證，從而得到定理、法則或公式，等等.

例如，教學“三角形內(nèi)角和定理”這節(jié)課時，就可以采用實驗操作的辦法來創(chuàng)設(shè)問題情境.在學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中，已經(jīng)有了角的有關(guān)概念，也有了三角形的概念，還具有同位角、內(nèi)錯角等有關(guān)平行線的性質(zhì).但對于“三角形的三個內(nèi)角和為一定值180°”這一規(guī)律，學生可能意識不到這一命題與以上的有關(guān)概念之間的存在著邏輯聯(lián)系，在這種情況下，教師可以這樣來創(chuàng)設(shè)問題情境:首先可以提出問題:“請同學們畫一些三角形(包括銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形)，再用量角器量出三個角，計算一下，每一個三角形的三個角有什么聯(lián)系?”學生會較快得出三個角的和在180°左右.這時，教師再進一步引導(dǎo):“由于實驗操作時有誤差，在量每一個角時會有分秒之差，但和數(shù)都在180°左右，那么三角形的三個內(nèi)角和是否為180°呢?請同學們把三個角拼在一起，觀察一下，構(gòu)成了一個怎樣的角?”學生會根據(jù)老師的要求，饒有興趣地進行拼接角的操作，最后發(fā)現(xiàn)，三個內(nèi)角拼在一起構(gòu)成一個平角，結(jié)合量角器測量的結(jié)果，學生自然猜想:“三角形的三個內(nèi)角和為180°.”接著教師再提出:測量，剪拼角都可能出現(xiàn)一定的誤差，而且實驗的次數(shù)有限，要使猜想對一般的三角形都成立，必須進行嚴格的邏輯證明.那么，如何證明猜想呢?教師接下去可引導(dǎo)學生觀察拼接時的圖形，可憑借拼接時得到的感性經(jīng)驗，找到證明的方法:

如圖1，把∠A、∠B剪下來與∠C拼在一起，組成了一個平角，E移到了BC的延長線E′處，D移到了D′，由于∠B=∠D′CE′，有平行線的判定定理可得D′C∥AB，這里，D′C∥AB的邏輯意義在“三角形的內(nèi)角和為180°”成立的前提下得到的，雖然它是尚待證明的，但為證明指明了方向.由此學生可很容易地得到定理的證明:如圖2，延長BC到E，過C在BA方向上作CD∥AB，則∠DCE=∠B，∠DCA=∠A，但∠BCA+∠ACD+∠DCE=180°，故有∠A+∠B+∠C=180°.

顯然，如果沒有實驗操作，對于剛學平面幾何不久的學生，要得到定理的證明(特別是添輔助線)是不容易的.

三、從具體問題的解決過程中，創(chuàng)設(shè)問題情境

學生在解決具體問題時，有時出現(xiàn)下面的情況:一是如果不學習新知識，則問題將無法解決;二是解決了問題后，要他說明解題過程的正確性時，不用新知識便無法說明理由，這樣的情況都可引發(fā)問題情境.例如對于“等腰三角形的判定”這節(jié)課我是這樣做的:

學生在學習“等腰三角形的判定”之前，已經(jīng)具備了等腰三角形的概念、性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，教師根據(jù)“性質(zhì)定理”與“判定定理”的內(nèi)在聯(lián)系，讓學生回憶定理后，提出了一個實際問題(問題根據(jù)需要自己編擬，以生動活潑、激發(fā)認知沖突為目的):“如圖3，△ABC是等腰三角形，AB=AC，若一不小心，它的一部分被墨水涂沒了，只留下一條底邊BC和一個底角∠C，大家想一想，能否把原來的△ABC重新畫出來?”當學生經(jīng)過動手實踐，畫出圖形后，要學生說出畫法:有的是用量角器量出∠C的度數(shù)，再以BC為一邊，B點為頂點作∠B=∠C， ∠B與∠C的邊相交得到頂點A;也有的是取BC邊的中點D，過D作BC邊的垂線，與∠C的一邊相交得到點A，連AB.這些畫法的正確性是需要用“判定定理”來判定的，而這正是要學的知識，于是教師用問題:“這樣畫出來的三角形是等腰三角形嗎?”引出課題，創(chuàng)設(shè)了問題情境，教師再進一步引導(dǎo)學生分析畫法的實質(zhì)，并用幾何語言概括出這個實質(zhì)——有兩個角相等的三角形是不是等腰三角形?再具體化，就是已知△ABC中，∠B=∠C，求證AB=AC.

這樣，就由學生自己從問題出發(fā)獲得了判定定理，接下來的問題自然地就引向了“如何證明”.通過啟發(fā)，學生自己找到了多種證明方法:作頂角的平分線或底邊的高，把△ABC一分為二，證明三角形全等可得到AB=AC，等等.在獲得定理的證明以后，教師再要求學生“用正確的語言敘述這條判定定理”，使學生的思維再經(jīng)歷一次更高層次的概括，在糾正了“有兩個底角相等的三角形是等腰三角形”的不妥之后，獲得了準確的“判定定理”.

責任編輯 羅 峰