數(shù)學(xué)中的類(lèi)比

類(lèi)比是根據(jù)兩個(gè)不同的對(duì)象，在某些方面(特征、屬性、關(guān)系等)的類(lèi)同之處，猜測(cè)這兩個(gè)對(duì)象在其它方面也可能有類(lèi)同之處，并作出某種判斷的推理方法.類(lèi)比可分為兩種:從對(duì)象的某種屬性相同，推出它們的其他屬性相同——稱(chēng)為簡(jiǎn)單類(lèi)比;從現(xiàn)象的相同可以得出原因相同得結(jié)論——稱(chēng)為普遍類(lèi)比.由類(lèi)比得到的結(jié)論，具有或然性，通常把得到的正確結(jié)論的類(lèi)比稱(chēng)為“有益的類(lèi)比”，反之稱(chēng)為“有害的類(lèi)比”.例如長(zhǎng)方形類(lèi)似于長(zhǎng)方體——長(zhǎng)方形各邊之間的關(guān)系類(lèi)似于長(zhǎng)方體各棱長(zhǎng)之間的關(guān)系(“形”的一邊與另一邊平行且相等，同其余兩邊垂直;“體”的一棱與三棱平行且相等，而同其余各棱垂直;“形”的面積公式s=ab與“體”的公式v=abc從形式到推導(dǎo)都相似;“形”的對(duì)角線長(zhǎng)度為，“體”的對(duì)角線長(zhǎng)度為，等等).若把a(bǔ)(b+c)=ab+ac的類(lèi)推到lg(b+c)=lgb+lgc，sin(B+C)=sinB+sinC，就成為“有害的類(lèi)比”.因此，類(lèi)比結(jié)論正確與否，需經(jīng)嚴(yán)格證明.

類(lèi)比法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛.數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無(wú)限之間有不少結(jié)論，都是先用類(lèi)比法猜想，而后加以證明的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛應(yīng)用類(lèi)比法，能激發(fā)起學(xué)生參與研究數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的興趣，有利于在思維中把知識(shí)和技能從已知對(duì)象轉(zhuǎn)到新的未知對(duì)象中去.為此，我在教學(xué)中會(huì)有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生的類(lèi)比推理的能力，下面以初二平面幾何課為例談?wù)?

例1三角形有定理:若兩個(gè)三角形各角對(duì)應(yīng)相等，則它們相似.提問(wèn):四邊形有沒(méi)有類(lèi)似的定理?引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè):若兩個(gè)四邊形各角對(duì)應(yīng)相等，則它們相似.這是一個(gè)似是而非的問(wèn)題，自然要求學(xué)生判斷真假:以它為真，卻找不到證法，以它為假的努力找反例:正方形與鄰邊不等的矩形，它們的各角都等于90°，但對(duì)應(yīng)邊不成比例，因而不相似.

例2試把例1 中類(lèi)比所得假命題的條件加強(qiáng)，使之成為真命題.

由例1得到的命題之所以假是因?yàn)樯倭诉叺年P(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生要增加關(guān)于邊的條件，而且是增加比例式的條件，但要增加幾個(gè)?不妨嘗試先增加一個(gè)比例式.

設(shè)∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1.

先加=試試.因?yàn)椤螦=∠A1，想起三角形相似的判定定理2，引發(fā)連結(jié)B D、B1 D1的靈感，并推出△ABD∽△A1 B1 D1，則∠1=∠3，∠2=∠4.因?yàn)椤螧=∠B1，∠1=∠3，故∠5=∠7，同理∠6=∠8，則△BCD∽△B1 C1 D1，因而===，故四邊形ABCD∽四邊形A1 B1C1 D1，結(jié)果成功了.再試圖加=一類(lèi)的比例式，但沒(méi)有成功，因而可得到真命題:若兩個(gè)四邊形的對(duì)應(yīng)角依次相等，且一組對(duì)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，則兩個(gè)四邊形相似.

例3設(shè)在四邊形ABCD和四邊形A1 B 1C1 D1中，∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1，=，且對(duì)邊不平行.求證這兩個(gè)四邊形相似.

證明:作AE∥CD，A1E1∥C1D1且AE=CD，A1E1=C1D1，連結(jié)BE、CE、B1E1、E1C1.顯然四邊形AECD和四邊形A1E1C1D1都是平行四邊形.

∵∠D=∠D1.

∴∠1=∠2，又∠A=∠A1，則∠3=∠4.

又∵==.

∴△BAE∽△B1A1E1.

則=，∠ABE=∠A1B1E1(1).

因而，∠5=∠ABE-∠ABC

=∠A1B1E1-∠A1B1C1

=∠6.

∵∠7=∠ECD-∠BCD

=∠1-∠BCD

=∠2-∠B1C1D1

=∠E1C1D1-∠B1C1D1

=∠8

則△BAE∽△B1A1E1

因而=(2)

由(1)(2)推出=.

由例2結(jié)果推出四邊形ABCD∽四邊形A1 B1C1 D1.

例4三角形有定理:若兩個(gè)三角形各邊對(duì)應(yīng)成比例，則它們相似.提問(wèn):四邊形有無(wú)類(lèi)似的定理?引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè):若四邊形各對(duì)應(yīng)成比例，則它們相似.

對(duì)于這個(gè)似是而非的問(wèn)題，有了前面例1的經(jīng)驗(yàn)，可找出反例:正方形和無(wú)直角的菱形，它們的邊可以對(duì)應(yīng)成比例，但它們可以不相似.接下來(lái)，自然而然地要考慮:

例5試把例4類(lèi)比所得的假命題的條件加強(qiáng)，使之成為真命題.

有了例2的經(jīng)驗(yàn)，可想到增加關(guān)于加的假設(shè)，并且先考慮增加一組對(duì)應(yīng)角相等.

設(shè)===，另增加∠A=∠A1.

把例2的解法類(lèi)比過(guò)來(lái):連結(jié)BD，B1D1，可證明△ABD∽△A1B1D1，因而∠1=∠3，∠2=∠4，=.

∵===

∴△BCD∽△B1C1D1

因而∠5=∠7，∠6=∠8，∠C=∠C1

則∠1+∠5=∠3+∠7，∠2+∠6=∠4+∠8，故∠B=∠B1， ∠D=∠D1.

則這兩個(gè)四邊形對(duì)應(yīng)成比例且對(duì)應(yīng)角相等，因此四邊形ABCD∽四邊形A1 B1C1 D1.

責(zé)任編輯羅峰