箏形的一個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用

陳春雷

有不少幾何圖形及其結(jié)論實(shí)際上具有一般性，把這些性質(zhì)進(jìn)行拓展、推廣、應(yīng)用不僅可以激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索的欲望，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，而且還可以提高學(xué)生類比聯(lián)想的分析處理問題的能力。

讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何從數(shù)學(xué)角度運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)和方法去解決問題,在解決問題過程中運(yùn)用多種思想方法,多角度,多方位地思考問題,并進(jìn)行知識(shí)的再創(chuàng)造，從而完善和改進(jìn)了認(rèn)知結(jié)構(gòu),本文從一個(gè)簡單圖形的性質(zhì)的探究品嘗了這種解決問題的樂趣.

一.箏形的一個(gè)重要性質(zhì)

命題:如圖1,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，

求證：∠BPC=∠A+∠B+∠C.

二.命題的多種證法

證明:方法1.連結(jié)AP,并延長到E.如圖2,

∵∠BPE=∠BAE+∠B，

∠CDE=∠CAE+∠C，

∴∠BPE+∠CDE=∠BAE+∠B+∠CAE+∠C，

∴∠BPC=∠BAC+∠B+∠C.

方法2.延長BP交AC于E，如圖3,

∵∠BPC=∠1+∠C，∠1=∠A+∠B，

∴∠BPC=∠A+∠B+∠C.

方法3. 連結(jié)BC，如圖4，

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

即∠A+∠ABP+∠ACP+∠1+∠2=180°，

∴∠1+∠2=180°-（∠A+∠ABP+∠ACP）.

∴∠BPC=180°-(∠1+∠2)

= 180°-[180°-（∠A+∠ABP+∠ACP）]

=∠A+∠ABP+∠ACP.

方法4. 連結(jié)AP，如圖5，

∵ ∠1=180°-（∠BAP+∠B），

∠2=180°-（∠CAP+∠C），

∴∠1+∠2=360°-（∠BAP+∠CAP+∠B+∠C）

=360°-（∠BAC+∠B+∠C）.

∴∠BPC= 360°- (∠1+∠2)= 360°-[360°-（∠BAC+∠B+∠C）] =∠BAC+∠B+∠C.

方法5.過P任作一直線交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F, 如圖6，∵∠1=∠AEF-∠B,

∠2=∠AFE-∠C,

∴∠1+∠2=∠AEF+∠AFE-∠B-∠C.

∴∠BPC=180°-(∠1+∠2)

= 180°-(∠AEF+∠AFE)+∠B+∠C

=∠A+∠B+∠C.

方法6.過P作PE∥AC,交AB于點(diǎn)E,如圖7，

∴∠1=∠A, ∠2=∠C.∵∠3=∠1+∠B,

∴∠3=∠A+∠B.∴∠BPC=∠3+∠2=∠A+∠B+∠C.

三、命題的拓展

1. 變點(diǎn)P的位置

① 若P在邊AB上時(shí),如圖8,由外角的性質(zhì)可知∠BPC=∠A+∠C,由于此時(shí)∠B=0°,故∠BPC=∠A+∠B+∠C，仍然成立.可見此情形是命題特殊情形.

② 若P在BC邊上時(shí),如圖9,此時(shí)

∠BPC=180°, ∠A+∠B+∠C=180°

故∠BPC=∠A+∠B+∠C，仍然成立.可見此情形也是命題特殊情形.

2. 變∠A的大小

①∠A的兩邊,拉開成平行線,如圖10, 由平行

線的性質(zhì)，可知∠BPC=∠B+∠C，此時(shí)可以認(rèn)

為∠A=0°，從而∠BPC=∠A+∠B+∠C，仍然

成立. 可見此情形也是命題特殊情形.

②∠A的兩邊進(jìn)一步拉開,如圖11,

此時(shí)∠BPC=∠ABC+∠A′CB-∠α,

若把∠α看作一個(gè)負(fù)的∠A,則也可以認(rèn)為原結(jié)論成立.

3.變∠P的個(gè)數(shù)

①把上述問題中的∠P變成兩個(gè)角∠P1和∠P2時(shí),得圖12,連結(jié)AD,由命題結(jié)論,不難證明∠P1+∠P2=∠A+∠B+∠C+∠D；

②同樣由上述方法不難得到,當(dāng)∠P變成n個(gè)角 ∠P1、∠P2、…、∠Pn時(shí)，∠P1+∠P2+…+∠Pn=∠A+∠B+∠C+∠D+…+∠Dn-1.

可見變式,讓命題綻放出新的光彩.通過一題多變,對(duì)學(xué)生的逆向思維發(fā)散思維創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是大有裨益的.

四、命題的應(yīng)用

例1.已知:如圖13,△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交點(diǎn)P.

求證: ∠BPC=90°+1/2∠A.

證明:由命題可知, ∠BPC=∠A+∠ABP+∠ACP

=1/2∠A+1/2(∠A+∠ABC+∠ACB)

=1/2∠A+1/2×180°

=90°+1/2∠A.

例2.已知:如圖14,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).

解: 由命題可知, ∠1=∠A+∠C+∠D,

又由外角的性質(zhì)可得∠2=∠B+∠E,

∴∠1+∠2=∠A+∠C+∠D+∠B+∠E.

∵∠1+∠2=180°, ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

例3.已知:如圖15,△ABC中，∠ABC與∠ACB的外角平分線相交點(diǎn)P.

求證: ∠BPC=90°-1/2∠A.

證明:由命題的拓展圖11的結(jié)論,可知, ∠P=∠1+∠2-∠A.又∠1=∠3, ∠2=∠4, ∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠P,∴∠P=180°-∠P -∠A.∴2∠P=180-∠A. ∴∠BPC=90°-1/2∠A.

例4．如圖16，已知BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，且∠D=140°，∠E=120°.求∠A的度數(shù).

解: 由命題可知, ∠D=∠DBE+∠DCE+∠E,

∠DBE+∠DCE=∠D-∠E=140°-120°=20°.

∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，∴∠DBE =∠ABE, ∠DCE =∠ACE.

∴∠ABE+∠ACE=20°,而由命題可知∠E=∠ABE+∠ACE+∠A, ∴∠A=∠E-(∠ABE+∠ACE)=120°-20°=100°.

可見,應(yīng)用命題的結(jié)論可以幫助我們非?？旖莸亟鉀Q了較復(fù)雜的問題.

上述問題的發(fā)現(xiàn)和研究,不僅讓我們體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間在其廣袤的各展風(fēng)采之間有其必然深刻的規(guī)律,而且啟發(fā)我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中要充分發(fā)揮例題的教學(xué)作用，適當(dāng)進(jìn)行變式，逐步設(shè)置障礙，使學(xué)生面對(duì)適度的困難，開展嘗試和探究，以不斷增加學(xué)生創(chuàng)造性因素，經(jīng)歷“再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造”的過程，這樣才能有利于發(fā)展學(xué)生的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新精神，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的全面發(fā)展。

（江蘇省通州市興仁初級(jí)中學(xué)）