淺談數(shù)學(xué)模型

鐘艷林

[摘要] 數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)理論與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合的一門科學(xué)。它將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,并在此基礎(chǔ)上利用數(shù)學(xué)的概念、方法和理論進(jìn)行深入分析和研究,從而從定性或定量的角度來(lái)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題,并為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題提供精確的數(shù)據(jù)或可靠的指導(dǎo)。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)模型

眾所周知,數(shù)學(xué)最引人注目的特點(diǎn)是它思維的抽象性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性。這是在數(shù)學(xué)發(fā)展的漫長(zhǎng)的歷程中逐漸形成的。它來(lái)源于人們生產(chǎn)和生活的需要。對(duì)其中有關(guān)的空間結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系的共性不斷地抽象、升華而形成當(dāng)今的數(shù)學(xué)。它的出現(xiàn)為我們?cè)诟顚哟紊险J(rèn)識(shí)世界提供了一條重要的途徑。它的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性的特點(diǎn)也成為我們科學(xué)地思維和組織構(gòu)造知識(shí)的一個(gè)有效的手段。數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性則為各門學(xué)科以及人們的生產(chǎn)、生活和社會(huì)活動(dòng)在定量方面向深層次發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。當(dāng)前,在數(shù)學(xué)科學(xué)與其它科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)建設(shè)緊密結(jié)合變得更加需要和可能的今天,學(xué)術(shù)界在探討數(shù)學(xué)科學(xué)的技術(shù)基礎(chǔ)及其對(duì)經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)力的作用時(shí)指出:“在經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)中數(shù)學(xué)是不可少的,數(shù)學(xué)科學(xué)是一種關(guān)鍵性的、普遍的、能夠?qū)嵭械募夹g(shù)?！薄案呒夹g(shù)的出現(xiàn)把我們的社會(huì)推進(jìn)到數(shù)學(xué)技術(shù)的時(shí)代”。數(shù)學(xué)的應(yīng)用特征在當(dāng)今就顯得更加突出和重要。

數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題的一種有效的重要工具。所謂數(shù)學(xué)模型是指通過(guò)抽象和簡(jiǎn)化,使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)實(shí)際現(xiàn)象的一個(gè)近似刻劃,以便人們更深刻地認(rèn)識(shí)所研究的對(duì)象。數(shù)學(xué)模型也不是對(duì)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的簡(jiǎn)單的模擬,它是人們用認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)和解決實(shí)際問(wèn)題的工具。數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息通過(guò)提煉、分析、歸納、翻譯的結(jié)果。它使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言精確地表達(dá)了對(duì)象的內(nèi)在特征。通過(guò)數(shù)學(xué)上的演繹推理和分析求解,使得我們能夠深化對(duì)所研究的實(shí)際問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。

由于數(shù)學(xué)模型涉及的范圍極廣,各領(lǐng)域、各學(xué)科、各行各業(yè),時(shí)時(shí)刻刻都有數(shù)學(xué)模型,而又不能套用現(xiàn)成的定理和公式去建成立數(shù)學(xué)模型,所以,數(shù)學(xué)建模有很大的靈活性。數(shù)學(xué)建模是難度較大的思維活動(dòng),而所有數(shù)學(xué)建模的書(shū)基本上沒(méi)有一個(gè)定理和公式,這就使建模步驟顯得十分重要,它是可能建立一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型的基本保證。數(shù)學(xué)建模講衛(wèi)生靈活多樣、多變,所以,數(shù)學(xué)建模步驟也不能強(qiáng)求一致,也要提倡多樣化。數(shù)學(xué)建模步驟完全是為數(shù)學(xué)建模服務(wù)的,是從建模實(shí)踐中逐步總結(jié)出來(lái)的。第一個(gè)數(shù)學(xué)建模都必須有明確的建模步驟。下面,我將建模的步驟總結(jié)為下面幾點(diǎn)。

一、問(wèn)題的提出

提出問(wèn)題是解決問(wèn)題的一半,提出問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵一步,這說(shuō)明提出問(wèn)題的重要性。很多問(wèn)題沒(méi)有得到很好解決,其原因是問(wèn)題沒(méi)有提好。問(wèn)題的提出是在面對(duì)實(shí)際的研究對(duì)象時(shí),能夠很快弄清問(wèn)題的來(lái)龍去脈,抓住問(wèn)題的本質(zhì),弄清問(wèn)題的層次及問(wèn)題的主要總分和次要部分,確定問(wèn)題的己知和目標(biāo)。對(duì)于我們的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題,一定要明確建模目的和要建立的模型類型,即要將哪個(gè)變量寫成哪些變量的函數(shù)。問(wèn)題的提出是一個(gè)將實(shí)際問(wèn)題翻譯成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。在分析問(wèn)題時(shí),要將問(wèn)題加以分解,分成幾個(gè)層次和部分。先對(duì)每個(gè)層次或部分進(jìn)行研究,然后再統(tǒng)一進(jìn)行整體研究,把握全局,將問(wèn)題研究清楚。

二、量的分析

我們接觸的研究對(duì)象不管多么朦朧和復(fù)雜,或是比較簡(jiǎn)單,都必然有量的表現(xiàn),必然涉及到一些量,包括常量和變量。數(shù)學(xué)的一項(xiàng)主要任務(wù)就是研究數(shù)量之間的關(guān)系,數(shù)學(xué)建模過(guò)程首先就要搞清這些量之間的關(guān)系。量的分析這一步是先將我們?nèi)さ膶?duì)象所涉及到的量盡量都找出來(lái),然后根據(jù)建模目的和要采用方法的需要,分清哪些是主要是,哪些是次要的。舍去次要量,留下主要量,使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,有利于模型的建立。

三、模型假設(shè)

模型假設(shè)是由問(wèn)題的提出和量的分析得出來(lái)的,是由建模目的決定的,是為滿足模型的建立的要求、配合建模所用的數(shù)學(xué)工具和相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用而確定的。

模型假設(shè)是建立數(shù)學(xué)模型的前提和己知條件?，F(xiàn)實(shí)瓿題往往是復(fù)雜且雜亂無(wú)章、具體的,是質(zhì)和量、現(xiàn)象和本質(zhì)、偶然和必然的統(tǒng)一體,涉及的變量也是非常多的。這樣的原型如時(shí)不對(duì)其進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化,則認(rèn)識(shí)它是困難的,也無(wú)法準(zhǔn)確把握它的本質(zhì)屬性。必須將問(wèn)題理想化、簡(jiǎn)單化,抓住問(wèn)題的本質(zhì)和主要因素,暫時(shí)不考慮次要因素。理清變量之間的關(guān)系,把那些反映問(wèn)題本質(zhì)屬性的形態(tài)、量及其關(guān)系抽象出來(lái),簡(jiǎn)化那些非本質(zhì)的因素,使之?dāng)[脫原型的具體復(fù)雜形態(tài),形成建模有用的信息資源和前提條件。

四、模型建立

在前三步的基礎(chǔ)上,根據(jù)所研究的對(duì)象本身的特點(diǎn)和內(nèi)在規(guī)律,依據(jù)模型假設(shè),利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和相關(guān)領(lǐng)域的知識(shí),通過(guò)聯(lián)想和創(chuàng)造性的發(fā)揮及嚴(yán)密的推理,最終形成描述所研究對(duì)象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。

建立數(shù)學(xué)模型要注意以下幾點(diǎn):

(1)首先,要建模假設(shè)的基礎(chǔ)上進(jìn)不步分析模型假設(shè)的各條款,確定各種變量所處的地位、作用和它們之間的關(guān)系,將其寫成代數(shù)式的形式。

(2)在構(gòu)造數(shù)學(xué)模型時(shí)究竟采用什么數(shù)學(xué)工具,要根據(jù)問(wèn)題的特征、建模的目的和要求及建模人的數(shù)學(xué)特長(zhǎng)而定。如果實(shí)際問(wèn)題中的變量是確定性變量,建模時(shí)數(shù)學(xué)工具多用初等數(shù)學(xué)、微積分、微分方程、線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)、投入產(chǎn)出、確定性存貯理論等。如果變量是隨機(jī)性的,數(shù)學(xué)工具多用概率論、統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)存貯理論、排隊(duì)論、對(duì)策論、決策論等。

(3)在構(gòu)造數(shù)學(xué)模型時(shí)采用什么方法,要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的性質(zhì)和建模假設(shè)所給出的建模信息面定。大體上可分為機(jī)理分析法、系統(tǒng)辨識(shí)建模法、仿真建模法和相似類比法。

(4)根據(jù)建模的對(duì)象、目的,抓住問(wèn)題的本質(zhì)、簡(jiǎn)化變量之間的關(guān)系。

(5)建立模型時(shí)要有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理。建模要有足夠的精度,既要把問(wèn)題本質(zhì)的東西和關(guān)系反映出來(lái),把非本質(zhì)的東西去掉,同時(shí)注意要不影響反映現(xiàn)實(shí)的真實(shí)程度。

五、模型求解

建立數(shù)學(xué)模型是為了解決實(shí)際問(wèn)題,而建模本身往往還不是我們的最終目的,還要對(duì)上述建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)上的求解,包括解方程、圖解、定理證明、邏輯推理等各種數(shù)學(xué)方法,特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用,從而得到模型最終形式或建模目的所要求的結(jié)果。

六、模型檢驗(yàn)

模型是否正確,還必須進(jìn)行模型的檢驗(yàn)。模型檢驗(yàn)有兩種方法:一是實(shí)際檢驗(yàn),就是回一客觀實(shí)際中對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn),常常是用實(shí)驗(yàn)或頭號(hào)題提供的信息來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。對(duì)于預(yù)測(cè)模型,還要檢驗(yàn)預(yù)測(cè)是否己經(jīng)達(dá)到了精度要求,是否己經(jīng)達(dá)到了預(yù)測(cè)的目的。二是邏輯檢驗(yàn),這一檢驗(yàn)法主要是找出矛盾,否定模型。如果模型與事實(shí)明顯不符或者通過(guò)檢測(cè)出現(xiàn)矛盾,模型就應(yīng)于否定。

一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型不在于它使用了多么高深的數(shù)學(xué),作為一個(gè)成功的模型,應(yīng)該有較強(qiáng)的實(shí)際背景,最好是直接針對(duì)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題的;模型應(yīng)該是經(jīng)過(guò)實(shí)際檢驗(yàn)表明是可以接受的;模型應(yīng)該能夠使我們對(duì)所研究的問(wèn)題有進(jìn)一步的了解;而且也應(yīng)該是盡可能簡(jiǎn)單,以利于使用者理解和接受。

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