試論數(shù)學(xué)建模競賽與數(shù)學(xué)模型方法

吝維軍

[摘要] 數(shù)學(xué)提供給人類的不僅僅是現(xiàn)成的知識和工具,更重要的是提供給人類的思想和方法。本文論述了數(shù)學(xué)建模競賽與數(shù)學(xué)模型方法的關(guān)系。 數(shù)學(xué)建模競賽是數(shù)學(xué)模型方法應(yīng)用的平臺,數(shù)學(xué)模型方法的恰當(dāng)應(yīng)用推動數(shù)學(xué)建模競賽的有序展開。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)建模競賽 數(shù)學(xué)模型方法 學(xué)生

數(shù)學(xué)提供給人類的不僅僅是現(xiàn)成的知識和工具,更重要的是提供給人類的思想和方法。在數(shù)學(xué)方法中,從宏觀層面上看具有典型數(shù)學(xué)特征、影響和作用最大的是公理化方法和數(shù)學(xué)模型方法以及隨機思想方法。

“數(shù)學(xué)模型方法”(Mathematical Model Method)簡稱MM方法,它不僅是處理數(shù)學(xué)理論問題的一種經(jīng)典方法,而且也是處理科技領(lǐng)域中各種實際問題的一般數(shù)學(xué)方法。

一般認(rèn)為,模型是指所研究對象或者事物的有關(guān)性質(zhì)的一種模擬物。同一研究對象,為了不同的目的,可以有許多不同的模型。每個模型的特征由構(gòu)造模型的目的決定。模型可以分成形象模型和抽象模型。形象模型包括直觀模型、物理模型等,抽象模型包括思維模型、符號模型、數(shù)學(xué)模型等。數(shù)學(xué)模型乃是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系,采用形式化數(shù)學(xué)語言,概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

數(shù)學(xué)模型方法,它是根據(jù)研究的目的將研究的某種事物系統(tǒng),采用數(shù)學(xué)形式化語言把該系統(tǒng)的特征和數(shù)量關(guān)系,抽象出數(shù)學(xué)模型,通過對數(shù)學(xué)模型的研究,使實際問題得以解決的一種數(shù)學(xué)方法。

一、數(shù)學(xué)建模競賽是數(shù)學(xué)模型方法應(yīng)用的平臺

1.建模競賽的宗旨體現(xiàn)著數(shù)學(xué)模型方法的應(yīng)用

數(shù)學(xué)模型方法作為解決實際問題的一種模式, 它突出地表現(xiàn)了原始問題的數(shù)學(xué)加工過程及數(shù)學(xué)模型的選擇、分析過程,模型的求解、再分析、再求解的迭代過程。

數(shù)學(xué)建模競賽的是將實際問題作為賽題, 這些問題沒有現(xiàn)成的求解公式和方法, 學(xué)生們必須根據(jù)題意, 提出合理的假設(shè), 綜合利用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)理論和方法,綜合分析、建立數(shù)學(xué)模型, 然后設(shè)計出計算方法并利用計算機將問題進行求解。

由于賽題都是從工程技術(shù)及管理工作中提煉出來的具體課題(有些經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮喕图舨? 以適應(yīng)競賽者的數(shù)學(xué)水平和計算量),參賽中首先從量和型多個側(cè)面去考察實際問題,盡可能通過抽象、簡化,確定出主要的參量、參數(shù),應(yīng)用與各學(xué)科有關(guān)的定律、原理建立起它們之間的某種關(guān)系,即將具體問題數(shù)學(xué)化(模型的建立),其次利用所學(xué)的各種數(shù)學(xué)知識、借助各種資源(文獻、網(wǎng)絡(luò)、計算機等)求解問題,最后分析結(jié)果的正確性、合理性,若有必要再次修正并求解模型。

數(shù)學(xué)建模競賽是對實際問題的求解,它完整地表現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的關(guān)系,是數(shù)學(xué)模型方法的具體運用。

2.建模競賽的方式使數(shù)學(xué)模型方法的應(yīng)用成為可能

數(shù)模競賽方式是開放式的,參賽者在三天之內(nèi)可以借助于任何資源,不僅可以查閱任何書籍, 期刊資料, 而且可以使用各種計算機。近年來,計算機技術(shù)的飛速發(fā)展促進了人們運算能力的迅速提高,改進了人們觀察問題的方式和方法,許多原來無法實現(xiàn)的模型化方法如今已變得切實可行。

數(shù)學(xué)建模競賽的賽題來源于實際,有的用數(shù)學(xué)模型來量化表示較為困難,競賽過程中可利用計算機模擬,根據(jù)實際問題特性,按照一定的數(shù)學(xué)規(guī)律用計算機程序語言模擬實際運行狀況,并依據(jù)大量模擬結(jié)果對系統(tǒng)或過程進行定量分析。反過來,若數(shù)學(xué)模型在某種意義下描述了對象內(nèi)在特性的數(shù)量關(guān)系,已得到了解析形式的解,推廣而利用計算機模擬則完全模仿對象的實際演變過程,驗證解的正確性

模型的求解很多的情況下涉及到大量的計算,以至于模型的求解很難實現(xiàn)。眾所周知,計算機以其飛快的計算速度, 驚人的準(zhǔn)確性使過去由于計算量太大, 無法進行數(shù)學(xué)計算的問題具有解決的可能。Mthematica、Matlab、Lingo等專用軟件包的出現(xiàn),使得用數(shù)學(xué)方法處理各種復(fù)雜變量的能力大大提高。競賽試題的求解體現(xiàn)的這些軟件包的綜合應(yīng)用。

二、數(shù)學(xué)模型方法的應(yīng)用推動了數(shù)學(xué)建模競賽的有序展開

1.數(shù)學(xué)建模課程的開設(shè)普及了數(shù)學(xué)模型方法的應(yīng)用

數(shù)學(xué)建模競賽活動的開展有其鮮明的時代背景,是對我們傳統(tǒng)教學(xué)(只重視知識的傳授)的一個沖擊,適應(yīng)了新形式下培養(yǎng)應(yīng)用型人才的需求。在高等學(xué)校理工科人才的培養(yǎng)中,完全有必要把培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)建模解決實際問題的意識, 學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)建模的方法和技能作為提高大學(xué)生綜合素質(zhì)的一項重要內(nèi)容。 為實現(xiàn)這一目標(biāo), 各高校相繼開設(shè)了數(shù)學(xué)實驗和數(shù)學(xué)建模等課程,較為系統(tǒng)地介紹數(shù)學(xué)模型方法,圍繞著具體的實例從模型的準(zhǔn)備、模型的假設(shè)、模型的構(gòu)成、模型的求解、模型的分析講解并實踐數(shù)學(xué)模型方法。

數(shù)學(xué)建模課程的開設(shè),豐富和完善了數(shù)學(xué)模型方法的內(nèi)容。課程的開設(shè)從早期的具體模型的講解逐步過渡到建模方法的歸類、提煉,將常用的數(shù)學(xué)模型概括為:初等模型、代數(shù)模型、微積分模型、數(shù)值分析法建模、常微分方程模型、差分方程模型、優(yōu)化模型、隨機數(shù)學(xué)模型等,這些系統(tǒng)的建模方法極大地豐富了數(shù)學(xué)模型方法的內(nèi)容。

數(shù)學(xué)建模等課程的開設(shè),使廣大同學(xué)在大學(xué)其間接受較為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方法的訓(xùn)練,為學(xué)生掌握這一解決應(yīng)用問題的方法提供了平臺,進而普及并推廣了數(shù)學(xué)模型方法。

2.數(shù)學(xué)模型方法的完善提升了數(shù)學(xué)建模競賽的層次

我們知道,實數(shù)系的時間的模型,微積分是物體運動的數(shù)學(xué)模型方法,歐氏幾何是關(guān)于直覺空間形體(剛體運動下圖形結(jié)構(gòu)不變的形體)關(guān)系分析的數(shù)學(xué)模型方法,自然數(shù)1,2,3…是用以描述離散數(shù)量的數(shù)學(xué)模型方法.

計算機的廣泛應(yīng)用和科學(xué)技術(shù)的數(shù)學(xué)化趨勢,使得數(shù)學(xué)模型方法已經(jīng)非常廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)、工程技術(shù)科學(xué)與社會科學(xué)的一切領(lǐng)域中。例如,經(jīng)濟科學(xué)、軍事科學(xué)、交通運輸?shù)裙芾砜茖W(xué)領(lǐng)域.都無例外地應(yīng)用著數(shù)學(xué)模型方法.近幾年的競賽試題《中國人口增長預(yù)測(2007年試題)》,《數(shù)碼相機定位(2008年試題)》,《乘公交,看奧運(2007年試題)》等是很好的說明。

隨著數(shù)學(xué)向諸如經(jīng)濟、人口、生態(tài)、地質(zhì)等所謂非物理領(lǐng)域的滲透,一些交叉學(xué)科如計量經(jīng)濟學(xué)、人口控制論、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)等應(yīng)運而生。當(dāng)用數(shù)學(xué)方法研究這些領(lǐng)域中的定量關(guān)系時,數(shù)學(xué)建模就成為首要的、關(guān)鍵的步驟。在這些領(lǐng)域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度的模型的余地相當(dāng)大,為數(shù)學(xué)建模競賽試題的選擇提供了廣闊的新天地。

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