離散數(shù)學(xué)入門(mén)教學(xué)初探

李軍雄　王凌燕

摘要:離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)專業(yè)基礎(chǔ)理論的核心課程，對(duì)計(jì)算機(jī)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的研究起著重要的作用。離散數(shù)學(xué)是一門(mén)學(xué)生與教師普遍感到教與學(xué)都較困難的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支，作者根據(jù)幾年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和高職學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的問(wèn)題，對(duì)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)作了一些探討。

關(guān)鍵詞:離散數(shù)學(xué)；入門(mén)教學(xué)；改革

隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的建立和發(fā)展，對(duì)人才的需求打破了以前按專業(yè)分配的模式，畢業(yè)生由統(tǒng)一分配向雙向選擇自謀職業(yè)轉(zhuǎn)變。要使他們?cè)诟?jìng)爭(zhēng)激烈的人才市場(chǎng)中站穩(wěn)腳跟，光有基礎(chǔ)知識(shí)不行，光有某一專業(yè)能力也不行，還必須要有較強(qiáng)的應(yīng)變能力，這樣才能與人才市場(chǎng)的需求迅速接軌。這種應(yīng)變能力，是素質(zhì)的具體表現(xiàn)，就是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，吸收和創(chuàng)造出有價(jià)值的新思想、新理論、新方法和新技術(shù)。因此，教育必須改革以傳授已有知識(shí)為主的局面，樹(shù)立以培養(yǎng)創(chuàng)造性為核心的素質(zhì)教育觀。應(yīng)當(dāng)注意的是，數(shù)學(xué)素質(zhì)是人才全面素質(zhì)的一個(gè)重要方面。數(shù)學(xué)素質(zhì)高，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新方法極為有利，不能把數(shù)學(xué)課單純地看成是基礎(chǔ)課，應(yīng)當(dāng)看成是培養(yǎng)人才素質(zhì)的專門(mén)課程，必須保證為培養(yǎng)基本數(shù)學(xué)素質(zhì)所需要的基本內(nèi)容，把對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)納入對(duì)人才素質(zhì)培養(yǎng)模式的總體框架之中，服務(wù)于整體的需要。

離散數(shù)學(xué)作為計(jì)算機(jī)科學(xué)中基礎(chǔ)理論的核心課程，確實(shí)有一定的難度。計(jì)算機(jī)科學(xué)在其研究過(guò)程中需要借助于離散數(shù)學(xué)這個(gè)工具，離散數(shù)學(xué)對(duì)于計(jì)算機(jī)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的研究具有重要的作用。而離散數(shù)學(xué)是一門(mén)教與學(xué)都較困難的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支，它是研究離散對(duì)象之間關(guān)系的科學(xué)。該課程的特點(diǎn)是內(nèi)容多、概念多、抽象化。學(xué)生對(duì)知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，如何將知識(shí)正確應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)常把握不好，仍然需要教師給予指導(dǎo)。我們應(yīng)該使學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)成果的轉(zhuǎn)化。

思維方式

離散數(shù)學(xué)成為一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科的時(shí)間并不長(zhǎng)，但它已經(jīng)成了計(jì)算機(jī)科學(xué)系統(tǒng)理論中不可缺少的核心課程和先行課程。它不僅在知識(shí)上為計(jì)算機(jī)專業(yè)基礎(chǔ)課（編譯原理、數(shù)字電路等課程）做準(zhǔn)備，同時(shí)在思維方式——抽象性思維方面為學(xué)生打開(kāi)了一道新的門(mén)。教師除了要教給學(xué)生數(shù)學(xué)工具外，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造能力。該課程就是要培養(yǎng)學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及抽象思維能力。這就要求教師在講課時(shí)條理非常清晰，并且告訴學(xué)生你的思維方式、分析問(wèn)題的過(guò)程。

課后習(xí)題

每當(dāng)講解完概念、定理和方法后，應(yīng)及時(shí)找一些課外習(xí)題講解，并讓學(xué)生練習(xí)，達(dá)到鞏固知識(shí)的效果。因?yàn)橐粋€(gè)好的示例不僅可以打開(kāi)思想，而且對(duì)理解一種數(shù)學(xué)方法，理解理論的含意，能起到促進(jìn)的效果。需要注意的是必須找課本以外的練習(xí)題。因?yàn)榇髮W(xué)生具有自學(xué)能力，若僅僅是講解課本上的例題，學(xué)生認(rèn)為沒(méi)有新意，他們看書(shū)就完全可以了，這樣不能吸引學(xué)生的注意力。用課外的習(xí)題就不一樣，因?yàn)闀?shū)本上沒(méi)有，學(xué)生就會(huì)仔細(xì)認(rèn)真地去聽(tīng)，這樣才有好的教學(xué)效果。要精選習(xí)題，多選與計(jì)算機(jī)科學(xué)直接相關(guān)的習(xí)題(例如編碼、程序設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等)，多選鞏固概念、理解概念的習(xí)題，多選應(yīng)用型的習(xí)題、證明題，盡可能少講，以加強(qiáng)學(xué)生邏輯分析的能力。

強(qiáng)調(diào)應(yīng)用

數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)對(duì)于工科學(xué)生的應(yīng)用能力和進(jìn)一步的開(kāi)拓創(chuàng)新能力有很大的影響，有些時(shí)候甚至有決定性的影響。這一點(diǎn)，人們?cè)诶碚撋陷^容易接受，在實(shí)踐上卻未必認(rèn)同。對(duì)于應(yīng)用型的工科學(xué)生，他們一般更注意一種技能的獲得。而對(duì)數(shù)學(xué)，對(duì)在無(wú)形中增長(zhǎng)他們的判斷能力和抽象思維能力，增長(zhǎng)他們透過(guò)感性表象洞察隱蔽本質(zhì)的能力，增長(zhǎng)他們的條理性和邏輯性的數(shù)學(xué)，卻難于產(chǎn)生熱情。而愈無(wú)興趣就愈覺(jué)枯燥，愈覺(jué)困難。這種負(fù)反饋在不少學(xué)生中存在。對(duì)于更為抽象的離散數(shù)學(xué)，這個(gè)問(wèn)題會(huì)更加突出。

作者在教學(xué)過(guò)程中遇到過(guò)這樣的情景，學(xué)生說(shuō)學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)這樣的理論課程沒(méi)有用處，所以沒(méi)有興趣，不想好好學(xué)。這是現(xiàn)在高職學(xué)生對(duì)于理論課程的一種普遍看法。其實(shí)我們都知道理論很重要，特別是數(shù)學(xué)知識(shí)很重要，但是學(xué)生沒(méi)有這樣的意識(shí)，為什么？這與許多教師在講課時(shí)沒(méi)有及時(shí)將所講內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)應(yīng)用聯(lián)系起來(lái)，以至于讓學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)是分不開(kāi)的。所以要求教師在講課時(shí)一定要清楚地讓學(xué)生意識(shí)到自己所學(xué)的知識(shí)是非常有用的，教師應(yīng)該將知識(shí)和實(shí)際聯(lián)系起來(lái)（我校正在實(shí)施的“六位一體”課程能力目標(biāo)教學(xué)改革）。針對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生這一特定的對(duì)象，應(yīng)著重闡明概念與定理所涵蓋的現(xiàn)實(shí)對(duì)象或現(xiàn)實(shí)模型，應(yīng)盡量多介紹離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域的應(yīng)用。使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的巨大應(yīng)用，并學(xué)會(huì)一些應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法。例如“一筆畫(huà)”的問(wèn)題。這是每一個(gè)學(xué)生都比較感興趣的話題，我們從小就接觸過(guò)這樣的問(wèn)題，有些圖形可以一筆畫(huà)成，有些則不可以，為什么？從這個(gè)角度入手容易引起學(xué)生的好奇心，接著再講解歐拉圖的內(nèi)容就能收到很好的教學(xué)效果。

改變學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)的消極心態(tài)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，使他們感到離散數(shù)學(xué)的有用和有趣，自覺(jué)主動(dòng)地去學(xué)習(xí)，這是學(xué)生不僅獲得知識(shí)而且增長(zhǎng)能力的前提。是完成教學(xué)要求的基本保證，也是教學(xué)改革的重要內(nèi)容。

第一印象會(huì)長(zhǎng)久鮮明地留在學(xué)生的頭腦中，開(kāi)始的教學(xué)不宜大量講述抽象的概念和邏輯推演，而要對(duì)離散數(shù)學(xué)的歷史、現(xiàn)狀、應(yīng)用作較生動(dòng)的講解。在各章節(jié)的開(kāi)始，最好有主題介紹。對(duì)離散數(shù)學(xué)中的一些富于歷史趣味的故事或富于啟發(fā)性的問(wèn)題應(yīng)加以介紹。比如哥尼斯堡七橋問(wèn)題，郵遞員問(wèn)題，一筆畫(huà)問(wèn)題，周游世界游戲問(wèn)題等。有關(guān)的介紹不必全面和深入，而是應(yīng)側(cè)重講解它們的意境，側(cè)重講解它們的趣味性和啟發(fā)性，這些介紹宜分散到相關(guān)章節(jié)去做。接下去，應(yīng)向?qū)W生提出一些富于思考性的問(wèn)題，這些問(wèn)題或與他們的專業(yè)有關(guān)，或與他們已有的知識(shí)有關(guān)，或出于他們的意外，或饒有趣味。這些問(wèn)題使他們看來(lái)似能解決而又不能解決，這樣就能啟動(dòng)學(xué)生思維的積極性。

改進(jìn)教學(xué)法

不同內(nèi)容的講授，方法可以不同。有些概念可以從多個(gè)角度進(jìn)行講解。例如子圖和生成子圖的概念。子圖和生成子圖的定義如下:

1.圖G=與G′=間如果有V′≦V及E′≦E，則稱G′是G的子圖。

2.如果G′是G的子圖，并且V= V′（即子圖G′包含G的所有節(jié)點(diǎn)），則稱該子圖G′為G的生成子圖。

分析上述定義后，也可理解為:

在圖G中刪去一些邊或頂點(diǎn)后所得的圖稱為圖G的子圖。

在圖G中刪去一些邊后所得的圖稱為圖G的生成子圖。

傳統(tǒng)的教學(xué)思想過(guò)分重視演繹法，演繹法雖然有利于學(xué)習(xí)已有的知識(shí)，但它注重繁瑣的理論證明和局部的解題技巧，學(xué)生只能得到一些基本理論，而不能指導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，去創(chuàng)新。因此，在教學(xué)改革中，要讓學(xué)生通過(guò)對(duì)各種現(xiàn)象的觀察、分析，在演繹的基礎(chǔ)上進(jìn)行示例、類比、歸納，去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題。

近二十年來(lái)，由于計(jì)算機(jī)專業(yè)的興起，“離散數(shù)學(xué)”這門(mén)課也隨之開(kāi)設(shè)。應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，該課程較為抽象，學(xué)與教兩方面均存在一定的難度，正因?yàn)檫@個(gè)難度，使其成為一門(mén)培養(yǎng)素質(zhì)與創(chuàng)造能力的好課程，通過(guò)有效的知識(shí)傳授可

以達(dá)到培養(yǎng)素質(zhì)的目的。

掌握知識(shí)框架

要想讓學(xué)生從總體上把該課的結(jié)構(gòu)、各部分內(nèi)容之間的關(guān)系搞清楚，就要在每一章結(jié)束后，對(duì)本章的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)整理，讓學(xué)生的腦海中有一個(gè)知識(shí)框架，幫助學(xué)生有一個(gè)清楚的知識(shí)體系。

多媒體課件的使用使用CAI，習(xí)題庫(kù)的建立對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)教學(xué)而言，更應(yīng)早日提上日程。盡管離散數(shù)學(xué)CAI的編制有較大難度，但可由淺入深，由簡(jiǎn)到繁，逐步編制和使用。根據(jù)教材知識(shí)體系，把內(nèi)容劃分成集合論、數(shù)理邏輯、圖論三個(gè)單元，編制各單元的輔導(dǎo)教學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的文字教案或電子教案。

使用多樣形式的教學(xué)方法講清知識(shí)體系的內(nèi)涵和外延，設(shè)計(jì)符合學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)的多媒體教材，盡量將抽象的知識(shí)形象化，達(dá)到幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí)的目的。

講清楚內(nèi)容對(duì)于有難度的內(nèi)容，書(shū)本上書(shū)寫(xiě)不充分的內(nèi)容或者學(xué)生看不懂的內(nèi)容，在講課過(guò)程中，一定要仔細(xì)地分析講解，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象的問(wèn)題形象化，從而達(dá)到較好的教學(xué)效果。

講課速度教師一定要做好課前的教學(xué)設(shè)計(jì)，精心安排每次課的教學(xué)內(nèi)容，爭(zhēng)取整個(gè)教學(xué)過(guò)程都達(dá)到最佳效果。主講課雖然以教師講為主，但也要避免傳統(tǒng)的“填鴨式”的滿堂灌教學(xué)方式，要注意調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用。對(duì)主講課的教學(xué)，教師要認(rèn)真把握好速度、進(jìn)度，切實(shí)注重教學(xué)效果，質(zhì)量是根本，學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握是目的。講課時(shí)速度適中，難的內(nèi)容多講、慢講，不能只求速度而不管學(xué)生的接受能力;簡(jiǎn)單的內(nèi)容快講、少講，也可以讓學(xué)生自學(xué)。特別應(yīng)強(qiáng)調(diào)說(shuō)明的是，自學(xué)能力強(qiáng)是素質(zhì)高的一個(gè)表現(xiàn)，因?yàn)楫厴I(yè)后學(xué)生為了適應(yīng)工作的需要，要吸收許多新的知識(shí)，這個(gè)時(shí)候主要靠自學(xué)。在教學(xué)中，有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)某些章節(jié)是有益的。精心組織教學(xué)。需要教師更加充分備課，更加精心組織每次教學(xué)。讓學(xué)生自學(xué)的某些章節(jié)，不是放任不管，而是需要精心策劃。勞力且勞心，付出的應(yīng)該更多。培養(yǎng)學(xué)生的素質(zhì)，需要高素質(zhì)的教師，需要教師努力提高自身的素質(zhì)。要使學(xué)生具有創(chuàng)造性，教師在教學(xué)中就應(yīng)有創(chuàng)造性。這些都需要對(duì)所教的課程反復(fù)鉆研體會(huì)。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

李軍雄（1967—），男，湖南郴州人，郴州職業(yè)技術(shù)學(xué)院計(jì)算機(jī)系副教授，研究方向?yàn)槁殬I(yè)教育課程教學(xué)及學(xué)生管理。

王凌燕（1978—），女，湖南郴州人，郴州職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師。

（本文責(zé)任編輯：宋開(kāi)峰）