２００８年數(shù)學中考熱點試題評析（三）

開放性綜合題現(xiàn)已演化成中考常見題型. 它要求考生運用所學知識去分析、探索，找出所需條件或補充完整過程，或找出正確結論. 它分為以下幾種：

一、存在開放性問題

它是在一定的條件下，判斷一些數(shù)字結論是否存在，其關鍵詞是“是否存在……，使……（成立）”，其解法是，先對結論予以肯定（即假設結論成立），再進行推理論證，如果推出矛盾的結果，則先肯定的結果不成立；如果推出結果合理，或與已知的事實相符，則以前假設正確.

例（2008年湖北省荊門市初中畢業(yè)生學業(yè)考試壓軸題）已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點A在x軸上，與y軸的交點為B（0，1），且b=-4ac

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在一點C，使以BC為直徑的圓經(jīng)過拋物線的頂點A？若不存在，說明理由；若存在，求出點C的坐標，并求出此時圓心點P的坐標；

（3）根據(jù)（2）的結論，你發(fā)現(xiàn)B、P、C三點的橫坐標之間、縱坐標之間分別有何關系？

評析：該題結合二次函數(shù)有關知識考查考生分析問題、解決問題的能力，考查的知識有：求拋物線解析式，相似三角形的判定和性質，三角形及梯形中位線，求坐標點的坐標.

思路和解答：（1）由B（0，1）求得C=1，再結合b=-4ac可求出點A的坐標A（-，0），∴－==2c=2， ∴ A(2，0)將點A坐標代入拋物線解析式，得：4a+2b+1=0，∴b=-4a，4a+2b+1=0. 解得a=，b=-1.

故拋物線的解析式為y=x2-x+1

(2)假設符合題意的點C存在，其坐標為C（x，y）. 作CD⊥x軸于D，連接AB、AC ∵A在以BC為直徑的圓上，∴∠BAC=90°. ∴△AOB∽△CDA. ∴=. ∴OB·CD＝OA·AD，即1·y=2(x-2)， ∴y=2x-4

由y=2x-4，y=x2-x+1. 解得x=10，y=16；x=2，y=0.

∴符合題意的點C存在，且坐標為（10，16）或（2，0）. ∵P為圓心，∴P為BC的中點

當點C坐標為（10，16）時，取OD的中點P，連接PP，則PP為梯形OBCD的中位線

∴ PP=(OB+CD)= ∵D(10，0)， ∴P（5，0），∴P(5，).

當點C坐標為（2，0）時，取OA的中點P，連接PP，則PP為△OAB的中位線， ∴PP＝OB＝

∵A(2，0)， ∴P(1，0)， P(1，)

故點P坐標為（5，）或(1，)

(3)設B、P、C三點坐標分為B（x，y）、P（x，y）、C(x，y)，由（2）可知x=， y=

二、結論開放性問題

它是根據(jù)已知條件去探索結論，其關鍵詞是“當……是否有……（結論）”或“由……（已知條件）可推出你認為正確的結論是……（待研究）”其解法是根據(jù)已有知識和已知條件，驗證假設結論或探索結論，對于沒有給出結論的開放性問題，要大膽猜想結論，再驗證結論

例（2008年浙江省義烏市初中畢業(yè)生學業(yè)考試15題）李老師給出了一個函數(shù)，甲、乙、丙三位學生分別指出這個函數(shù)的一個特征. 甲：它的圖像經(jīng)過第一象限；乙：它的圖像也經(jīng)過第二象限；丙：在第一象限內函數(shù)值y隨x增大而增大. 在你學過的函數(shù)中，寫出一個滿足上述特征的函數(shù)解析式

評析：該題答案不唯一，二次函數(shù)y=ax2+c（a＞0）適合題意

解：y=x2等.

三、條件開放性問題

這是根據(jù)問題的結論去找出或完善使結論成立的條件. 其解法是采用分析法，從結論出發(fā)，根據(jù)已有的知識，步步逆推，找出使結論成立的條件

例（2008年濟南市高中階段學校招生考試15題）如圖所示，在△ABC中，EF為△ABC的中位線，D為BC邊上一點（不與B、C重合），AD與EF交于點O，連接DE、DF，要使四邊形AEDF為平行四邊形，需要添加條件 （只添加一個條件）

評析：本題所需條件不唯一，考查靈活運用知識解決問題的能力

思路和解答：應用平行四邊形的判定定理易得：BD＝CD，OE＝OF，DE∥AC等

四、規(guī)律開放性問題

它是利用不完全歸納法去探尋規(guī)律解題

例（2008年貴陽市初中畢業(yè)生學業(yè)考試10題）根據(jù)如圖所示的（1）、（2）、（3）三個圖所表示的規(guī)律，依次下去第n個圖中平行四邊形的個數(shù)是（）

A 3nB 3n(n+1)C 6nD 6n(n+1)

評析：該題考查歸納、猜想的數(shù)學思想，通過枚舉，探索規(guī)律，進行解答問題

思路和解答：我們將最小的平行四邊形作為一個單位四邊形，則圖（1）中有1個3×1的平行四邊形，2個2×1的平行四邊形，3個1×1 的平行四邊形，共計1+2+3 ＝6個平形四邊形；圖（2）中有1個3×2的平行四邊形，2個3×1的平行四邊形，2個2×2的平行四邊形，7個2×1的平行四邊形，6個1×1的平行四邊形，共計1+2+2+7+6＝18個平行四邊形；圖（3）中有1個3×3的平行四邊形，4個3×2的平行四邊形，6個3×1的平行四邊形，9個1×1的平行四邊形，4個2×2的平行四邊形，12個2×1的平行四邊形，共計1+4+6+4+12+9＝36個平行四邊形；因6＝3×1×2，18＝3×3×2，36=3×3×4

所以第n個圖中的個數(shù)是3n(n+1)選B