“數(shù)值分析”中的三次樣條插值實(shí)踐教學(xué)探討

摘 要：文章闡述了“數(shù)值分析”中的三次樣條插值教學(xué)中加入實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)的必要性，并通過具體實(shí)例介紹了作者在三次樣條插值教學(xué)中進(jìn)行了實(shí)踐教學(xué)的嘗試和探討，旨在對(duì)今后的三次樣條插值的教學(xué)起到一定的促進(jìn)作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)值分析課程 三次樣條 樣條插值 實(shí)踐教學(xué) 創(chuàng)新能力

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

高次多項(xiàng)式插值過程具有“龍格”現(xiàn)象和數(shù)值不穩(wěn)定的缺點(diǎn)，而利用分段低次多項(xiàng)式，在分段處具有一定光滑性的樣條插值過程有較好的穩(wěn)定性和收斂性。20世紀(jì)60年代中期，樣條與計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)相結(jié)合，在外形設(shè)計(jì)(汽車、飛機(jī)、船等)方面得到了成功的應(yīng)用。同時(shí)，樣條理論研究亦逐步深入，后被作為函數(shù)逼近的有力工具。針對(duì)有關(guān)文章中指出的數(shù)值分析教學(xué)中存在的問題，…筆者在廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院的信息與計(jì)算科學(xué)(信息計(jì)算)專業(yè)班上嘗試了“數(shù)值分析”課程中三次樣條插值的實(shí)踐教學(xué)探討，在教學(xué)探索過程中有收獲，有心得，也有困難和困惑，現(xiàn)給予闡述。愿與同行交流，共同建立一個(gè)數(shù)值分析實(shí)踐教學(xué)平臺(tái)。

一、三次樣條插值教學(xué)中存在的問題

一是教材的三次樣條理論性過強(qiáng)，教學(xué)與實(shí)際結(jié)合較少。在傳統(tǒng)的三次樣條教學(xué)中，大多數(shù)教師只重視課堂教學(xué)，僅僅注重對(duì)三次樣條理論知識(shí)的講解，而很少開設(shè)或不開設(shè)上機(jī)實(shí)驗(yàn)，忽略了三次基本理論的應(yīng)用和實(shí)踐教學(xué)，結(jié)果導(dǎo)致三次樣條學(xué)起來抽象難懂，從而抑制了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，難于激發(fā)學(xué)生積極思考，影響了學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。因此，在三次樣條的教學(xué)中適當(dāng)引入實(shí)踐環(huán)節(jié)已成為當(dāng)務(wù)之急。

二是上機(jī)實(shí)驗(yàn)過程單一。由于三次樣條涉及算法分析、程序設(shè)計(jì)及計(jì)算框圖等，實(shí)驗(yàn)過程基本上都由教師安排和指定，學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)結(jié)果往往只知其然、不知其所以然。學(xué)生的積極性、創(chuàng)造性、主動(dòng)性、靈活性得不到充分發(fā)揮，難以提高探索和獲取樣條知識(shí)的能力。

三是對(duì)案例教學(xué)中的數(shù)據(jù)缺乏背景了解。雖然在個(gè)別教材中，添加了三次樣條實(shí)際應(yīng)用案例，但僅靠課堂講授和上機(jī)實(shí)驗(yàn)是無法讓學(xué)生對(duì)案例中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有一個(gè)很好的數(shù)據(jù)理解，最終也使案例教學(xué)演變成解三次樣條習(xí)題。

這些現(xiàn)狀造成了學(xué)生對(duì)三次樣條學(xué)習(xí)興趣不高，不重視三次樣條上機(jī)實(shí)驗(yàn)、不注重其算法的編程實(shí)現(xiàn)的局面，最終的教學(xué)效果可想而知。為了改變上述狀況，我們嘗試了三次樣條插值實(shí)踐教學(xué)。

二、實(shí)踐教學(xué)

針對(duì)上述問題，為了培養(yǎng)學(xué)生自主分析問題、解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)三次樣條插值的興趣，加深他們對(duì)三次樣條知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí)，本文提出了在三次樣條教學(xué)中加入實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)的想法。

實(shí)踐教學(xué)的含義包括實(shí)驗(yàn)、實(shí)習(xí)、社會(huì)實(shí)踐、課程設(shè)計(jì)、學(xué)年論文、畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))等，不同類型的實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)在教學(xué)計(jì)劃中的地位、順序、時(shí)間分配等方面要符合培養(yǎng)目標(biāo)的要求，要和相關(guān)課程相匹配。實(shí)踐教學(xué)是專業(yè)教學(xué)的重要組成部分，是培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)、獨(dú)立分析問題和解決問題能力的主要手段，是實(shí)踐性較強(qiáng)課程的一種重要教學(xué)手段。

我們這里所說的實(shí)踐教學(xué)，是指將某一門或幾門課程所要學(xué)習(xí)的新知識(shí)或綜合知識(shí)(結(jié)合其它方面的知識(shí))隱含在一個(gè)或幾個(gè)社會(huì)實(shí)踐教學(xué)過程之中。學(xué)生通過對(duì)在社會(huì)實(shí)踐過程中所遇到的問題進(jìn)行分析、討論，明確其大體涉及哪些知識(shí)，并找出哪些是舊知識(shí)，哪些是新知識(shí)，在老師的指導(dǎo)、幫助下找出解決問題的方法。從而將枯燥的學(xué)知識(shí)過程轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)吸收知識(shí)的實(shí)踐過程，有利于學(xué)生理解和掌握所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和創(chuàng)新能力。

三、三次樣條插值教學(xué)實(shí)施方案

結(jié)合有關(guān)文章中的數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)課任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)理論，設(shè)計(jì)了一個(gè)三次樣條插值實(shí)踐教學(xué)方案，其流程如圖1所示：

一是課堂講授。主要講授樣條的由來和應(yīng)用背景，簡(jiǎn)單提及三次樣條基本計(jì)算過程和收斂性問題。結(jié)合一個(gè)具體實(shí)際問題，通過提問的方式啟發(fā)學(xué)生課外查閱樣條資料和實(shí)際問題的解決過程。課堂講授這是學(xué)生對(duì)實(shí)際問題和三次樣條知識(shí)進(jìn)行初步認(rèn)識(shí)和了解的過程的環(huán)節(jié)。

二是查閱資料。根據(jù)三次樣條知識(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)切實(shí)可行的三次樣條社會(huì)實(shí)踐任務(wù)方案，讓學(xué)生課外廣泛地收集和查閱相關(guān)資料，了解應(yīng)用背景。課外廣泛收集和查閱相關(guān)資料，了解應(yīng)用背景，這是學(xué)生出色完成社會(huì)實(shí)踐任務(wù)重要保證。查閱資料這是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)三次樣條的實(shí)踐環(huán)節(jié)之一。

三是數(shù)據(jù)收集和測(cè)量。教師根據(jù)實(shí)踐任務(wù)方案，設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)據(jù)收集或測(cè)量方案，以提供三次樣條模型所須計(jì)算數(shù)據(jù)。收集或測(cè)量數(shù)據(jù)是三次樣條教學(xué)的關(guān)鍵實(shí)踐環(huán)節(jié)。在這個(gè)實(shí)踐環(huán)節(jié)中，最重要的任務(wù)是要讓學(xué)生有目的、積極地去收集和測(cè)量數(shù)據(jù)。在這個(gè)實(shí)踐過程中，可以給學(xué)生串插講述誤差和三次樣條方面的知識(shí)，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的理解。數(shù)據(jù)收集和測(cè)量這是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)三次樣條知識(shí)興趣的實(shí)踐環(huán)節(jié)。

四是上機(jī)實(shí)驗(yàn)。根據(jù)收集或測(cè)量數(shù)據(jù)，上機(jī)編程建立三次樣條數(shù)據(jù)模型，要求畫出所得三次樣條曲線圖，根據(jù)曲線圖指出設(shè)計(jì)出的三次樣條曲線的各種重要特征。在上機(jī)調(diào)試中可以啟發(fā)學(xué)生注意求解過程中的計(jì)算誤差，串插講述三次樣條曲線的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生思考設(shè)計(jì)出的三次樣條曲線是否符合實(shí)際要求。上機(jī)實(shí)驗(yàn)這是學(xué)生消化和吸收三次樣條知識(shí)的實(shí)踐環(huán)節(jié)。

五是總結(jié)報(bào)告。學(xué)生根據(jù)所完成的實(shí)踐任務(wù)寫一份總結(jié)報(bào)告。評(píng)閱總結(jié)報(bào)告是教師了解三次樣條實(shí)踐教學(xué)效果的重要過程。教師通過總結(jié)報(bào)告不但了解了自己的三次樣條實(shí)踐教學(xué)完成的情況，而且可以不斷改進(jìn)和完善三次樣條實(shí)踐教學(xué)。總結(jié)報(bào)告這是教師了解三次樣條教學(xué)效果的實(shí)踐環(huán)節(jié)。

六是反饋。教師對(duì)學(xué)生的總結(jié)報(bào)告進(jìn)行評(píng)判并反饋給學(xué)生，使學(xué)生在總結(jié)和修改中得到提高，也使三次樣條的實(shí)踐教學(xué)達(dá)到最佳效果。教師評(píng)判反饋是學(xué)生不斷完善和提高的教學(xué)環(huán)節(jié)。

四、三次樣條插值實(shí)踐教學(xué)實(shí)例

根據(jù)相關(guān)文章中給出一個(gè)具體三次樣條實(shí)踐教學(xué)實(shí)例——用三次樣條插值設(shè)計(jì)山地公路曲線。

第一是課堂簡(jiǎn)要講授三次樣條和公路曲線設(shè)計(jì)背景，教學(xué)只起點(diǎn)撥作用，主要由學(xué)生課外查閱資料完成對(duì)三次樣條和公路曲線設(shè)計(jì)知識(shí)的學(xué)習(xí)。

第二是在大夫山森林公園實(shí)地選擇一山地坡面進(jìn)行實(shí)地測(cè)量實(shí)地測(cè)量n+1個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(如圖2)，并實(shí)地講解怎樣建立三次樣條數(shù)學(xué)模型，以及公路曲線設(shè)計(jì)方面的基本知識(shí)啟發(fā)學(xué)生思考公路曲線設(shè)計(jì)要考慮的因素和所需測(cè)量數(shù)據(jù)并設(shè)計(jì)出一套方案，其主要目的是讓學(xué)生在輕松的環(huán)境中對(duì)三次樣條建模數(shù)據(jù)有一個(gè)很好的感性認(rèn)識(shí)和理解。

第三是在大夫山森林公園游玩過程中，選擇一約束較大的地形，考察其曲率半徑，作為三次樣條函數(shù)曲率最小設(shè)計(jì)要求。這一環(huán)節(jié)的主要目的是讓學(xué)生思考三次樣條計(jì)算結(jié)果的是否符合公路設(shè)計(jì)要求。

第四是上機(jī)計(jì)算，并寫出實(shí)踐報(bào)告。這是了解實(shí)踐教學(xué)效果環(huán)節(jié)、也是學(xué)生理解三次樣條知識(shí)及其應(yīng)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。 第五是批改報(bào)告并與個(gè)別學(xué)生進(jìn)行交流。這是提升學(xué)生對(duì)三次樣條知識(shí)理解能力的重要環(huán)節(jié)。

五、幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)與思考

1 幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

一是充分相信學(xué)生的能力，以社會(huì)實(shí)踐問題為載體，可以充分挖掘?qū)W生的潛能。在三次樣條插值實(shí)踐教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)很多復(fù)雜的問題，學(xué)生都能解決，深深體會(huì)到學(xué)生不是缺少智慧，而是教師缺少發(fā)現(xiàn)。因此教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)造時(shí)機(jī)，讓學(xué)生充分發(fā)揮想像力，積極地進(jìn)行各種探索研究。

二是充分信任學(xué)生，以實(shí)踐為驅(qū)動(dòng)激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生在三次樣條插值實(shí)踐教學(xué)過程中，測(cè)量工作非常認(rèn)真，對(duì)數(shù)據(jù)要求非常嚴(yán)格，這與平時(shí)做練習(xí)態(tài)度判若兩人。學(xué)生在實(shí)踐過程中有很多問題且很愛提問，這與課堂死氣沉沉的氣氛形成鮮明的對(duì)比。這些現(xiàn)象都是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)社會(huì)實(shí)踐問題感興趣。

三是三次樣條插值實(shí)踐教學(xué)方案要堅(jiān)持四個(gè)方面。三次樣條插值實(shí)踐教學(xué)方案設(shè)計(jì)要堅(jiān)持四個(gè)方面：可行性、開放性、應(yīng)用性、綜合性?？尚行跃褪且紤]到學(xué)生的知識(shí)水平，事先要簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，課外知識(shí)要盡量涉及不多，以防影響學(xué)生的積極性；開放性是指三次樣條插值實(shí)踐方案不要太詳細(xì)，要預(yù)留一部分問題引導(dǎo)學(xué)生思考，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的自覺性和主動(dòng)性；應(yīng)用性是指三次樣條插值問題來源于實(shí)際和生活，可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；綜合性是指數(shù)學(xué)知識(shí)盡量涉及比較多，以便讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)知識(shí)用途廣泛，生活中的數(shù)學(xué)無處不在。

2 幾點(diǎn)思考

一是實(shí)踐環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)給教師提出了新的挑戰(zhàn)。三次樣條插值涉及到的領(lǐng)域很廣，其實(shí)踐教學(xué)受到很大的約束，怎樣利用有限的教學(xué)條件，設(shè)計(jì)出可行、綜合性的三次樣條實(shí)踐教學(xué)方案，對(duì)教師確實(shí)是一個(gè)挑戰(zhàn)。另外實(shí)踐教學(xué)不可預(yù)見性的特點(diǎn)，對(duì)教師的應(yīng)變能力提出了很大挑戰(zhàn)，對(duì)教師的素質(zhì)提出了更高的要求。

二是三次樣條插值實(shí)踐教學(xué)有它的局限性，需要不斷投入和創(chuàng)造條件。由于三次樣條涉及的領(lǐng)域很廣，故實(shí)踐教學(xué)條件一般很難滿足，需要學(xué)校不斷投入和創(chuàng)造條件(例如創(chuàng)造不同學(xué)院實(shí)驗(yàn)條件共亨的條件)。

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(文字編輯、責(zé)任校對(duì)：王麗華)