淺談在“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與應(yīng)用能力

摘 要：“離散數(shù)學(xué)”是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)以及相關(guān)專業(yè)的重要課程。文章從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和手段等方面入手，探討了如何在“離散數(shù)學(xué)”的教學(xué)中提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維與應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思維 應(yīng)用能力

中圖分類號(hào)：641.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

離散數(shù)學(xué)是研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。同時(shí)“離散數(shù)學(xué)”也是計(jì)算機(jī)專業(yè)的許多專業(yè)課程，如程序設(shè)計(jì)語言、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、編譯技術(shù)、人工智能、數(shù)據(jù)庫、算法設(shè)計(jì)與分析、理論計(jì)算機(jī)科學(xué)基礎(chǔ)等必不可少的先行課程，學(xué)生通過對(duì)離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，除了要掌握處理離散結(jié)構(gòu)的描述工具和方法，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件，還應(yīng)該在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提高直覺思維、逆向思維、抽象思維和嚴(yán)格的邏輯推理能力，以及提高應(yīng)用離散數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問題的能力，為將來參與創(chuàng)新性的研究和軟件開發(fā)工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)課程普遍對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力有比較好的作用，而對(duì)學(xué)生的創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)則相對(duì)較弱，本文主要針對(duì)在工科院校中，如何使得“離散數(shù)學(xué)”課程的教學(xué)能達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力的目的，從內(nèi)容、方法和手段等方面進(jìn)行探討。

一、教學(xué)內(nèi)容應(yīng)突出應(yīng)用性

“離散數(shù)學(xué)”是為計(jì)算機(jī)、信息管理、電子技術(shù)等專業(yè)開設(shè)的一門基礎(chǔ)理論課程，在許多工科院校其授課時(shí)間為一個(gè)學(xué)期，離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容涵蓋面非常廣，包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論等四個(gè)主要部分，要在這么短的時(shí)間內(nèi)對(duì)每部分內(nèi)容都細(xì)致深入地講解是不可能的，如何選取適合工科院校學(xué)生的教學(xué)內(nèi)容，是“離散數(shù)學(xué)”教學(xué)中的首要問題。中國科學(xué)院院士吳文俊在1993年的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容改革研討會(huì)上曾指出“任何數(shù)學(xué)都要講邏輯推理，但這只是問題的一個(gè)方面，更重要的是用數(shù)學(xué)去解決問題”，強(qiáng)調(diào)“應(yīng)用”。在總課時(shí)不變的情況下，要加強(qiáng)應(yīng)用，就必須縮短理論講解的時(shí)間，為解決這一矛盾，就要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行篩選，不能面面俱到，要突出重點(diǎn)，以學(xué)生“夠用”為準(zhǔn)則。對(duì)于概念和推理部分，要突出與計(jì)算機(jī)專業(yè)有緊密聯(lián)系的概念和方法層面上，注重基本方法的講解，淡化大量煩瑣的并且不帶有普遍意義的理論證明。比如，證明集合恒等式的定義法和公式法，就是集合證明的一般的方法，取極大路徑是證明圖中存在某個(gè)長度的圈或路徑中常用的一個(gè)輔助工具，都需要進(jìn)行詳細(xì)地講解，而對(duì)于格用關(guān)系的語言定義和用代數(shù)系統(tǒng)的語言兩種定義的等價(jià)性過程就很煩瑣，而且不易理解則注意內(nèi)容和方法的把握。

二、采用多種教學(xué)方式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

教學(xué)最終的目的并不僅是讓學(xué)生掌握已有的知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生通過所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行創(chuàng)新，發(fā)現(xiàn)并解決新問題，這就要在教學(xué)過程中注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。為了使離散數(shù)學(xué)的教學(xué)能達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，我們就要在教學(xué)中激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)上的主動(dòng)性，培養(yǎng)與創(chuàng)造能力密切相關(guān)的抽象思維能力、直覺思維能力和逆向思維能力。

1 采用啟發(fā)式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考的習(xí)慣

目前教學(xué)方法上采用的主要是以老師為主、學(xué)生為次的被動(dòng)的模式。學(xué)生在思維上已經(jīng)產(chǎn)生了等待老師布置才去思考問題的習(xí)慣。啟發(fā)式教學(xué)就是通過引導(dǎo)、設(shè)疑、啟迪來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生擺脫這種依賴慣性，引導(dǎo)學(xué)生參與討論提問并提出有實(shí)際意義的問題，調(diào)動(dòng)其思考和探索的熱情。教師可以在學(xué)習(xí)新的內(nèi)容之前或結(jié)束之后給學(xué)生提出若干問題，讓學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生探究所要研究和解決的問題是什么。例如，“圖論主要是研究什么?請(qǐng)大家回去找?guī)讉€(gè)圖論在實(shí)際應(yīng)用中的應(yīng)用實(shí)例，看看自己是否了解圖論所研究的內(nèi)容，以及對(duì)圖論的研究有什么疑問，這些疑問自己能不能找到答案，”由此引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在講圖論的內(nèi)容時(shí)，先要和學(xué)生講清楚圖論到底是解決什么問題，即將實(shí)際問題抽象為圖這種數(shù)學(xué)模型，再在圖上解決實(shí)際問題。

組織學(xué)生對(duì)主要定理和問題進(jìn)行討論，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題。例如一些教材只給出了歐拉圖的判定定理，而沒有給出如何尋找歐拉回路的具體的方法，這時(shí)可以讓同學(xué)們就如何找歐拉回路進(jìn)行分組討論，每組都給出他們找到的方法。

2 從特殊到一般，培養(yǎng)抽象思維能力

人的認(rèn)識(shí)規(guī)律是從感性到理性，從理性到實(shí)踐，從生動(dòng)的直觀到抽象的思維，再從抽象的思維到實(shí)踐，“離散數(shù)學(xué)”的課堂講授應(yīng)符合這一認(rèn)識(shí)規(guī)律。對(duì)“離散數(shù)學(xué)”中的抽象的概念、結(jié)論和證明，教師在教學(xué)過程中應(yīng)盡可能地將其形象化，多畫圖表、多舉例或進(jìn)行類比。比如在介紹代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)的概念時(shí)，如果僅從定義出發(fā)：沒V1=(A，°)和V2=(B，*)是同類型的代數(shù)系統(tǒng)，f：A→B，且Vx，v∈A有，f(x°y)：f(x)*f(y)，且f是雙射函數(shù)，則稱V1同構(gòu)于V2，學(xué)生仍然無法很清晰地了解兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)的內(nèi)涵，如果給出兩個(gè)同構(gòu)代數(shù)系統(tǒng)包含的運(yùn)算的運(yùn)算表，然后從運(yùn)算表的角度解釋：兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)(A，°)與(B，*)同構(gòu)實(shí)際上是°和*運(yùn)算的運(yùn)算表結(jié)構(gòu)一致，即將°運(yùn)算的運(yùn)算表作行列變換，必然能使得變換后°的運(yùn)算表結(jié)構(gòu)和*的完全相同。這樣學(xué)生就對(duì)原本描述得非常抽象的同構(gòu)定義有了一個(gè)直觀的理解。

3 構(gòu)建知識(shí)塊，強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，鼓勵(lì)大膽猜想，培養(yǎng)直覺思維能力

數(shù)學(xué)教學(xué)中一般比較重視學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)而忽視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力的培養(yǎng)。直覺思維是創(chuàng)造性思維的一種重要形式，它常常表現(xiàn)為提出怪問題、大膽的猜想、設(shè)想出多種新奇的方法等等，直覺地獲得雖然是有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，或靠“機(jī)遇”獲得，而是以扎實(shí)的知識(shí)為基礎(chǔ)，如果沒有深厚的功底，就不會(huì)進(jìn)發(fā)出思維的火花，所以對(duì)基本問題和基本方法的牢固掌握和應(yīng)用是很重要的。因此可以通過構(gòu)建知識(shí)塊來讓學(xué)生掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)。離散數(shù)學(xué)的知識(shí)由定義、定理、公式、法則等組成，并集中地反映在一些基本問題，典型題型或方法模式。許多其他問題的解決往往可以歸結(jié)成一個(gè)或幾個(gè)基本問題，化為某類典型題型，或者運(yùn)用某種方式模式，需要教師在對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深入把握基礎(chǔ)上將它們篩選出來并加以精練。比如說對(duì)某給定圖要證明其存在某長度的路徑或圈，常常需要用到極大路徑或最大路徑，并討論該路徑上兩個(gè)端點(diǎn)的鄰集之間的關(guān)系的方法。

強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，可以發(fā)展幾何思維與類幾何思維。數(shù)學(xué)形象直感是數(shù)學(xué)直覺思維的源泉之一，而數(shù)學(xué)形象直感是一種幾何直覺或空間觀念的表現(xiàn)。對(duì)于非幾何問題則要用幾何眼光去審視分析，這樣就能逐步過渡到類幾何思維。比如，給出一個(gè)偏序集，要判斷該偏序集是否構(gòu)成格，在判斷時(shí)可以在思維中勾勒出該偏序關(guān)系的哈斯圖，從而轉(zhuǎn)化為判斷哈斯圖中任意兩格頂點(diǎn)是否存在最大下界和最小上界。

鼓勵(lì)大膽猜測，養(yǎng)成善于猜想的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。猜想是一種合情推理，培養(yǎng)敢于猜想、善于探索的思維習(xí)慣是形成直覺思維的基本素質(zhì)。教師應(yīng)該在教學(xué)中鼓勵(lì)并創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生能大膽地提出各種想法。例如教師可以在講解完例題之后或在作業(yè)中讓學(xué)生尋找新的解法，在討論中鼓勵(lì)學(xué)生提出各種與課程內(nèi)容相關(guān)的問題。

4 換角度思考，培養(yǎng)逆向思維能力

正向思維是指沿著人們的習(xí)慣性思考路線去思考，而逆向思維則是指與人們的習(xí)慣路線向相反方向去思維。例如“司馬光砸缸”，有人落水，常規(guī)的思維模式是“救人離水”，而司馬光運(yùn)用了逆向思維，果斷地用石頭把缸砸破，“讓水離人”，救了小伙伴性命。運(yùn)用逆向思維去思考和處理問題，常?？梢赃_(dá)到“出奇制勝”的效果，結(jié)果往往令人滿意。在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練，可提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。在離散數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)概念和定理，可以采用正向思維的方式進(jìn)行講解，而對(duì)于定理的應(yīng)用，可

27以啟發(fā)學(xué)生多應(yīng)用逆向思維解決。比如一階邏輯的推理部分，對(duì)于前提引入規(guī)則、結(jié)論引入規(guī)則、置換規(guī)則和量詞的引入和消去規(guī)則，可以采用正向思維進(jìn)行講解；對(duì)于給定前提和結(jié)論，要求構(gòu)造推理的證明的題目，則可以采用逆向思維進(jìn)行講解。比如：給出的前提是：ExF(x)，Vx(F(x)→G(a)∧R(x))，結(jié)論是：Ex(F(x)∧Pt(x))。要證明結(jié)論Ex(F(x)VR(x))，也就是要證明存在某個(gè)體c，使得F(c)AR(c)成立，而有前提3xF(x)，因此可以選擇c，為使得F(c)為真的個(gè)體，而由前提Ex(F(x)vG(a)∧R(x))可知：F(c)→G(a)A∧R(c)，因此，原來的謂詞邏輯的推理問題就可以轉(zhuǎn)換為前提為：F(c)和F(c)→C(a)AR(c)，結(jié)論為F(c)(R(c)的命題邏輯的推理問題。

三、理論聯(lián)系實(shí)際，加強(qiáng)建模訓(xùn)練，提高應(yīng)用能力

學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的理論、方法，不僅是為了鍛煉思維能力，更重要的是應(yīng)用這個(gè)數(shù)學(xué)工具輔助我們解決實(shí)際問題。要達(dá)到這個(gè)目的，首先要令學(xué)生具有運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)規(guī)律大多是由實(shí)際問題抽象出來的，在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)從實(shí)際事例或?qū)W生已有知識(shí)出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)原型加以抽象、概括，弄清知識(shí)的抽象過程。此外，還要了解所學(xué)離散數(shù)學(xué)知識(shí)與相關(guān)學(xué)科之間的聯(lián)系，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)理論去聯(lián)系實(shí)際問題，從而培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。例如在介紹圖論的時(shí)候，可以從圖論的起源“哥尼斯堡七橋”問題引入，分析歐拉是如何從實(shí)際問題抽象出圖，再利用抽象出的圖解決實(shí)際問題。而且在每章開始之前，都可以對(duì)這章內(nèi)容的起源和應(yīng)用背景進(jìn)行介紹，這樣可以加強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

具有應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，還要有應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。離散數(shù)學(xué)是個(gè)建立離散數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)工具，要提高應(yīng)用離散數(shù)學(xué)的能力，就要對(duì)學(xué)生加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練。在教學(xué)中，教師可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選編一些綜合性較強(qiáng)的應(yīng)用實(shí)例對(duì)學(xué)生進(jìn)行建模訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括為數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的建立離散數(shù)學(xué)模型的能力，從而提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。離散數(shù)學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，具有廣泛的應(yīng)用背景，與許多實(shí)際問題密切相關(guān)。例如：給定若干前提的推理問題，可以用離散數(shù)學(xué)中的數(shù)理邏輯進(jìn)行建模，從而由計(jì)算機(jī)進(jìn)行推理；為要傳輸?shù)臄?shù)據(jù)尋找最優(yōu)的傳輸碼可以用二叉數(shù)進(jìn)行建模，等等。

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(文字編輯、責(zé)任校對(duì)：鄒 紅)