經(jīng)濟(jì)模型中帶虛變量回歸分析正規(guī)方程的解

[摘要] 本文介紹了一種求解經(jīng)濟(jì)模型中帶虛變量回歸分析正規(guī)方程的方法，其基本思想是借助正規(guī)方程系數(shù)矩陣自身性質(zhì)對(duì)方程的解進(jìn)行分析并分步求解，通過(guò)解的結(jié)構(gòu)的分析使求解過(guò)程細(xì)化、可行。實(shí)踐證明這一求解理論使經(jīng)濟(jì)模型中帶虛變量回歸分析中正規(guī)方程可解。

[關(guān)鍵詞] 解 正規(guī)方程 虛變量

一、引言

經(jīng)濟(jì)模型中帶虛變量回歸分析的正規(guī)方程的系數(shù)矩陣不是滿秩的，因此無(wú)法通過(guò)克萊姆法則求解，這就給解正規(guī)方程帶來(lái)很大不便。那么，這類正規(guī)方程解的構(gòu)成是怎樣的形式，具體又如何求解，這就是本文所要解決的問(wèn)題，在這里求解過(guò)程主要是借助正規(guī)方程系數(shù)矩陣自身所具備的一些特殊的優(yōu)越性質(zhì)，深入分析方程解的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而求解的。

二、正規(guī)方程的導(dǎo)出

1.反應(yīng)矩陣

(1)反應(yīng)

經(jīng)濟(jì)模型中當(dāng)自變量以虛變量出現(xiàn)時(shí)，以i代表樣本，j代表自變量，k代表虛變量水平，用變量表示第i個(gè)樣本第j個(gè)自變量取第k個(gè)水平的反應(yīng)，即：

(2)反映矩陣

將有n個(gè)樣本，m個(gè)自變量，其中第j個(gè)自變量有rj個(gè)水平的反應(yīng)表寫成矩陣的形式稱為反映矩陣，記為：

;

矩陣中元素不為0即為1。

2.正規(guī)方程導(dǎo)出

(1)方程的導(dǎo)出

設(shè)n表示樣本容量；有m個(gè)自變量，其中有個(gè)水平，;這些變量與因變量y有統(tǒng)計(jì)的線性關(guān)系；是依賴于第j個(gè)自變量的待估參數(shù)；是誤差，假定相互獨(dú)立且同分布；再設(shè):

，

，則線性關(guān)系式可記為： ，其矩陣形式為：，現(xiàn)在運(yùn)用回歸分析中最小二乘法原理[4]對(duì)進(jìn)行估計(jì)，若要使殘差平方和最小，則令：

可得到：

其中和，整理得：由所設(shè)向量將方程轉(zhuǎn)化成矩陣形式：此方程即正規(guī)方程。

(2)方程的性質(zhì)

①正規(guī)方程的系數(shù)矩陣是非滿秩的。

②正規(guī)方程是相容的，即正規(guī)方程一定有解。

③正規(guī)方程中對(duì)各個(gè)自變量相應(yīng)的系數(shù)之和皆相等。

即若：代表正規(guī)方程中第i個(gè)方程，第j個(gè)自變量，對(duì)應(yīng)的系數(shù)，則有：

三、正規(guī)方程的解

1.正規(guī)方程的特解

(1)正規(guī)方程系數(shù)矩陣的秩

由前面推導(dǎo)得正規(guī)方程系數(shù)矩陣是行列的非滿秩的矩陣，并且，m個(gè)自變量的反應(yīng)矩陣至少有m個(gè)列向量線性相關(guān)，那么若m-1刪去列后其秩小于等于。為便于推導(dǎo)，不妨將其秩暫設(shè)為。

(2)正規(guī)方程的特解

正規(guī)方程系數(shù)矩陣秩設(shè)為．求解時(shí)，先刪去第j個(gè)自變量第一個(gè)水平所對(duì)應(yīng)的方程，共計(jì)m個(gè)，再令后，余下的方程系數(shù)矩陣就是滿秩的了，可通過(guò)克萊姆法則求解得：

使得成立，其中稱為正規(guī)方程特解。

2.正規(guī)方程的通解

(1)正規(guī)方程任意解B%

由前(2)方程的性質(zhì)，正規(guī)方程系數(shù)矩陣是非滿秩且正規(guī)方程相容，那么正規(guī)方程一定有解且有無(wú)窮多組解，現(xiàn)設(shè)B%為正規(guī)方程任意一組解，則滿足

其中：

(2)方程的解

其中：計(jì)r1個(gè)；計(jì)r2個(gè)；計(jì)rm;共計(jì)個(gè)。

將代入齊次方程中，若設(shè)系數(shù)矩陣第i行表為：

由正規(guī)方程性質(zhì)（3）有：

使齊次方程成立也即為齊次方程的解。

(3)正規(guī)方程的通解

記正規(guī)方程的通解為，那么由前，那么有：，即為齊次方程的解而也是的解，所以的通解可以表示為：，形式，其中同上所設(shè)。

即正規(guī)方程通解為：

四、小結(jié)

經(jīng)濟(jì)模型中帶虛變量正規(guī)方程系數(shù)矩陣是非滿秩的，但又一定有解。求解過(guò)程中可以分兩步進(jìn)行，首先，將正規(guī)方程系數(shù)矩陣降節(jié)后轉(zhuǎn)化成滿秩矩陣再使用克拉姆法則求其特解;其次，借助正規(guī)方程中各個(gè)自變量相應(yīng)系數(shù)之和皆相等的特殊性質(zhì)與任意解B%，可找到正規(guī)方程所對(duì)應(yīng)齊次方程的解；最后，將特解與齊次方程解加和即得正規(guī)方程通解。

參考文獻(xiàn)：

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