數(shù)學(xué)實驗在計算方法課程建設(shè)中的應(yīng)用

文章編號：1672-5913(2008)10-0067-02

摘要：本文論述了在計算方法課程建設(shè)中，應(yīng)用數(shù)學(xué)實驗手段進行課程的教學(xué)改革，使學(xué)生更好地了解計算方法各種數(shù)值算法的背景、概念和設(shè)計，提高他們的探究和自學(xué)能力。

關(guān)鍵詞：計算方法；課程建設(shè)；數(shù)學(xué)實驗

中圖分類號：G642

文獻標(biāo)識碼：B

計算方法是以數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)，以計算機為計算工具，研究在計算機上解決數(shù)學(xué)問題的方法，是與計算機發(fā)展密切相關(guān)的一門課程。隨著計算機硬件性能的不斷升級和軟件工具的不斷更新以及計算應(yīng)用的日益普及和深入，促使計算方法課程的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法也需要“與時俱進”的進行調(diào)整和改革。

數(shù)學(xué)實驗是將實際問題通過數(shù)學(xué)的理論和方法轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并進而使用理論分析或科學(xué)汁算的手段解決問題的過程。近年來，隨著素質(zhì)教育改革的深入和汁算機應(yīng)用的普及，繼數(shù)學(xué)建模課得到普遍開設(shè)之后，數(shù)學(xué)實驗課程升設(shè)成為大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的—個探索方向。

在計算方法課程建設(shè)中，需重視數(shù)學(xué)實驗，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點，充分運用數(shù)學(xué)實驗手段，從而培養(yǎng)學(xué)生探究能力。本文就應(yīng)用數(shù)學(xué)實驗思想改革計算方法課程提幾點建議。

1運用數(shù)學(xué)實驗幫助學(xué)生了解算法背景

目前的計算方法課程，一般是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的不同而分門別類的介紹各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法。對于各種數(shù)值方法，按照嚴(yán)密的邏輯體系，從方法的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程、幾何意義、計算公式和收斂情況、誤差分析及應(yīng)用例題循序漸進的逐一討論。在學(xué)生眼里，計算方法就是教材中用抽象的數(shù)學(xué)符號表示的計算公式和收斂定理的證明，其應(yīng)用就是計算在數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)等課程中的數(shù)學(xué)題目，這樣一來計算方法的來源和背景在教學(xué)過程中很容易被掩蓋。但是，借助于數(shù)學(xué)實驗手段對實際問題在計算機上進行編程、模擬、數(shù)據(jù)分析，可以了解數(shù)值算法的工程背景，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，從而能夠更好地設(shè)計算法。

例如，運行數(shù)學(xué)軟件matlab程序

figure

set(gcf，'menubar'，'none')

axes('position'，[0 0 1 1])

[x，y]=ginput

然后將你的手直接放在彈出窗口中，用鼠標(biāo)點擊選取需要的插值點，最后回車得到所有插值點的坐標(biāo)。但是怎樣才能根據(jù)幾個坐標(biāo)在屏幕上“顯現(xiàn)”出你的手呢？如果學(xué)過計算方法中插值的知識，通過這個例子可以了解到插值的工程背景，分析該問題，可用構(gòu)造“參數(shù)曲線”的方法，即在參數(shù)區(qū)間上選取 個插值點，然后用三次樣條插值構(gòu)造逼近函數(shù)在 個點上的值，最后以這 個點作出圖形。如下圖所示。

上例中，從模擬人手的形狀進行探索試驗，通過對少量數(shù)據(jù)的分析，找出更多數(shù)據(jù)的求值方法，從而確定各種數(shù)值方法所適應(yīng)的問題背景，這整個過程便是應(yīng)用了數(shù)學(xué)實驗的思想，可見數(shù)學(xué)實驗也是培養(yǎng)學(xué)生探索能力的有力載體。數(shù)學(xué)實驗具有直觀性、操作性、反復(fù)性、探索性等特點，在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程中。在實際問題的解決過程中，恰當(dāng)運用數(shù)學(xué)實驗手段，可以使學(xué)生直接地觀測、親自動手操作、深入思考分析、反復(fù)探索研究。因此在計算方法課程的教學(xué)過程中，充分重視數(shù)學(xué)實驗，學(xué)生探索能力自然會得到不斷提升．

2運用數(shù)學(xué)實驗幫助學(xué)生形成算法概念

解決數(shù)學(xué)問題時，常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思維，但有些問題按照這樣的思維方式求解。往往打不開思維，形成不了思路，借助于數(shù)學(xué)實驗手段對問題進行探究，能幫助我們越過或繞過問題的障礙，克服思維上的困難，逐步形成解決問題的新思路、新途徑。

在計算方法課程的眾多算法中，許多概念或知識都來源于工程、經(jīng)濟領(lǐng)域。可以通過數(shù)學(xué)實驗幫助引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實經(jīng)驗中抽象出數(shù)值算法的概念和過程，可通過實驗對各種算法進行探索、比較，然后將得到的結(jié)論歸納整理成一個有意義的整體，繼而對算法的思想產(chǎn)生頓悟、理解，逐步形成新的概念或新的知識．

例如，計算方法的截斷誤差是數(shù)值計算中誤差的重要來源，然而不是唯一的！學(xué)生對這個概念理解起來還是有些困難的，但是如果在實驗中確定已將 取道足夠小的話，特別在高階導(dǎo)數(shù)的計算中，就會發(fā)現(xiàn)當(dāng) 小到一定程度之后，數(shù)值計算結(jié)果的誤差不但不再減小，反而會變大！(見下圖)事實上，當(dāng)步長 過小時，計算結(jié)果的誤差變大就是由于舍入誤差的緣故。利用這一生動直觀的實驗展開探索，使學(xué)生對“截斷誤差”的概念以及它與舍入誤差的關(guān)系有了一個感性上較為明確的認(rèn)識，同時也增強了學(xué)生主動探索問題的能力．

可見，在課程的教學(xué)過程中，借助數(shù)學(xué)實驗手段積極引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)軟件，大膽的去編程、試驗、探討，使數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)成為一種主動的探究過程。

3運用數(shù)學(xué)實驗幫助學(xué)生更好地設(shè)計算法

應(yīng)用計算機解決科學(xué)技術(shù)中的具體問題時，首先要將具體問題抽象為數(shù)學(xué)問題，即建立能描述等價代替實際問題的數(shù)學(xué)模型，其次是為該數(shù)學(xué)問題選擇合適的計算方法，然后再應(yīng)用程序設(shè)計語言編程或應(yīng)用數(shù)學(xué)工具軟件在計算機上計算并分析計算結(jié)果。在進行程序設(shè)計時，必須要先將具體的計算方法描述為算法。算法設(shè)計是程序設(shè)計的核心和關(guān)鍵，只要算法是正確的，由程序設(shè)計語言去實現(xiàn)算法就不會有太多困難。同時，用流程圖表示的算法具有直觀性，當(dāng)由抽象的數(shù)學(xué)符號和公式表示的各種計算方法一旦描述成算法，就變成了非常直觀和淺顯的東西，借助算法，學(xué)生可以“看到“計算方法在計算機上是怎樣實現(xiàn)的，能夠幫助學(xué)生更深刻的理解計算方法。

雖然在程序設(shè)計語言課程中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些算法設(shè)計方法，并掌握了一些最基本、最常用的算法，但是，對多數(shù)學(xué)生來說，由于計算方法所解決問題的復(fù)雜性和專業(yè)性，將其設(shè)計為算法并不是一件容易的事。以解線性方程組的高斯主元素消去法為例，將選主元素、消元、回代的計算過程設(shè)計為算法，需要綜合應(yīng)用選擇矩陣最大值、矩陣運算、循環(huán)、遞推等基本算法。而計算方法課程如果不解決算法設(shè)計問題，那么這些數(shù)值計算方法對于學(xué)生來說仍然是“紙上談兵”。但是，借助數(shù)學(xué)實驗手段，我們可以更好地總結(jié)出不同算法之間的區(qū)別，各自的優(yōu)缺點以及它們的重要性質(zhì)，從而能夠更好地設(shè)計出適合的數(shù)值算法。

例如，用y=xfrac12;在x=0，1，4，9，16產(chǎn)生5個節(jié)點P₁，…P₅。用幾種不同的節(jié)點(如用P₃，P₄構(gòu)造，或用P₁，P₂，P₄，P₅構(gòu)造或用 構(gòu)造)構(gòu)造拉格朗日插值公式來計算x=5處的插值，學(xué)生通過進行數(shù)學(xué)實驗，用幾種不同的節(jié)點構(gòu)造插值，最后得出結(jié)論當(dāng)選取x=5附近的點作為插值節(jié)點時得到的數(shù)值結(jié)果較精確。

所以，通過數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生借助特例，通過不完全歸納，自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提出猜想、然后再論證。在這里通過編制程序、觀察分析、歸納猜想的過程。不僅是一項很有意義的“思考性實驗”，更是錘煉探索能力的有效途徑。

參考文獻

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