高等數(shù)學知識在經(jīng)濟中的應用探討

[摘 要] 高等數(shù)學知識在經(jīng)濟研究中起著基礎性作用，只有學好高等數(shù)學知識，才能更好的理解剖析經(jīng)濟現(xiàn)象，掌握經(jīng)濟知識。我們就數(shù)學專業(yè)的課程—數(shù)學分析、高等代數(shù)、概率與數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)值分析、模糊數(shù)學、泛函分析等說明數(shù)學知識在經(jīng)濟研究中的重要性。

[關鍵詞] 數(shù)學知識 經(jīng)濟 應用

許多大經(jīng)濟學家同時又是大數(shù)學家，數(shù)學與經(jīng)濟有著密不可分的聯(lián)系。分別獲得1970年和1972年諾貝爾經(jīng)濟學獎的薩繆爾森和?？怂故且蛩麄冇脭?shù)學方式研究一般經(jīng)濟均衡體系而著稱。而最終在1954年給出一般經(jīng)濟均衡存在性的嚴格證明的是阿羅和德布魯。他們對一般經(jīng)濟均衡問題給出了富有經(jīng)濟含義的數(shù)學模型，利用1941年日本數(shù)學夾角谷靜夫?qū)?911年發(fā)表的荷蘭數(shù)學家布勞維爾提出的不動點定理的推廣，才給出的經(jīng)濟均衡價格體系的存在性證明。他們倆人也因此先后于1972年和1983年獲諾貝爾經(jīng)濟學獎。可見數(shù)學知識在經(jīng)濟研究中的重要性。我們下面從數(shù)學分析、高等代數(shù)、概率與數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)值分析、模糊數(shù)學、泛函分析等幾門數(shù)學專業(yè)課進一步說明這一點。

一、數(shù)學分析在經(jīng)濟中的應用

1.極限部分的應用

經(jīng)濟中，極限是由離散情形推廣到連續(xù)情形的一種常用思想。例如：假設數(shù)額A以年利率R投資了n年，如果每年計m次利率，則終值為。當m趨于無窮大時，就稱為連續(xù)復利。在連續(xù)復利情況下，數(shù)值A以利率R投資n年后，將達到:

即（重要極限）

2.微積分學部分在經(jīng)濟中的應用

微分學是與經(jīng)濟學聯(lián)系最緊密的一部分。數(shù)學分析中的條件極值的必要條件在經(jīng)濟中有所應用。一元函數(shù)微分和多元函數(shù)全微分在經(jīng)濟中都是屢見不鮮的。例如彈性、邊際效用、規(guī)模報酬、柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)、拉弗橢圓、貨幣乘數(shù)、馬歇爾－勒那條件、李嘉圖模型等無數(shù)的經(jīng)濟概念和原理是在充分運用導數(shù)、積分、全微分等各種微積分知識構(gòu)建的。金融經(jīng)濟學中一階隨機占優(yōu)定理和二階隨機占優(yōu)定理中不僅涉及到微積分而且涉及到概率統(tǒng)計。

例如（一階隨機占優(yōu)定理）設為兩個只取有限區(qū)間中的值的隨機變量，和分別為它們的分布函數(shù)，那么一階隨機占優(yōu)于的充要條件為

證明：所謂一階隨機占優(yōu)于，是指對于上述函數(shù)類中的任何有，

即但由分部積分法

其中我們要注意到，由于F-G實際上只在一個有限區(qū)間中不為零，上述的積分其實都是只在有限區(qū)間中進行的。這一等式對于任何非負可測函數(shù)成立?？紤]到隨機變量的分布函數(shù)都是右連續(xù)左有極限的遞增函數(shù)，容易證明，最后一個表達式非負的充要條件為。

二、高等代數(shù)在經(jīng)濟中的應用

高等代數(shù)作為一個將復雜多元方程簡單化求解的數(shù)學工具，對分析多種變量相互影響而產(chǎn)生復雜經(jīng)濟現(xiàn)象的經(jīng)濟學的貢獻可謂是不言而喻的。比如欲預測10年后某地區(qū)的房屋價格，可通過搜集人均收入、土地價格、建筑原材料價格等多種變量的基期數(shù)據(jù)，用假定和計量的方法、統(tǒng)計學的知識分析房屋價格與各因素的相關程度并用高等代數(shù)的數(shù)學方法解多元線性方程組，從而計算出相應公式，再加入通貨膨脹、利息率等現(xiàn)實因素，便可大致模擬出10年后該地的房屋價格。

三、概率與數(shù)理統(tǒng)計在經(jīng)濟中的應用

概率論在保險學中得到最強勢的發(fā)揮。金融經(jīng)濟學中用到隨機變量的數(shù)學期望、方差、協(xié)方差等。要通過基本概率論的概念才能來理解隨機游走、布朗運動、隨機積分、伊藤公式等概念。概率論中的隨機游走概念和-域的概念在有效市場理論中起本質(zhì)作用。布萊克-肖爾斯期權(quán)定價理論需要概率論中的中心極限定理，它的證明涉及隨機變量的特征函數(shù)等概念，還涉及隨機序列、鞅等概念。又例如切比雪夫大數(shù)法則：設是由相互獨立的隨機變量所構(gòu)成的序列，每一隨機變量都有有限方差，并且它們有公共上界:，則對于任意的，都有:

這一法則的結(jié)論運用可以說明，在承保標的數(shù)量足夠大時，被保險人所交納的純保險費與其所能獲得賠款的期望值相等。這個結(jié)論反過來，則說明保險人應如何收取純保費。

四、模糊數(shù)學在經(jīng)濟中的應用

當上市公司信用評價中的綜合分析評價法的各因素具有模糊概念時，權(quán)重就帶有模糊性。這時如利用普遍的方法就不可避免地帶有片面性和主觀性。而模糊數(shù)學就是利用數(shù)學方法來處理客觀實際和人類主觀活動中存在的模糊現(xiàn)象，于是借助模糊數(shù)學的經(jīng)濟評價方法就隨之產(chǎn)生。綜合評價法一方面集合了AHP法與專家調(diào)查法在財務指標評價方面的優(yōu)勢，另一方面發(fā)揮了模糊評價方法在具有模糊性的指標評價中的獨特作用，因而它能更客觀地、更全面地對上市公司的信用進行評價。

五、數(shù)值分析在經(jīng)濟中的應用

若衍生證券估值沒有精確解析公式時，可用數(shù)值計算方法。包括二叉樹圖方法、蒙特卡羅模擬方法和有限差分方法。

六、泛函分析在經(jīng)濟中的應用

在金融學中，許多情況下都要在希爾伯特空間中考慮問題，而希爾伯特空間為泛函分析中的重要內(nèi)容。例如希爾伯特空間中的黎斯表示定理：黎斯表示定理指出，希爾伯特空間上的連續(xù)線性函數(shù)一定可通過某個元素對其他元素的內(nèi)積來表示。它對金融經(jīng)濟學的意義在于：如果“市場”[由方差有限的某些隨機變量（證券的未來價值）所張成的希爾伯特空間] 有連續(xù)的線性定價函數(shù)，那么它一定可通過某個“定價證券”（即“隨機折現(xiàn)因子”）來表示。

當然，經(jīng)濟學中還涉及到高等數(shù)學中的微分方程、數(shù)學建模、精算數(shù)學、最優(yōu)化理論、幾何等知識。可見，高等數(shù)學知識在經(jīng)濟中的重要作用。對于經(jīng)濟類專業(yè)的初學者，要重視這一點，學好經(jīng)濟專業(yè)課的同時，學好高等數(shù)學方面的課程。為進一步研究經(jīng)濟打好基礎。

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