對(duì)數(shù)學(xué)猜想的認(rèn)識(shí)和思考

摘 要：數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力，也是實(shí)現(xiàn)問題解決的一種重要的思維方法，是創(chuàng)新思維的重要組成部分。它是初中學(xué)生的思維特點(diǎn)決定的。我們數(shù)學(xué)教師務(wù)必認(rèn)真鉆研教材，多看、多練，善于總結(jié)各種解決數(shù)學(xué)問題的方法，不斷加強(qiáng)自己思維能力訓(xùn)練，不斷探索猜想規(guī)律以及猜想途徑，總結(jié)猜想經(jīng)驗(yàn)，使自己具有較強(qiáng)的猜想基本功；更重要的是探索培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的教學(xué)方法。

關(guān)鍵詞：課程標(biāo)準(zhǔn) 數(shù)學(xué)猜想 創(chuàng)新思維 思維能力訓(xùn)練

中圖分類號(hào):G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào): 1673-1875(2008)12-128-01

新的課程標(biāo)準(zhǔn)要求我們教者在課堂教學(xué)中能根據(jù)教學(xué)內(nèi)容采用猜想、驗(yàn)證的方法去導(dǎo)出相關(guān)結(jié)論。就此，談點(diǎn)對(duì)數(shù)學(xué)猜想的認(rèn)識(shí)和思考。

一、對(duì)數(shù)學(xué)猜想的理性認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力。科學(xué)發(fā)現(xiàn)的先導(dǎo)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)方法的研究?？v觀歷史上的一些著名數(shù)學(xué)猜想，如哥德巴赫猜想、費(fèi)爾馬猜想、希爾伯特猜想，對(duì)數(shù)學(xué)研究和發(fā)展起了積極的推動(dòng)作用。正是無數(shù)數(shù)學(xué)家們的猜想，數(shù)學(xué)科學(xué)才發(fā)展到當(dāng)今的現(xiàn)代科學(xué)。

數(shù)學(xué)猜想是實(shí)現(xiàn)問題解決的一種重要的思維方法，是創(chuàng)新思維的重要組成部分。建構(gòu)主義認(rèn)為，知識(shí)并非是主體對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的被動(dòng)的鏡面式反映，而是一個(gè)主動(dòng)的建構(gòu)過程。數(shù)學(xué)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)的內(nèi)部過程，往往要通過思維構(gòu)造去實(shí)現(xiàn)意義建構(gòu)，學(xué)習(xí)者在建構(gòu)自己的知識(shí)和理解的過程中要能不斷地思考，不斷地對(duì)各種信息進(jìn)行加工、轉(zhuǎn)換，形成假設(shè)和檢驗(yàn)。所以，猜想是數(shù)學(xué)建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)時(shí)，主體思維的關(guān)鍵步驟，必不可少的思維方法，它可以促進(jìn)知識(shí)的同化，加速知識(shí)的發(fā)生和遷移，具有假設(shè)性、科學(xué)性、敏捷性、靈活性、批判性等特點(diǎn)。美國(guó)著名數(shù)學(xué)家喬治·波利亞在《數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)》一書中寫道：“假如你希望用一句話來說明什么是科學(xué)的方法，那么我提議，它是猜想和檢驗(yàn)”《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出，學(xué)生的“推理能力主要表現(xiàn)在：能通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步給出證明或舉出反例。”這明顯看出，數(shù)學(xué)猜想是思維能力的范疇，是義務(wù)教育的培養(yǎng)目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)猜想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的必然要求，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，重結(jié)果、輕過程；重演繹、輕猜想；極大地妨礙了學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)，尤其妨礙了學(xué)生可持續(xù)發(fā)展?jié)摿Φ耐诰?。隨著形勢(shì)發(fā)展，對(duì)人才的要求越來越高，特別是培養(yǎng)創(chuàng)新才能的高素質(zhì)人才，已是21世紀(jì)時(shí)代發(fā)展的需求，也是國(guó)際潮流所致。所以，數(shù)學(xué)內(nèi)容及教學(xué)方法的更新，已成為時(shí)代發(fā)展的必由之路。教育部頒發(fā)的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）的<基本理念>中提出，“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容，應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)?！痹?lt;教學(xué)建議>中指出，“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不能單純地依賴模仿與記憶，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而使學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和有效的學(xué)習(xí)策略”，因此，我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，教猜想、學(xué)猜想，培養(yǎng)學(xué)生的猜想意識(shí)、猜想習(xí)慣、猜想能力等，是目前素質(zhì)教育、創(chuàng)新教育的必然要求，更是主體性學(xué)習(xí)、研究性學(xué)習(xí)、創(chuàng)新學(xué)習(xí)的有效途徑。

數(shù)學(xué)猜想是初中學(xué)生的思維特點(diǎn)決定的。初中學(xué)生是思維處于形象思維向邏輯抽象思維的過渡階段，雖然這種邏輯思維處于經(jīng)驗(yàn)型，但已開始顯露出思維的獨(dú)立性、批判性，他們富于想象，渴望獨(dú)立思考得出結(jié)論，不滿足教材上的內(nèi)容及方法，能大膽地提出一些新的問題、設(shè)想、見解、，在解題中往往樂于嘗試新的方法，一題多解，喜歡爭(zhēng)論，自己探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)果，試圖總結(jié)一些規(guī)律。所以，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)猜想的教學(xué)，正是培養(yǎng)學(xué)生能力的有效途徑及方法，是初中學(xué)生思維發(fā)展特點(diǎn)所決定的。我們應(yīng)抓住初中這一關(guān)鍵時(shí)期，因勢(shì)利導(dǎo)，給出一些行之有效的原則及具體方法，作一定范圍內(nèi)的一般方法的探討，形成良好思維定勢(shì)之外，更重要的是注重?cái)?shù)學(xué)思維活動(dòng)的展開，通過數(shù)學(xué)猜想、檢驗(yàn)去探索數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)及創(chuàng)新能力。

二、對(duì)數(shù)學(xué)猜想的教學(xué)思考

讓數(shù)學(xué)猜想走進(jìn)初中數(shù)學(xué)課堂，教師的猜想能力、教學(xué)方法，均直接影響學(xué)生猜想能力的培養(yǎng)。

首先，教師的數(shù)學(xué)猜想能力是關(guān)鍵。我們可以想象，一個(gè)既不懂得猜想、也不會(huì)猜想的教師，很難去教學(xué)生去猜想，更談不上培養(yǎng)出高水平猜想能力的學(xué)生。所以，我們數(shù)學(xué)教師務(wù)必認(rèn)真鉆研教材，多看、多練，善于總結(jié)各種解決數(shù)學(xué)問題的方法，不斷加強(qiáng)自己思維能力訓(xùn)練，不斷探索猜想規(guī)律以及猜想途徑，總結(jié)猜想經(jīng)驗(yàn)，使自己具有較強(qiáng)的猜想基本功。在這里，我借鑒上海師大胡炯濤老師對(duì)猜想的分類，結(jié)合自己的教學(xué)體會(huì)，介紹幾種猜想方法，僅供參考：

1、類比猜想：把某一方面或幾個(gè)方面彼此一致的新舊內(nèi)容放在一起進(jìn)行比較，由此及彼，產(chǎn)生聯(lián)想，條件相似，猜出結(jié)論相似。例如：分式與分?jǐn)?shù)類比猜出分式的基本性質(zhì)及運(yùn)算法則；證明比例線段，猜想所在三角形相似等。

2、歸納猜想：以觀察到的數(shù)學(xué)問題的某些特殊事實(shí)為依據(jù)，利用歸納法建立一般性命題，即個(gè)別到一般的猜想方法。例如：由幾個(gè)有理數(shù)的運(yùn)算，猜想有理數(shù)的一般運(yùn)算法則；二次根式的乘法法則和除法法則等，均可由特殊情況猜想一般結(jié)論。

3、直覺猜想：通過實(shí)驗(yàn)、演示、圖形、式子的現(xiàn)象去猜想得出結(jié)論。例如：由學(xué)生用量角器測(cè)量幾個(gè)三角形的3個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，相加后近似于180度，猜想三角形的內(nèi)角和定理；證幾何題時(shí)，如果圖形規(guī)范、準(zhǔn)確，從外觀猜出某兩個(gè)三角形相似或全等，啟動(dòng)思維，證明相關(guān)結(jié)論。

4、演繹猜想：由一般到特殊作猜想。比如：由平行四邊形的性質(zhì)猜出矩形的性質(zhì)，幾何命題中的推論均可由演繹猜想得出。

5、遷移猜想：用已有知識(shí)去理解所學(xué)的新知識(shí)，由已有經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)去解決新問題，當(dāng)新舊知識(shí)、新舊問題本質(zhì)一致時(shí)，以類化方式發(fā)展其認(rèn)知，作出猜想。例如：由合并同類項(xiàng)的方法猜想根式運(yùn)算中合并同類二次根式的計(jì)算方法；俗話說，熟能生巧，這里“巧”就是對(duì)知識(shí)的理解，解題方法的遷移。

6、極端猜想：當(dāng)研究的變量個(gè)數(shù)和條件較多時(shí)，可采用抓小放大，從研究問題的極端狀態(tài)去猜想。

其實(shí)，探索培養(yǎng)學(xué)生猜想能力的教學(xué)方法，更是我們數(shù)學(xué)教師的當(dāng)務(wù)之急。喬治·波利亞在數(shù)學(xué)名著《數(shù)學(xué)與猜想》中指出：“在證明一個(gè)數(shù)學(xué)問題之前，你先得猜測(cè)這個(gè)問題內(nèi)容，在你完全做出詳細(xì)證明之前，你先得推測(cè)證明的思路……只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程還能反映數(shù)學(xué)的發(fā)明過程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測(cè)合情合理地占有適當(dāng)?shù)奈恢??！闭f明我們?cè)跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)中，必須滲透“猜想+證明”的科學(xué)思維過程，特別是要揭示知識(shí)的發(fā)生過程，教師的任務(wù)不是把結(jié)論和盤托出，而是通過教師思維活動(dòng)的展示去激活學(xué)生的思維活動(dòng)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程變成數(shù)學(xué)家當(dāng)時(shí)探索過程、猜想驗(yàn)證過程，自己去探索數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論。讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，認(rèn)為不是老師教給我什么數(shù)學(xué)知識(shí)，而是我發(fā)現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)知識(shí).同時(shí)，我們的課堂教學(xué)必須是開放式的教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，不迷信已有的結(jié)論，不滿足現(xiàn)成答案，大膽猜想、不斷開拓，隨時(shí)點(diǎn)燃學(xué)生猜想的導(dǎo)火線，使學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，變被動(dòng)猜想為主動(dòng)猜想，師生合作，共同構(gòu)鍵一個(gè)生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)猜想共同體。讓數(shù)學(xué)猜想真正落實(shí)到課堂教學(xué)之中。

參考文獻(xiàn)：

[1][美]喬治·波利亞.數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)[M].科學(xué)出版社

[2]劉潔文.讓我們合理地猜想[M].中國(guó)人民大學(xué)出版社

[3]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S]