關(guān)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探討

摘 要：數(shù)學(xué)建模的思想就是用數(shù)學(xué)的思路、方法去解決實(shí)際生產(chǎn)、生活當(dāng)中所遇到的問(wèn)題。當(dāng)前高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)很大的缺陷就是“學(xué)”和“用”脫節(jié)。把數(shù)學(xué)建模的思想溶入到教學(xué)中去是一個(gè)解決問(wèn)題的很好的方法。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué) 教學(xué)改革 數(shù)學(xué)建模

中圖分類號(hào):G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào): 1673-1875(2008)12-040-01

一、數(shù)學(xué)建模在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用

數(shù)學(xué)是在實(shí)際應(yīng)用的需求中產(chǎn)生的，要解決實(shí)際問(wèn)題就必需建立數(shù)學(xué)模型，即數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是指對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一些特定對(duì)象，為了某特定目的，做出一些重要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用它來(lái)解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)，預(yù)測(cè)對(duì)象的未來(lái)狀況，提供處理對(duì)象的優(yōu)化決策和控制，設(shè)計(jì)滿足某種需要的產(chǎn)品等。從此意義上講數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)一樣有古老歷史。例如，歐幾里德幾何就是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)模型，牛頓萬(wàn)有引力定律也是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)光輝典范。今天，數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向其它科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域滲透，過(guò)去很少應(yīng)用數(shù)學(xué)的領(lǐng)域現(xiàn)在迅速走向定量化，數(shù)量化，需建立大量的數(shù)學(xué)模型。特別是新技術(shù)、新工藝蓬勃興起，計(jì)算機(jī)的普及和廣泛應(yīng)用，數(shù)學(xué)在許多高新技術(shù)上起著十分關(guān)鍵的作用。因此數(shù)學(xué)建模被時(shí)代賦予了更為重要的意義。

二、數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)主要體現(xiàn)為:抽象思維和邏輯推理的能力;如今在一些教材中也漸漸的補(bǔ)充了與實(shí)際問(wèn)題相對(duì)應(yīng)的例子，習(xí)題。如:人大出版社中的第四章第八節(jié)所提到的邊際分析與彈性分析，以及幾乎各種教材中對(duì)于函數(shù)極值問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用的例子。其實(shí)這就是實(shí)際應(yīng)用中的一個(gè)簡(jiǎn)單的建摸問(wèn)題。但僅僅知道運(yùn)算還是不夠的，我們還要從具體問(wèn)題給出的數(shù)據(jù)建立適用的模型。下面我們就具體的例子來(lái)看看高等數(shù)學(xué)對(duì)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用。例:有資料記載某農(nóng)村的達(dá)到小康水平的標(biāo)準(zhǔn)是年人均收入為2000元，據(jù)調(diào)查該村公400人，其中一戶4人年收入60萬(wàn)，另一戶4人20萬(wàn)，其中70%的人年收入在300元左右，其余在500左右。對(duì)于該村是否能定位在已經(jīng)達(dá)到了小康水平呢。首先我們計(jì)算平均收入:60萬(wàn)，20萬(wàn)各一戶共8人，300元共400×70%=280人，500元共400-288=112人。

平均收入為元

從這個(gè)數(shù)據(jù)我們可以看出該村的平均收入超過(guò)2000元，所以認(rèn)為達(dá)到了小康水平，但我們?cè)趤?lái)看一下數(shù)據(jù)，有99.5%的人均收入低于2000千，所以單從人均收入來(lái)衡量是不科學(xué)的，那么在概率論中我們利用人均年收入的標(biāo)準(zhǔn)差a來(lái)衡量這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

我們可以看出標(biāo)準(zhǔn)差是平均水平的六倍多，標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)竟超過(guò)100%，所以我們不能把該村看作是達(dá)到了小康水平。因此我們要真正的把高等數(shù)學(xué)融入到實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中是我們高確良 等教育的一個(gè)重點(diǎn)要改革的內(nèi)容。為了在概念的引入中展現(xiàn)數(shù)學(xué)建模，首先必須提出具有實(shí)際背景的引例。下面我們就以高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)這一概念為例加以說(shuō)明。

（1）引例

模型I:變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

1、提出問(wèn)題:設(shè)有一物體在作變速運(yùn)動(dòng)，如何求它在任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度?

2、建立模型

分析:我們?cè)瓉?lái)只學(xué)過(guò)求勻速運(yùn)動(dòng)在某一時(shí)刻的速度公式:S=vt那么，對(duì)于變速問(wèn)題，我們?cè)撊绾谓鉀Q呢?師生討論:由于變速運(yùn)動(dòng)的速度通常是連續(xù)變化的，所以當(dāng)時(shí)間變化很小時(shí)，可以近似當(dāng)勻速運(yùn)動(dòng)來(lái)對(duì)待。假設(shè):設(shè)一物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，以它的運(yùn)動(dòng)直線為數(shù)軸，則在物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，對(duì)于每一時(shí)刻t，物體的相應(yīng)位置可以用數(shù)軸上的一個(gè)坐標(biāo)S表示，即S與t之間存在函數(shù)關(guān)系:s=s(t)。稱其為位移函數(shù)。設(shè)在t0時(shí)刻物體的位置為S=s(t0)。當(dāng)在t0時(shí)刻，給時(shí)間增加了△t，物體的位置變?yōu)镾=(t0+△t):此時(shí)位移改變了△S=S(t0+△t)-S(t0)。于是，物體在t0到t0+△t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為：v=當(dāng)△t很小時(shí)，v可作為物體在t0時(shí)刻瞬時(shí)速度的近似值。且當(dāng)—△t—越小，v就越接近物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v，即vt0=[(1)式]；

(1)即為己知物體運(yùn)動(dòng)的位移函數(shù)s=s(t)，求物體運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻t0時(shí)的瞬時(shí)速度的數(shù)學(xué)模型。

模型II:非恒定電流的電流強(qiáng)度。己知從0到t這段時(shí)間流過(guò)導(dǎo)體橫截面的電量為Q=Q(t)，求在t0時(shí)刻通過(guò)導(dǎo)體的電流強(qiáng)度?通過(guò)對(duì)此模型的分析，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)建立模型II的方法步驟與模型I完全相同，從而采用與模型I類似的方法，建立的數(shù)學(xué)模型為:It0=要求解這兩個(gè)模型，對(duì)于簡(jiǎn)單的函數(shù)還容易計(jì)算，但對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)，求極限很難求出。為了求解這

兩個(gè)模型，我們拋開(kāi)它們的實(shí)際意義單從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上看，卻具有完全相同的形式，可歸結(jié)為同一個(gè)數(shù)學(xué)模型，即求函數(shù)改變量與自變量改變量比值，當(dāng)自變量改變量趨近于零時(shí)的極限值。在自然科學(xué)和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中也有很多問(wèn)題也可歸結(jié)為這樣的數(shù)學(xué)模型，為此，我們把這種形式的極限定義為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（2）導(dǎo)數(shù)的概念

定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量△x時(shí)，函數(shù)有相應(yīng)的增量△y=f(x0+△x)-f(x0)。如果當(dāng)△x→0時(shí)△y△x的極限存在，這個(gè)極限值就叫做函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。即函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，記作f′(x0)或f′|x=x0即f′(x0)=。有了導(dǎo)數(shù)的定義，前面兩個(gè)問(wèn)題可以重述為:(1)變速直線運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度，就是位移函數(shù)S=S(t)在t0處對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)。即vt0=S′(t0)。(2)非恒定電流在時(shí)刻t0的電流強(qiáng)度，是電量函數(shù)Q=Q(t)在t0處對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)。即It0=Q′(t0)。

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，稱y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)，對(duì)于(a，b)中的每一個(gè)確定的x值，對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值f′(x)，這樣就確定了一個(gè)新的函數(shù)，此函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作y′或f′(x)，導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。顯然，y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值。由導(dǎo)函數(shù)的定義，我們可以推導(dǎo)出一系列的求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則。(略)有了求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則后，我們?cè)俜椿厝デ蠼馇懊娴哪Ｐ途腿菀椎枚唷，F(xiàn)在我們就返回去接著前面模型I的建模步驟。

3、求解模型:我們就以自由落體運(yùn)動(dòng)為例來(lái)求解。設(shè)它的位移函數(shù)為s=gt2，求它在2秒末的瞬時(shí)速度？由導(dǎo)數(shù)定義可知：v(2)=S′(2)=*2gtlt=2=2tg

4、模型檢驗(yàn):上面所求結(jié)果與高中物理上所求得的結(jié)果一致。從而驗(yàn)證了前面所建立模型的正確性。

5、模型的推廣:前面兩個(gè)模型的實(shí)質(zhì)，就是函數(shù)在某點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。由此可以推廣為:求函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率問(wèn)題都可以直接用導(dǎo)數(shù)來(lái)解，而不須像前面那樣重復(fù)建立模型。除了在概念教學(xué)中可以浸透數(shù)學(xué)建模的思想和方法外，還可以在習(xí)題教學(xué)中浸透這種思想和方法。在這里就不一一列舉。

通過(guò)數(shù)學(xué)建模的思想引入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，其主要目的是通過(guò)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程來(lái)使學(xué)生進(jìn)一步熟悉基本的教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和科研意識(shí)，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的思想和方法。

參考文獻(xiàn)：

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