不等式證明的新方法

沈虎躍

不等式證明靈活多變，方法眾多，問題解決的過程中通常各種方法彼此交叉使用，但有時(shí)效果并不理想，因?yàn)橛行﹩栴}蘊(yùn)涵著新的思想，并不是“強(qiáng)攻”就能見效的，更何況在解決問題的過程中有個(gè)好的想法是極其重要的.像抽屜原理一般運(yùn)用在組合、數(shù)論等一些離散數(shù)學(xué) 中，如果我們將它運(yùn)用到不等式的證明中，有時(shí)卻會(huì)產(chǎn)生意想不到的效果.

例1 已知實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=1,求證：xy≤14.

對(duì)此問題本身很簡(jiǎn)單，解決的方式也很多，我們利用抽屜原理構(gòu)造不等式，將直達(dá)問題的 本質(zhì)，證法方便、快捷.

證明：由于x+y=1，故由抽屜原理可知x,y在12的異側(cè)(或在12處)，

即(x-12)(y-12)≤0,這樣xy-12(x+y)+14≤0趚y≤12(x+y)-14趚y≤14.

所以，原不等式成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=12時(shí)取等號(hào).

例2 求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a,b,c，都有aa2+b2+bb2+c2+cc2+a2≤322.

這是2004年第4屆中國(guó)西部數(shù)學(xué)奧林匹克第8題^[1]的右邊不等式，本屆競(jìng)賽最難的一部分，原解答顯得晦澀，冗長(zhǎng)，但若將抽屜原理運(yùn)用到不等式的證明中，此題解決起來(lái)卻是酣暢淋漓.

證明：由抽屜原理可知aa2+b2,bb2+c2,cc2+a2至少有兩個(gè)在22的同側(cè)(或在22處)，不妨設(shè)aa2+b2,bb2+c2在22的同側(cè)(或在22處)，

則(aa2+b2-22)(bb2+c2-22)≥0,

即22(aa2+b2+bb2+c2)≤aa2+b2?bb2+c2+12,

故22(aa2+b2+bb2+c2+cc2+a2)≤12+aa2+b2?bb2+c2+c2(c2+a2)≤12+abab+bc+ca+c=32.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>