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    圓錐曲線定點(diǎn)弦的一個(gè)性質(zhì)

    2008-12-09 03:32侯典峰
    中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年7期
    關(guān)鍵詞:橫坐標(biāo)重合雙曲線

    侯典峰 杜 山

    文[1]給出了圓錐曲線焦點(diǎn)弦的性質(zhì),本文將對此問題進(jìn)行進(jìn)一步的探究,得出圓錐曲線定點(diǎn)弦的一個(gè)性質(zhì).

    定理1 橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的過定點(diǎn)A(m,0)(0

    證明:設(shè)P(x1,y1),㏎(x2,y2),〢Q=│霜〢P擼顯然λ<0,由T(t,0)知(x2-m,y2)=λ(x1-m,y1),即x2-m=λ(x1-m),y2=λy1.

    從而可知直線TP的方程y=y1x1-t(x-t),直線TQ的方程y=y2x2-t(x-t),令x=a2m,得Ma2m,(a2m-t)y1x1-t,Na2m,(a2m-t)y2x2-t.

    設(shè)直線QM與x軸的交點(diǎn)為S(s,0),由Q、S、M三點(diǎn)共線得向量㏎S哂胂蛄開㏒M吖蠶擼從而有a2m-tx1-ty1(x2-s)=a2m-sy2,代入y2=λy1得a2m-tx1-t(x2-s)=a2m-sλ,a2m-tx1-tx2-a2m-tx1-ts=a2mλ-sλ,a2m-tx1-t-λs=a2m-tx1-tx2-λa2m,(a2m-t-λx1+λt)s=(a2m-t)x2-λa2m(x1-t),(λ-1)t+a2m-λx1s=λa2m-x2t+a2m?(x2-λx1),

    ∴s=λa2m-x2t+a2m(x2-λx1)(λ-1)t+a2m-λx1.

    令λa2m-x2=k1(λ-1)(1),則將上式中x2代換成x1,λ代換成1λ后式子也成立,即得a2λm-x1=k1(1λ-1),兩邊同乘λ得a2m-λx1=k1(1-λ) (2)

    由(1)-(2)得λa2m-a2m-(x2-λx1)=2k1(λ-1),又x2-m=λ(x1-m),故有x2-λx1=(1-λ)m,從而a2m(λ-1)+(λ-1)m=2k1(λ-1),顯然λ-1≠0,k1=a2m+m2.令a2m-λx1=k2(λ-1),則a2m-x2λ=k2(1λ-1),λa2m-x2=k2(1-λ),兩式相減得(1-λ)a2m+x2-λx1=2k2(1-λ),即(1-λ)a2m+(1-λ)m=2k2(λ-1),k2=-(a2m+m)2.

    所以s=(λa2m-x2)t+a2m(x2-λx1)(λ-1)t+(a2m-λx1)=(a2m+m2)(λ-1)t-a2m[(λ-1)m](λ-1)t-(a2m+m2)(λ-1)=

    (a2m+m)t-2a22t-(a2m+m),即直線QM與x軸的交點(diǎn)為Sa2m+mt-2a22t-a2m+m,0.

    同理可證,直線PN與x軸的交點(diǎn)也為

    Sa2m+mt-2a22t-a2m+m,0,這說明直線PN、QM相交于x軸上一定點(diǎn)Sa2m+mt-2a22t-a2m+m,0,其橫坐標(biāo)與A(m,0)與T(t,0)的橫坐標(biāo)有關(guān),與直線PQ的斜率無關(guān).

    類似地,可以證明雙曲線和拋物線有如下定理.

    定理2 雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的過定點(diǎn)A(m,0)(m>a)的動直線與雙曲線右支交于P、Q兩點(diǎn),T(t,0)是x軸上一點(diǎn),直線TP、TQ分別與直線x=a2m相交于點(diǎn)M、N,則直線PN、QM相交于x軸上一定點(diǎn)a2m+mt-2a22t-a2m+m,0.

    定理3 拋物線y2=2px(p>0)的過定點(diǎn)A(m,0)(m>0)的弦PQ,T(t,0)是x軸上一點(diǎn),直線TP、TQ分別與直線x=-m相交于點(diǎn)M、N,則直線PN、QM相交于x軸上一定點(diǎn)m2t,0.

    參考文獻(xiàn)

    [1]王小平.有關(guān)圓錐曲線焦點(diǎn)弦的兩個(gè)性質(zhì),高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2006(9).

    注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”

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