發(fā)揮習題功效　優(yōu)化思維品質

翁龍宇

在數(shù)學教學中，習題教學占了一定的比重.習題教學對于深化基礎知識，培養(yǎng)解題技巧，開發(fā)智能結構，具有十分重要作用.那么，應如何挖掘習題教學的潛力，發(fā)揮習題教學的功效，優(yōu)化學生的思維品質呢?

一、一題多變，深化思維，培養(yǎng)學生思維的靈活性、深刻性

習題教學僅局限于就題論題，形成教學封閉，就難以發(fā)展學生的思維能力，教學中可通過對習題的變換延伸，構成一系列新的題目，來深化學生的思維能力.

例1 在橢圓x245+y220=1上求一點，使它與兩焦點F1，F(xiàn)2的連線互相垂直.

變換1 在橢圓x245+y220=1上 有一點P，使點P與橢圓兩焦點F1，F(xiàn)2的連線互相垂直，求△F1PF2的面積.

變換2 橢圓x245+y220=1上一動點P，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓兩焦點，當∠F1PF2為鈍角時，求點P的橫坐標x的取值范圍.

變換3 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一點P，使P與橢圓兩焦點F1，F(xiàn)2的連線互相垂直，求此橢圓離心率的取值范圍.

∠F1PF2=π2實質是㏄F1?㏄F2=0，如果把㏄F1?㏄F2=0改為㏄F1?㏄F2叩扔諛騁懷Ｊ，結論又如何呢?

變換4 F1、F2為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)兩焦點，橢圓上存在一點P，使㏄F1?㏄F2=a22，求此橢圓離心率的取值范圍.

習題的變換可以向縱橫兩個方向發(fā)展，除了以上變換，也可以將兩焦點換成長軸兩端點，或將橢圓改為雙曲線，這樣由一題發(fā)散為若干題，不斷深化，既能強化學生對雙基的理解，又能活化思路，啟迪思維，培養(yǎng)學生運用知識的應變能力.教學中，可精選一些優(yōu)秀習題進行類似的改變、翻新、拓深，從而達到“以不變應萬變”的教學功效.

二、一題多解，活化思維，培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性、敏捷性

典型習題除了引導學生分析其思維過程外，還應適當引導學生探索一些新的解法，從不同的角度和側面尋求變異，從隱秘的數(shù)學關系中找到問題的實質，探求各種知識的相互聯(lián)系，探討多種方法解決問題.只有這樣才能拓寬解題思路，開闊視野，才能發(fā)揮習題最佳功效.

例2 已知a,b,m∈R+，且aab.

上題除了用分析法和比較法證明外，還可以引導學生采用以下方法進行證明.

(1)放縮法

a+mb+m=a-b+b+mb+m=1-b-ab+m>1-b-ab=ab.

(2)構造斜率公式

由a+mb+m聯(lián)想到直線斜率公式，于是由0<

a0知點Q(-m,-m)在第三象限且在y=x上(如圖)，由幾何直觀易知，總有k㏄Q>k㎡P，即a+mb+m>ab.

(3)構造輔助函數(shù)

作函數(shù)f(x)=a+xb+x=1-b-ab+x(x≥0)，易知f(x)在其定義域上是單調遞增函數(shù)，則當m>0時，有f(m)>f(0)，即a+mb+m>ab.

(4)解不等式法

由a,b∈R+,aab(b-a)xb(b+x)>0趚(x+b)>0,其解集為(-∞,-b)∪(0,+∞)絉+，而m∈R+，所以原不等式成立.

象這樣，通過一題多解，帶出證明不等式的許多通法，對于學生牢固地掌握知識、方法和技能有不可低估的重要意義.因此，在教學中，應注意精選題目，加強多解訓練，注重引導學生進行解題后再思考，誘導學生從多角度、全方位去認識問題，解決問題，從而達到培養(yǎng)思維的敏捷性.

三、巧置迷惑，反思錯誤，培養(yǎng)學生思維的嚴密性、邏輯性

數(shù)學習題，形式多樣，千變萬化，因此，習題教學中教師有意識地設置一些陷阱或適時地給出一些錯誤解答，引導學生進行討論、辨析，通過反思錯誤，逐步完善思維的嚴密性.

例3 已知α,β為銳角，玞osα=17,玸in(α+β)=5314，求玞osβ.

學生的典型解法：由α，β為銳角，知0<α+β<π，∴玞os(α+β)=±1114.又玞osβ=玞os［(α+β)-α］=玞os(α+β)玞osα+玸in(α+β)玸inα=7198或玞osβ=12.

上述解法粗看無錯誤，然而，解后反思發(fā)現(xiàn)未能就題設條件進一步縮小α+β的范圍造成錯解.我們可以作如下進一步分析：

∵玸in(α+β)=5314<32，且0<α+β<π，∴0<α+β<π3或2π3<α+β<π.又玞osα=17<12,得π3<α<π2，從而有2π3<α+β<π，于是玞os(α+β)=-1114，故玞osβ=12.

四、創(chuàng)設情境，設疑激思，培養(yǎng)學生思維的探索性、創(chuàng)造性

習題教學中很多內容，單憑教師干巴巴地講解和敘述，學生既感到枯燥乏味，又難以理解掌握.如果將這些習題稍作改變，創(chuàng)設一些問題情境，則學生興趣倍增，教學效果也會大大提高.

例4 有一個正四面體與一個正四棱錐，它們的棱長均相等，設正四面體體積為V，求正四棱錐的體積.

分析：本題常規(guī)解法是先由V求出棱長，再由棱長求出正四棱錐的體積，如此求解過程冗繁且易出錯.若將兩個幾何體“組裝”成一個整體(斜三棱柱)如圖，然后根據(jù)“棱錐體積為同底同高的棱柱體積的13”立知所求體積為2V.

例5 關于x的不等式x2玪og24(a+1)a+2x玪og22aa+1+玪og2(a+1)24a2>0恒成立 ，求a的取值范圍.

分析：若從x的“一元二次不等式”入手，結合“△<0”列出不等式組進行求解，其過程尚欠簡潔流暢.若另辟蹊徑：從“對數(shù)不等式”入手，則解法步驟清晰自然，干凈利落.

略解：原不等式化為：玪og2{［4(a+1)a］﹛2?(2aa+1)2x?［(a+1)24a2］}>0,即(a+12a)﹛2-2x+2?8﹛2>1，因為8﹛2≥1，且x2-2x+2=(x-1)2+1≥1，要使原不等式對x∈R恒成立，所以a+12a>1，進而求得0

創(chuàng)設問題情境的目的在于為學生創(chuàng)造良好的思維環(huán)境，激發(fā)學生主動思維的“參與意識”.培養(yǎng)學生獨立思考，銳意創(chuàng)新的探索能力.習題教學創(chuàng)設情境的素材很多：或巧設“機關”，指點迷津；反思變通，標新立異等，讓學生的思維活動在解決問題的氛圍中，不斷深入，不斷探究，不斷升華.

總之，優(yōu)化學生思維品質的各種方法與途徑不是孤立的，而是緊密聯(lián)系的，相輔相成的.學生思維品質的提高與發(fā)展也非一蹴而就之事，它需要從教學實際出發(fā)，有計劃、有步驟，由淺入深，循序漸進地進行培養(yǎng)和訓練，并注重與知識傳授、技能訓練密切聯(lián)系，有機結合.只有這樣，學生思維品質才能不斷地完善和提高.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>