滾出來(lái)的問(wèn)題

丁文江

圓的滾動(dòng)問(wèn)題是近幾年中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題，但是相當(dāng)多的同學(xué)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題在理解上存在問(wèn)題. 針對(duì)此問(wèn)題，我作如下的解釋?zhuān)?/p>

如果一半徑為R的圓從一條長(zhǎng)為2πR的線段AB一端A點(diǎn)出發(fā)，向B點(diǎn)滾動(dòng)，那么圓需要滾動(dòng)幾圈？如圖（1）：這個(gè)問(wèn)題很容易解決，由2πR2πR=1，可知滾動(dòng)一圓即可.

現(xiàn)在我們改變運(yùn)動(dòng)的路徑，當(dāng)線段AB為一條折線段的時(shí)候如圖（2），它的長(zhǎng)度仍為2πR，此時(shí)折角為120°，大家考慮，圓需要滾動(dòng)幾圈？特別關(guān)注的是在折點(diǎn)處，這個(gè)時(shí)候圓有一種運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，自己需自轉(zhuǎn)60°的角度，結(jié)合前一種情況我們很容易知道，此時(shí)對(duì)圓來(lái)說(shuō)多滾動(dòng)了60°×πR180°=13πR，即16圈，也就是說(shuō)從A點(diǎn)滾動(dòng)到B點(diǎn)需76圈. 如果折角變?yōu)橐话愕慕嵌圈龋?°≤θ≤180°）時(shí),此時(shí)圓應(yīng)多自轉(zhuǎn)(180°-θ)×πR180°, 即180°-θ360°圈，總的來(lái)看圓需滾動(dòng)1圈又(180°-θ)360°圈.

當(dāng)由折線變?yōu)檎切蔚臅r(shí)候如圖（4），它的周長(zhǎng)度仍為2πR，由于出現(xiàn)了三個(gè)60°折角，那么圓圍繞正三角形轉(zhuǎn)一軸，則其自己應(yīng)多轉(zhuǎn)一圈，即其從出發(fā)點(diǎn)再到出發(fā)點(diǎn)需轉(zhuǎn)兩圈.

當(dāng)所圍繞的圖形為正方形的時(shí)候如圖（5），它的周長(zhǎng)度仍為2πR，同樣它也應(yīng)自轉(zhuǎn)兩圈. 那么我們可以想到當(dāng)圖形變?yōu)檎暹呅蔚臅r(shí)候如圖（6），它的周長(zhǎng)度仍為2πR，會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果呢？不難猜想也應(yīng)為兩圈.

通過(guò)上述的一系列問(wèn)題我們把所圍繞的對(duì)象變化為任意的多邊形的時(shí)候，我們可以得到如下的結(jié)論對(duì)于圓來(lái)說(shuō)都應(yīng)該比原來(lái)多轉(zhuǎn)一圈. 如果任意多邊形的周長(zhǎng)為L(zhǎng),則圓繞多邊形旋轉(zhuǎn)一周，所轉(zhuǎn)的圈數(shù)為L(zhǎng)2πR+1圈，如圖（7）. 如果是一圓繞另一圓旋轉(zhuǎn)如圖（8），那么我們很容易得到所轉(zhuǎn)的圈數(shù)為R璓R璒+1圈.

有這么一個(gè)問(wèn)題（襄樊市中考題）如圖（9）：⊙O的半徑為r，⊙O1、⊙O2的半徑均為r1，⊙O1與⊙O內(nèi)切，沿⊙O內(nèi)側(cè)滾動(dòng)m圈后回到原來(lái)的位置，⊙O2與⊙O外切并沿⊙O外側(cè)滾動(dòng)n圈后回到原來(lái)的位置，則m、n大小關(guān)系是（ ）

A.m>nB.m=n

C.m

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題除了上述問(wèn)題之外，還牽扯到內(nèi)側(cè)滾動(dòng)的問(wèn)題，那么對(duì)于該問(wèn)題在處理的時(shí)候，只要細(xì)加思考我們便知：內(nèi)側(cè)滾動(dòng)的時(shí)候，無(wú)非少轉(zhuǎn)了一圈，所以我們就很容易判斷選擇答案C.

綜上所述，我們可以知道，在以后的考試中如果再出現(xiàn)類(lèi)似的問(wèn)題，采用此種考慮問(wèn)題的方法，或許很容易解決的. 當(dāng)然，在考慮此種問(wèn)題時(shí)可能有漏洞，望批評(píng)指正.

プ髡嘸蚪椋憾∥慕，1974年2生，山東省東營(yíng)市人，中學(xué)一級(jí)教師. 主要研究數(shù)學(xué)教學(xué)及教研教改. 7次獲得優(yōu)秀教師榮譽(yù)稱(chēng)號(hào)，2000年獲得縣優(yōu)秀教師榮譽(yù)稱(chēng)號(hào)，2007年被評(píng)為“丁莊鎮(zhèn)首屆星級(jí)教師”. 多篇論文發(fā)表或獲獎(jiǎng).