有趣的點

鐘建華

點，用筆在紙上輕輕地一點就成. 但，你可不能小瞧了這“小不點”，在幾何上它是一種圖形，作用大了去了，而且很有趣. 不信，你瞧：

1 點與三角形

例1 已知，等邊△ABC，在其所在的平面內(nèi)求一點P，使△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形；這樣的點P，你可以找到多少個？ネ1

解析 如圖1，不難找到等邊△ABC內(nèi)部的一點P1——三條對稱軸的交點；

以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交△ABC的對稱軸MN于P2、P3點；以點B為圓心，AB長為半徑畫弧，交MN于P4點；

所以，對稱軸MN上共有4個點符合要求.

等邊△ABC共有3條對稱軸，每條對稱軸上都有4個點符合要求，該有12個點符合要求；但△ABC內(nèi)部的3個點重合，所以，共有10個符合要求的點P. 即△ABC內(nèi)部有1點，外部有9個點.

ね2

例2 如圖2，三條直線相交于A、B、C三點，今要在A、B、C三點所在的平面內(nèi)求作一點P，使點P到三條直線的距離都相等；這樣的點P，你可以找到多少個？

解析 作△ABC的兩內(nèi)角平分線，交點為P1，根據(jù)“角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等”可知點P1符合要求；

作△ABC的外角平分線，交點分別為P2、P3、P4，那么，點P2、P3、P4同樣符合要求.

所以，符合要求的點共有4個——△ABC的內(nèi)部有1個，外部有3個.

2 點與正方形

例3 已知正方形ABCD，求一點P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA皆為等腰三角形；請指出這樣的點有幾個？

ね3

解析 如圖3，作出過AB、CD兩邊中點的對稱軸MN. 以A點為圓心，AB長為半徑畫弧，交直線MN于點P1、P2；以D點為圓心，AB長為半徑畫弧，交直線MN于點P3、P4；正方形ABCD的中心為P5；所以，對稱軸MN上共有5個點符合要求.

正方形ABCD中，像MN這樣的對稱軸有兩條，共有10個點符合要求. 但正方形ABCD的中心只有一個，即兩條對稱軸交于一點.

所以，共有9個符合要求的點P. 即使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA皆為等腰三角形的點P共有9個. ネ4

例4 如圖4，電子屏幕上一點P沿著PA向前移動，當它與正方形ABCD的兩個頂點一起構(gòu)成等腰三角形時，點P就會放出光芒，并發(fā)出歡呼聲，請你說出當點P從遠處移來，直到點A處，點P會幾次放出光芒，并發(fā)出歡呼聲？

解析 6次. 當點P在AB的延長線上，BD=BP，AC=PC，AP=AC時，點P會發(fā)光；當點P分別在點B、點A及AB的中點時，也會發(fā)光.

所以，點P會6次放出光芒，并發(fā)出歡呼聲.

親愛的同學(xué)們，你知道這些都是為什么嗎？請拿起你的筆練一練！

プ髡嘸蚪椋褐詠ɑ，男，中學(xué)一級教師. 發(fā)表過十余篇教育論文.