英國(guó)初中代數(shù)課程“數(shù)形結(jié)合”思想研究

楊　彥

に罩荽笱數(shù)學(xué)系 215006

オ

1 序 言

代數(shù)的抽象性使得學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)遇到不少困難，往往需要結(jié)合一些具體的直觀形象來(lái)輔助學(xué)習(xí)，這與我國(guó)課程所提倡的“數(shù)形結(jié)合”思想不謀而合. 英國(guó)作為世界課程改革的先驅(qū)之一，其課程注重實(shí)用性和能力培養(yǎng)，具有鮮明的國(guó)家特征. 本文試通過(guò)對(duì)其初中代數(shù)課程進(jìn)行仔細(xì)研讀，將課程呈現(xiàn)過(guò)程中“數(shù)形結(jié)合”的特點(diǎn)加以介紹，對(duì)比我國(guó)同類課程進(jìn)行一定反思.

2 英國(guó)代數(shù)課程簡(jiǎn)介

2000年，英國(guó)重新制定了新的國(guó)家數(shù)學(xué)課程. 新課程初中階段的代數(shù)課程是以數(shù)與代數(shù)相結(jié)合的形式呈現(xiàn)，其中代數(shù)部分是由方程、公式與恒等式（記為①），序列與函數(shù)（記為②），及函數(shù)圖像（記為③）三部分組成. ①主要是代數(shù)式、方程等傳統(tǒng)代數(shù)知識(shí)；②提供了大量幾何、序數(shù)等序列模式，對(duì)模式與關(guān)系進(jìn)行探求，延伸到函數(shù)知識(shí)；③除了基本函數(shù)圖像之外，還涉及了許多有關(guān)函數(shù)圖像的實(shí)際問(wèn)題. 在此之前的課程中并未涉及任何正式代數(shù)內(nèi)容，因此，課程是如何從算術(shù)自然過(guò)渡到抽象的代數(shù)內(nèi)容，正是本文的關(guān)注點(diǎn).

3 代數(shù)課程中的“數(shù)形結(jié)合”思想

英國(guó)的數(shù)學(xué)課程是按照學(xué)生能力水平進(jìn)行設(shè)計(jì)，因此本文對(duì)“數(shù)形結(jié)合”特點(diǎn)的介紹也遵從這一特征，按照代數(shù)課程不同的水平層次結(jié)構(gòu)，分層進(jìn)行介紹.

層次1 “由數(shù)知形”且“由形識(shí)數(shù)”

代數(shù)課程中蘊(yùn)含了大量抽象的數(shù)量關(guān)系以及符號(hào)表示，與直觀形象的幾何模式形成鮮明對(duì)比. 解析幾何的出現(xiàn)，使得這兩種截然相反的模式有了聯(lián)結(jié)和相互表征的可能性. 在英國(guó)初中的代數(shù)課程中就包含了部分解析幾何的知識(shí)，對(duì)某些特定內(nèi)容（如：函數(shù)、不等式解集）要求了解其幾何形式，將其蘊(yùn)含之義立體化. 同樣的，課程還設(shè)計(jì)了大量具體、特殊的幾何模式，來(lái)歸納總結(jié)出一些形式化的代數(shù)知識(shí)，充分體現(xiàn)了英國(guó)課程對(duì)代數(shù)的理解：代數(shù)是從算術(shù)、從特殊例子、模式和序列中歸納總結(jié)的一種方式.

ネ1

例1 （7年級(jí)，③）開(kāi)始考慮一次線性函數(shù)的性質(zhì)，y是根據(jù)x的取值要確定的. 比如，建立表格并用坐標(biāo)紙畫(huà)出如下函數(shù)的圖形(如圖1)，對(duì)其進(jìn)行解釋說(shuō)明：

注意到函數(shù)y=mx的圖像：

均為過(guò)原點(diǎn)的直線;

不同的函數(shù)傾斜度不同;

和倍數(shù)的圖像相同, 但它是連續(xù)的, 而不是離散的.

例2 （8年級(jí)，②）生成整數(shù)序列并加以描述，將之與其幾何模式聯(lián)系起來(lái).

ダ如：

2的乘冪(圖2)ネ2

將2的乘冪看作是：2個(gè)點(diǎn)組成的一排；4個(gè)點(diǎn)組成的方陣；2個(gè)4點(diǎn)方陣組成的縱排；4個(gè)4點(diǎn)方陣組成的方陣.

遞增的矩形（圖3）ネ3

如圖3，根據(jù)序列是遞增或遞減，以及遞增或遞減的步長(zhǎng)是否相等來(lái)對(duì)熟悉的序列進(jìn)行分類

層次2 “以形助數(shù)”，幫助理解抽象代數(shù)知識(shí)

代數(shù)的形式化與符號(hào)化，容易造成學(xué)生認(rèn)知上的困難. 為了幫助學(xué)生從算術(shù)成功過(guò)度到代數(shù)，課程在呈現(xiàn)方程、代數(shù)式等傳統(tǒng)代數(shù)知識(shí)的過(guò)程中，安排了相當(dāng)多的具體事例，以一種真實(shí)、形象化的手法，借助技術(shù)與現(xiàn)實(shí)幫助學(xué)生從幾何直觀的角度去看待抽象的代數(shù)知識(shí). 對(duì)于某些抽象難懂的數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)，改由觀察其“形”或者構(gòu)建有效的幾何模式，來(lái)幫助學(xué)生多角度理解與記憶. 從“數(shù)”與“形”兩種相反的性質(zhì)著手，達(dá)到優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的效果ネ4

例3 （9年級(jí)，①）利用幾何方法來(lái)建議一些代數(shù)結(jié)果.

使用紙筆、坐標(biāo)紙或者圖形計(jì)算器畫(huà)出方程的圖像

*來(lái)解方程組：x+3y=11,5x-2y=4.

ト繽4，兩條直線的交點(diǎn)(2,3)給出了方程的近似解 . ね5

*y=x

y=x2+3.

ト繽6，將方程的解x=6，y=6與首項(xiàng)為1，“除以2，加上3”，代數(shù)表達(dá)式為x→x2+3的序列極限聯(lián)系起來(lái).

ね6圖7

例4 （9年級(jí)，①）用幾何論據(jù)來(lái)說(shuō)明這些結(jié)論.

展開(kāi)下列代數(shù)式并化簡(jiǎn)，證明他們是等價(jià)的.

a2-b2;

a(a-b)+b(a-b);

2b(a-b)+(a-b)(a-b) ;

(a-b)(a+b).

采用不同方式來(lái)計(jì)算如圖7的面積，利用幾何論據(jù)來(lái)說(shuō)明以上代數(shù)式是等價(jià)的.

層次3 “數(shù)形結(jié)合”，解決實(shí)際問(wèn)題

英國(guó)的數(shù)學(xué)教育重視實(shí)用性，“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)和能力的培養(yǎng)貫穿課程始終，不論是在目標(biāo)、還是手段和方式上都凸顯這一特征. 代數(shù)課程不再拘泥于嚴(yán)格的邏輯體系，重視模式與關(guān)系的探求，用符號(hào)表示一般規(guī)律(經(jīng)驗(yàn)公式)，解釋表示現(xiàn)實(shí)生活情境的圖表與圖示，并學(xué)習(xí)如何用“形”幫助解決問(wèn)題. 因此，教材中設(shè)計(jì)了相當(dāng)多源自現(xiàn)實(shí)生活或跨學(xué)科的內(nèi)容，借助技術(shù)在解決這些復(fù)雜的問(wèn)題過(guò)程中，將數(shù)形結(jié)合的思想灌輸其中，潛移默化的內(nèi)化成學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的一種意識(shí).ネ8

例5 （7年級(jí)，③）對(duì)科學(xué)或地理中的直線圖像加以討論，并做出解釋. 比如：學(xué)生們?cè)诓煌w積的罐子（200cm2—500cm2不等）下方點(diǎn)燃蠟燭，記錄下燃燒時(shí)間，制成如圖8.(1）討論圖像性質(zhì)：這些點(diǎn)可以連接起來(lái)嗎？需要幾個(gè)這樣的點(diǎn)才可以畫(huà)出精確的圖像？應(yīng)該用直線把這些點(diǎn)連起來(lái)嗎?

(2)回答問(wèn)題：如果罐子體積是450cm2，蠟燭可以燃燒多久？600cm2呢？

(3）下面哪句話最精確描述了體積與燃燒時(shí)間的關(guān)系？

A 體積越大，蠟燭越快熄滅；

B 最大的罐子，蠟燭滅的最慢；

C 體積增加，燃燒時(shí)間加長(zhǎng)；

D 最小的罐子，蠟燭滅的最快

例6 （9年級(jí)，③）如圖9，根據(jù)兩變量間的大概關(guān)系畫(huà)出直線草圖，并同某個(gè)熟悉的情境聯(lián)系起來(lái)比如：水流以恒定速度流入各種形狀的瓶子里，畫(huà)出水面深度與時(shí)間關(guān)系的圖像,若換成其他形狀的瓶子，畫(huà)出相應(yīng)的圖像,根據(jù)圖像的性質(zhì)，來(lái)預(yù)測(cè)瓶子的形狀.

ね9

4比較與反思

4.1 濃墨重彩VS蜻蜓點(diǎn)水

綜上所述，英國(guó)初中課程強(qiáng)調(diào)從算術(shù)“自然”過(guò)度到代數(shù)，為此在課程中安排了各種由形到數(shù)的鋪墊. 采用大量來(lái)自現(xiàn)實(shí)的豐富素材，恰當(dāng)?shù)剌o之以信息技術(shù)，在數(shù)的抽象與形的具體之間建立起潛移默化的聯(lián)結(jié)，注重形到數(shù)的理解，并在理解的基礎(chǔ)上強(qiáng)調(diào)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題解決，整個(gè)代數(shù)課程中滲透了數(shù)形結(jié)合的思想. 反觀我國(guó)初中數(shù)學(xué)，雖也有形到數(shù)的過(guò)度，但類似素材在課程中相對(duì)貧乏或者有點(diǎn)形式化，重解題輕理解，有蜻蜓點(diǎn)水之嫌. 如何從算術(shù)自然過(guò)渡到代數(shù)是改革的重點(diǎn).

4.2 思想方法VS解題工具

數(shù)形結(jié)合在英國(guó)初中代數(shù)課程中主要表現(xiàn)為一種理念和思想方法，是學(xué)生遇到代數(shù)抽象知識(shí)時(shí)幫助理解的處理手段，最終內(nèi)化為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的自覺(jué)意識(shí). 而其對(duì)我國(guó)的師生來(lái)講，更多的是一種行之有效的解題工具，屢試不爽. 數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)離不開(kāi)解題，但在各種國(guó)際測(cè)試中，擅長(zhǎng)解題的中國(guó)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，并沒(méi)比英國(guó)學(xué)生表現(xiàn)出更大的優(yōu)勢(shì)，甚至稍顯頹勢(shì). 一些英國(guó)初中的課題，在我國(guó)要到高一才開(kāi)始涉及，這一現(xiàn)象值得我們深思. 將一種非常有用的數(shù)學(xué)思想方法僅用作解題，豈不可惜？

げ慰嘉南

ぃ1］ Department for Education and Employment:2001,Key Stage1-4,Mathematics-The National Curriculum for England.

ぃ2］ 國(guó)家教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)［S］.北京:北京師范大學(xué)出版社，2001.

ぃ3］ 鄒堅(jiān).對(duì)初中學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”能力的調(diào)查研究［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué),2006.(5).

プ髡嘸蚪椋貉鈦澹女，1983年生. 江蘇蘇州人，蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)課程論專業(yè)研究生.研究方向?yàn)橹袑W(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論