巧用勾股定理

周奕生

勾股定理歷來是中考命題的熱點(diǎn)之一.不論是課改前還是課改后,在以直角三角形為舞臺(tái)的問題中,勾股定理始終是主角.下面介紹勾股定理的一些運(yùn)用技巧.

一?結(jié)合方程

例1 如圖1,將矩形ABCD沿直線AE折疊,頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F點(diǎn)處.已知CE=3,AB=8,則圖中陰影部分的面積為.

解析:由已知條件和圖形易得EF=DE=5,從而由勾股定理知CF=4.設(shè)BF=x,則AF=AD=BC=x+4.在Rt△ABF中,由勾股定理,得82+x2=(x+4)2,解得x=6.

故陰影部分的面積S=BF·AB+CF·CE=×6×8+×4×3=30.

點(diǎn)評(píng):結(jié)合方程運(yùn)用勾股定理是最常見的一種運(yùn)用技巧.這種方法一般是假設(shè)直角三角形某一邊的長(zhǎng)為x,求出其他兩邊的長(zhǎng)(用含x的代數(shù)式表示),然后根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程.

二?結(jié)合完全平方公式

例2已知某直角三角形的周長(zhǎng)為4+2,斜邊上的中線長(zhǎng)為2,求這個(gè)三角形的面積.

解析:由斜邊上的中線長(zhǎng)為2,得斜邊長(zhǎng)c=4.設(shè)兩直角邊長(zhǎng)分別為a?b,則a+b=2.

上式兩邊平方,得a2+b2+2ab=24.①

由勾股定理,a2+b2=c2,得a2+b2=16.②

把②代入①,得16+2ab=24,解得ab=4.

所以三角形的面積S=ab=2.

點(diǎn)評(píng):將勾股定理與完全平方公式放在一起進(jìn)行對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)它們之間具有某種形式上的聯(lián)系.當(dāng)已知斜邊及兩直角邊的和時(shí),結(jié)合完全平方公式可以直接求得面積.

三?創(chuàng)造條件

當(dāng)題目中沒有現(xiàn)成的直角三角形時(shí),勾股定理便無用武之地.此時(shí),解決問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形.

例3 如圖2,點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn),連接PA,PB,PC.以BP為一邊作∠PBQ=60°,且BQ=BP,連接CQ.

(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

(2)若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,連接PQ,試判斷△PQC的形狀,并說明理由.

解析:第(1)問并不難,由∠PBQ=60°,且BQ=BP,以及BC=BA,可知△QBC是由△PBA繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到的,因此,易知AP=CQ.對(duì)于第(2)問,從PA∶PB∶PC=3∶4∶5及32+42=52,由勾股定理逆定理不難想到:如果PA?PB?PC是某個(gè)三角形的三邊,則PC所對(duì)的角是直角.因此,如何構(gòu)造以PA?PB?PC為邊的三角形就成了解決問題的關(guān)鍵.

(1)猜想:AP=CQ.

證明:∵∠ABC=∠PBQ=60°,

∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ.

在△ABP與△CBQ中,AB=CB,BP=BQ,∠ABP=∠CBQ,

∴△ABP≌△CBQ(SAS).

∴AP=CQ.

(2)由PA∶PB∶PC=3∶4∶5,可設(shè)PA=3a,PB=4a,PC=5a.

△PBQ為等邊三角形,所以PQ=PB=4a.由(1)知QC=PA=3a.

于是在△PQC中,PQ2+QC2=16a2+9a2=25a2=PC2.

所以△PQC是直角三角形.

點(diǎn)評(píng):解決第(2)問的關(guān)鍵,是抓住題目中的信息“3∶4∶5”,聯(lián)想到“勾三股四弦五”,然后將這三條線段轉(zhuǎn)換到同一個(gè)三角形中,讓勾股定理的逆定理發(fā)揮作用.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文