古代趣題賞析

左加亭

勾股定理是數(shù)學(xué)中的一個重要定理，在古代就出現(xiàn)了一些和勾股定理有關(guān)的實(shí)際問題.現(xiàn)舉幾例，供同學(xué)們欣賞.

一、算秋千索長

例1 明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家叫程大位，在他所著的《算法統(tǒng)宗》里有一道“蕩秋千”的題：

平地秋千未起，踏板一尺離地，

送行兩步與人齊，五尺人高曾記；

仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉，

良工高士素好奇，算出索長有幾？

它的大概意思是：當(dāng)秋千靜止時，它的踏板離地的距離為一尺（一種非法定長度單位），將秋千的踏板往前推兩步（這里的每一步合五尺），它的踏板與人一樣高，這個人的身高為五尺.當(dāng)然這時秋千的繩索是呈直線狀態(tài)的.現(xiàn)在問：這個秋千的繩索有多長？

解：根據(jù)題意畫出示意圖（如圖1），設(shè)圖中的OA為秋千的繩索,CD為地平面，BC為身高是5尺的人，AE為兩步（相當(dāng)于10尺）的距離，A處為踏板的靜止位置.ＡＤ為踏板離地的距離，長度等于１尺．

設(shè)OA=x尺，則OB=OA=x尺．

FA=BE=BC－EC=5－1=4（尺）．

BF=EA=10尺，在Rt△OBF中，利用勾股定理，可得

OB2＝OF2+BF2，即x2=（x－4）2+102.解得x=14.5.

故秋千繩索的長度為14.5尺．

二、測湖深淺

例2 中世紀(jì)，印度著名數(shù)學(xué)家婆什迦羅在其著作中提出了“荷花問題”：

平平湖水清可鑒，荷花半尺出水面.

忽來一陣狂風(fēng)急，吹倒荷花水中偃.

湖面之上不復(fù)見，入秋漁翁始發(fā)現(xiàn).

殘花離根二尺遠(yuǎn)，試問水深尺若干.

此題意思是：湖中有一支荷花高出湖面半尺,被風(fēng)一吹,荷花傾斜,正好與湖面持平,且荷花與原來位置的水平距離為二尺,問湖水有多深.

解：根據(jù)題意,畫出示意圖（如圖2）.

在Rt△ABC中，ＢＣ＝2尺.

AC=AB+BD.由勾股定理得

AB2+22＝（AB+0.5）2.

解得AB=3.75尺.

所以湖水深3.75尺.

三、丈量門寬

例3 我國最早的一部數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有這樣一道有趣的數(shù)學(xué)題：

城外一扇矩形門，和尚扛竿去量應(yīng)．

橫著量之四尺余，立著量之二尺剩．

對角又復(fù)比一比，斜竿恰好端抵盡．

此門寬高各幾何，還有竹竿有幾深？

此題理解起來比較容易，意思是說一根竹竿比一扇矩形門的寬長四尺,比門的高長二尺，與門的對角線正好一樣長.求門的寬和高及竹竿的長.

解：據(jù)題意，作出示意圖（如圖3）.顯然和尚用同一竹竿量了3次，設(shè)竹竿長為x尺，由勾股定理，得

x2=（x－2）2+（x－4）2.

整理得x2－12x+20=0，（ｘ－１０）（ｘ－２）＝０.

解得x1=10，x2=2（不合題意，舍去）.

所以，門寬AB=6尺，門高AD=8尺，竹竿長AC＝10尺.

四、折竹抵地

例4 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.問：折者高幾何？

此題的意思是：一根竹子，原來高一丈（一丈為十尺），將竹子折斷，其頂端恰好抵地，抵地處與原竹子底部距離為三尺，問：原處還有多高的竹子？利用勾股定理解決本題，可先畫圖形，然后求解.

解：依題意作出示意圖（如圖4）.

已知AC+AB=10（尺）. ①

BC=3尺.由勾股定理AC2-AB2=BC2，即AC2-AB2=9.

所以（AＣ+AＢ）（AＣ-AＢ）=9.所以AＣ-AＢ=（尺）.②

①－②，得2AB=（尺）.AB==４.５5（尺）.原處還有4.55尺高的竹子.

古代數(shù)學(xué)題看起來比較有趣，但做起來有一定難度，關(guān)鍵是要讀懂題意，能從題目中挑出有用的信息，然后利用所學(xué)的知識求解.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文